第04講一元二次函數（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 3高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 4高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系 6高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 7角度1：上恒成立（優選法） 7角度2：上成立（優選法） 7角度3：上恒成立（優選分離變量法） 8角度4：上成立（優選分離變量法） 8角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法） 8高頻考點五：分式不等式 10高頻考點六：一元二次不等式的應用 11第四部分：典型易錯題型 13備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。 13備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。 13第五部分：新定義題（解答題） 13第一部分：基礎知識1、二次函數（1）形式：形如的函數叫做二次函數.（2）特點：①函數的圖象與軸交點的橫坐標是方程的實根.②當且()時，恒有()；當且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系判別式二次函數的圖象一元二次方程的根有兩相異實數根，()有兩相等實數根沒有實數根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關于x的不等式：(1)；(2).練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統考期末）一元二次不等式的解集為.2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統考期末）已知函數.(1)若關于的不等式的解集為，求實數，的值；(2)求關于的不等式的解集.例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數.(1)當時，求函數的零點；(2)當時，求不等式的解集.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數，其中.(1)若，求實數的值；(2)求不等式的解集.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設為實數，則關于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川宜賓·高一統考期末）已知集合，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數m的取值范圍．3．（2024上·福建寧德·高一統考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關于的不等式的解集.高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統考期末）已知關于x的不等式（，）的解集為，則下列結論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為例題2．（2024上·江西萍鄉·高一統考期末）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統考期末）已知關于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為2．（2024上·湖南·高一校聯考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數的值；(2)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.3．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）已知二次函數．(1)若關于的不等式的解集是，求實數，的值；(2)若，，解關于的不等式．高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考階段練習）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．角度2：上成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯考期中）命題：，為真命題，則實數的取值范圍為.角度3：上恒成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯考期中）已知，，，則實數m的取值范圍是（

） B． C． D．角度4：上成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯考期中）若關于x的不等式在上有解，則實數m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學校考階段練習）已知函數.(1)當時，求的解集；(2)是否存在實數，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學校考期中）（1）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.2．（2024上·福建南平·高一統考期末）設函數．(1)若，求不等式的解集；(2)若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．4．（2024上·四川內江·高一統考期末）已知二次函數的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區間上的最小值；(3)若關于x的不等式在區間上有解，求實數m的取值范圍．(1)當時，求；(2)若是的充分條件，求實數的取值范圍.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）設全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．高頻考點六：一元二次不等式的應用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一校考階段練習）一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量（單位：輛）與創造的價值（單位：元）之間有如下的關系：.若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產（填寫區間范圍）輛摩托車？例題2．（2024上·全國·高一專題練習）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內的總維修保養費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數）最大？并求出最大值.練透核心考點1．（2024下·西藏·高一開學考試）為發展空間互聯網，搶占6G技術制高點，某企業計劃加大對空間衛星網絡研發的投入.據了解，該企業研發部原有100人，年人均投入a（）萬元，現把研發部人員分成兩類：技術人員和研發人員，其中技術人員有x名（且），調整后研發人員的年人均投入增加4x%，技術人員的年人均投入為萬元.(1)要使調整后的研發人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入，則調整后的技術人員最多有多少人？(2)是否存在實數m，同時滿足兩個條件：①技術人員的年人均投入始終不減少；②調整后研發人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.2．（2023上·陜西寶雞·高一寶雞市渭濱中學校考階段練習）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應為多少米？第四部分：典型易錯題型備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。1．（2023上·湖南永州·高一校考階段練習）一元二次不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。2．（2023上·吉林·高一吉化第一高級中學校校考階段練習）不等式的解集為.第五部分：新定義題（解答題）1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）小穎同學在學習探究活動中，定義了一種運等“”：對于任意實數a，b，都有，通過研究發現新運算滿足交換律：.小穎提出了兩個猜想：，，，①；②.(1)請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進行證明；若錯誤，請說明理由；（注：兩個猜想都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分）(2)設且，，當時，若函數在區間上的值域為，求的取值范圍.第04講一元二次函數（方程，不等式）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參） 4高頻考點二：一元二次不等式解法（含參） 7高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系 10高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題 15角度1：上恒成立（優選法） 15角度2：上成立（優選法） 16角度3：上恒成立（優選分離變量法） 16角度4：上成立（優選分離變量法） 17角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法） 17高頻考點五：分式不等式 23高頻考點六：一元二次不等式的應用 25第四部分：典型易錯題型 28備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。 28備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。 29第五部分：新定義題（解答題） 29第一部分：基礎知識1、二次函數（1）形式：形如的函數叫做二次函數.（2）特點：①函數的圖象與軸交點的橫坐標是方程的實根.②當且()時，恒有()；當且()時，恒有().2、一元二次不等式只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系判別式二次函數的圖象一元二次方程的根有兩相異實數根，()有兩相等實數根沒有實數根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、單絕對值不等式（1）（2）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·統考高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2．（2023·全國·（新課標Ⅰ卷））設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，解一元二次不等式即可，利用指數函數單調性即可解.【詳解】設，則不等式可化為，解得，所以，解得.故選：A例題2．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達定理求參數后再解不等式即可.（2）對變量范圍進行討論，分離參數法求解參數即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當時顯然成立；當時，對恒成立，令，則，當，即時，所以，即．例題3．（2024上·湖南長沙·高一校考期末）解下列關于x的不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據一元二次不等式的解法求解即可；（2）根據分式不等式的解法求解即可.【詳解】（1）由，得，即，所以，所以不等式的解集為；（2）由，得，則，解得或，所以不等式的解集為或.練透核心考點1．（2024上·廣東江門·高一統考期末）一元二次不等式的解集為.【答案】【分析】轉化為標準一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.【詳解】由可得，即，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：2．（2024上·湖南岳陽·高一校考期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；（2）將是成立的必要條件轉化為子集關系，結合子集的定義及二次函數的性質即可求解.【詳解】（1）因為不等式的解集為，則和是方程的兩根，所以，解得，所以不等式為不等式，解得，即集合.（2）因為是成立的必要條件，所以.當時，，解得；當時，，解得.綜上，實數的取值范圍是.3．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進而根據并集的運算求解，即可得出答案；（2）根據已知可推得A，分以及，根據集合的包含關系列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】（1）解可得，或，所以，或.當時，，所以或.（2）由“”是“”的必要不充分條件，所以，.又或，.當，有，即，顯然滿足；當時，有，即.要使A，則有或，解得或.綜上所述，或.高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）典型例題例題1．（2024上·四川南充·高一統考期末）已知函數.(1)若關于的不等式的解集為，求實數，的值；(2)求關于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個根，利用根與系數關系求參數值；（2）由題意有，討論、、求不等式解集.【詳解】（1）由題設的解集為，即是的兩個根，所以.（2）由題意，當時，解得或，故解集為；當時，解得，故解集為；當時，解得或，故解集為；例題2．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數.(1)當時，求函數的零點；(2)當時，求不等式的解集.【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）直接解二次方程即可得解；（2）分類討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.【詳解】（1）當時，，令，得，解得或，故的零點為或.（2）因為，當時，不等式可化為，解得；當時，不等式可化為，又，故解得或；綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.例題3．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數，其中.(1)若，求實數的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據題意，由，列出方程，即可求解；（2）根據題意，得到，結合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【詳解】（1）由函數，因為，可得，解得.（2）因為，可得，即，當時，解得，所以不等式的解集為；當時，解得或，所以不等式的解集為，綜上可得，當時，解集為；當時，解集為.練透核心考點1．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設為實數，則關于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分類討論解不等式，判斷不可能的解集.【詳解】關于的不等式，若，不等式為，解得，此時解集為；若，方程，解得或，時，不等式解得或，此時解集為；時，，不等式解得，此時解集為；時，，不等式解集為，時，，不等式解得，此時解集為；所以不等式的解集不可能是.故選：B2．（2024上·四川宜賓·高一統考期末）已知集合，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據分式不等式化簡集合，即可根據并集的運算求解，（2）根據包含關系即可列不等式求解.【詳解】（1）由解得，所以，當時，，所以．（2）因為，所以，因為，所以，所以，解得，所以實數m的取值范圍為．3．（2024上·福建寧德·高一統考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求關于的不等式的解集.【答案】(1)(2)詳見解析.【分析】（1）根據函數的對稱性求參數的值；（2）分解因式，對的值進行分類討論即可求解.【詳解】（1）由得函數對稱軸為：，由.（2）由.當時，可得：;當時，可得：；當時，可得：綜上，當時，原不等式的解集為：；當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系典型例題例題1．（多選）（2024上·湖南婁底·高一統考期末）已知關于x的不等式（，）的解集為，則下列結論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用二次不等式的解集得方程的兩根為和，結合韋達定理得，從而判斷A，再利用基本不等式計算判斷BCD.【詳解】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因為，，所以，可得，當且僅當時取等號，所以的最大值為，所以B正確；由，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為，所以C錯誤；由，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以D正確.故選：ABD例題2．（2024上·江西萍鄉·高一統考期末）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．【答案】/【分析】由題可得a，b是關于的一元二次方程的兩個不同的實數根，由根與系數的關系可求出的值，進而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.【詳解】因為區間是關于的一元二次不等式的解集，則a，b是關于的一元二次方程的兩個不同的實數根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數，則有，當且僅當時即，等號成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.例題3．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；（2）將是成立的必要條件轉化為子集關系，結合子集的定義及二次函數的性質即可求解.【詳解】（1）因為不等式的解集為，則和是方程的兩根，所以，解得，所以不等式為不等式，解得，即集合.（2）因為是成立的必要條件，所以.當時，，解得；當時，，解得.綜上，實數的取值范圍是.練透核心考點1．（多選）（2024上·山東臨沂·高一統考期末）已知關于的一元二次不等式的解集為{或}，則（

）A．且 B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為【答案】AC【分析】利用一元二次不等式、二次函數、一元二次的關系求參數一一判定選項即可.【詳解】由題意可知，所以且，，故A正確，B錯誤；不等式，故C正確；不等式，即，所以或，故D錯誤.故選：AC2．（2024上·湖南·高一校聯考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求實數的值；(2)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據二次不等式的解集與二次方程的根的關系可得參數；（2）這個不等式恒成立，首先討論時，能不能恒成立，其次在時，這是二次不等式，結合二次函數的性質可求解．【詳解】（1）由題意可知，和3是方程的兩根，且，所以，解得.（2）由題可得，即對一切實數恒成立，當時，不等式化為，不符合題意；當時，有解得，綜上可知，實數的取值范圍為.3．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）已知二次函數．(1)若關于的不等式的解集是，求實數，的值；(2)若，，解關于的不等式．【答案】(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）根據給定的解集，借助一元二次方程根與系數的關系列式計算即得.（2）分類討論解一元二次不等式即得.【詳解】（1）由不等式的解集是，得和是一元二次方程的兩個實數根，且，于是，解得，，所以，.（2），不等式化為，即，當，即時，解不等式，得或；當，即時，不等式的解為；當，即時，解不等式，得或，所以當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題角度1：上恒成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論，結合一元二次不等式解集的性質進行求解即可.【詳解】由題意可知恒成立，當時，恒成立，當時需滿足，即，求得，所以實數的取值范圍是故選：C例題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考階段練習）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，，得，與題意矛盾，當時，則，解得，綜上所述，，所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.故選：A.角度2：上成立（優選法）典型例題例題1．（2023上·廣東珠海·高一校聯考期中）命題：，為真命題，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據條件將問題轉化不等式在上有解，利用判別式求解.【詳解】因為命題：，為真命題，所以不等式在上有解，當時，不等式可化為，得，符合題意；當時，由題意得，即，解得，結合，得，綜上，實數的取值范圍為.故答案為：角度3：上恒成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯考期中）已知，，，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將不等式轉化為關于的不等式，再根據參變分離，轉化為求函數的最值.【詳解】因為，，則，所以，又，可得，令，則原題意等價于，，即，，當時，取到最大值，所以實數m的取值范圍是．故選：C角度4：上成立（優選分離變量法）典型例題例題1．（2023上·浙江·高二校聯考期中）若關于x的不等式在上有解，則實數m的最小值為（

）A．9 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】先通過分離參數得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，則的最小值可求.【詳解】因為在上有解，所以在上有解，所以，又因為，當且僅當即時取等號，所以，所以，即的最小值為，故選：B.角度5：已知參數，求取值范圍（優選變更主元法）典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省長樂第一中學校考階段練習）已知函數.(1)當時，求的解集；(2)是否存在實數，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）關于的不等式恒成立問題轉化為關于的函數最值問題求解，按系數符號與軸與區間的關系分類討論求解即可.【詳解】（1）時，函數，不等式即為，即，解得，∴不等式的解集為.（2）設，，根據題意知，在上恒成立，①當時，解得，若，則在上單調遞增，則，不符合題意；若，則在上單調遞減，則，不符合題意；②當，即時，的圖像為開口向下的拋物線，要使在上恒成立，需，即，解得或，又∵，∴此時無解；③當，即或時，的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當，即時，在上單調遞增，∴，解得或，∵，，∴此時無解；（ii）當，即或時，在上單調遞減，在上單調遞增，∴，此時無解；（iii）當，即時，在上單調遞減，∴，解得或，∵，，∴此時無解；綜上，不存在符合題意的實數.練透核心考點1．（2023上·湖南張家界·高一慈利縣第一中學校考期中）（1）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）題目轉化為，利用均值不等式計算最值得到答案.（2）變換得到，計算函數的最小值得到答案.【詳解】（1）當時，有解，即在上有解，又，于是等價于，故，又，當且僅當即，即時等號成立，所以所以實數的取值范圍是（2）當時，恒成立．因為，且當時有最大值為，所以等價于．在區間上的最小值為，故只需即可，所以實數的取值范圍是．2．（2024上·福建南平·高一統考期末）設函數．(1)若，求不等式的解集；(2)若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；（2）由題意得，恒成立，對分類討論即可求解.【詳解】（1）當，，不等式即為，解得或，所以的解集為或．（2）因為，所以不等式可化為，依題意對，恒成立．所以當時，，不符合要求；

當時，由一元二次函數性質，可知，即，解得，因此實數的取值范圍是．3．（2024上·安徽蕪湖·高一統考期末）設函數，關于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達定理求參數后再解不等式即可.（2）對變量范圍進行討論，分離參數法求解參數即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當時顯然成立；當時，對恒成立，令，則，當，即時，所以，即．4．（2024上·四川內江·高一統考期末）已知二次函數的最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區間上的最小值；(3)若關于x的不等式在區間上有解，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據二次函數對稱性和最小值設頂點式，代入零點即可得到解析式；（2）分和討論即可；（3）通過分離參數法和基本不等式即可求出的范圍.【詳解】（1）因為對都有，所以的圖象關于直線對稱，又因為二次函數的最小值為，所以可設二次函數的解析式為，又因為是其一個零點，所以，解得，所以的解析式為.（2）由（1）可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當時，，當時，，.（3）因為關于的不等式在區間上有解，即不等式在上有解，所以，記，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為4，所以，即，故存在實數符合題意，所求實數的取值范圍為.5．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中校考期末）設定義域為的奇函數，（其中為實數）．(1)求的值；(2)是否存在實數和，使不等式成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由是定義在的奇函數，利用，即可求出的值，再利用定義驗證.（2）先證明函數單調性脫去不等式中的，轉化為不等式恒成立問題，通過分離參數轉化為函數最值問題求解.【詳解】（1）由是定義在的奇函數，則有，得，把代入函數得，而，所以符合題意.（2），因為函數且在單調遞增，所以在上單調遞減，從而在上單調遞減.因為在上單調遞減.所以設函數，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，由雙勾函數的性質可知在遞減，在遞增，在上遞減，所以在上的最小值為，在上的最大值為.所以存在.高頻考點五：分式不等式典型例題例題1．（2024上·山東濱州·高一統考期末）已知集合，.(1)當時，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）由題意可得，分、兩種情況討論，根據題意可得出關于實數的不等式（組），綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）解：當時，，由可得，解得，則，因此，.（2）解：因為，所以.當時，，得，滿足題意；當時，則，解得，綜上所述，的取值范圍是.例題2．（2024上·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）已知集合，集合.(1)當時，求；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解；（2）由，得到，分，，，討論集合A求解.【詳解】（1）當時，集合,，，所以；（2）因為，所以，當時，，則，解得，此時；當時，，符合題意；當時，，則，解得，此時無解；綜上：實數的取值范圍是.練透核心考點1．（2024上·陜西寶雞·高一統考期末）已知集合，集合.(1)當時，求；(2)若是的充分條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，分別求出集合、，即可求出；（2）根據是的充分條件，課確定，然后分和分別確定的取值范圍，再合并在一起.【詳解】（1）由，即解得：，所以.當時，，所以.（2）因為是的充分條件，所以.當時，，解得：；當時，要滿足題意需，解之得：.綜上：實數的取值范圍為.2．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）設全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合，根據集合的交集運算得解；（2）討論，由建立不等式求解即可.【詳解】（1），，所以.（2）由（1）知，因為，當時，，解得，當時，則或，解得，綜上，實數的取值范圍為.高頻考點六：一元二次不等式的應用典型例題例題1．（2023上·貴州貴陽·高一校考階段練習）一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量（單位：輛）與創造的價值（單位：元）之間有如下的關系：.若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產（填寫區間范圍）輛摩托車？【答案】51~59【分析】依據題意列出不等關系，解不等式再根據實際意義即可求出需生產51~59輛摩托車.【詳解】根據題意可知，轉化為不等式，即可得，解得；所以應該生產51~59輛摩托車.故答案為：51~59例題2．（2024上·全國·高一專題練習）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，且年內的總維修保養費用為萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.設到第且年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養費-投資成本）為萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.(1)求實數的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；(2)到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤年數）最大？并求出最大值.【答案】(1)，該項目到第4年年底純利潤第一次能達到232萬元.(2)到第6年年底，該項目年