學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、分層抽樣的概念當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，不宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣,為了使樣本更能充分地反映總體的情況，應(yīng)將總體分成互不交叉的幾部分,然后按照各部分所占的比例，從各部分中獨(dú)立抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各部分抽出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。其中所分成的每一部分叫層.根據(jù)定義可知，分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯的區(qū)別，互不重疊，而層內(nèi)個(gè)體間差異很小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例抽取，也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例,即。這樣抽取能使所得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)基本相同，可以提高樣本對(duì)總體的代表性.深化升華分層抽樣具有以下主要特點(diǎn)：（1）適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；（2）在每一層進(jìn)行抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；（3）它能充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性；(4）它也是等可能性抽樣,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是。而且在每層抽樣時(shí)，可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法.二、分層抽樣的一般步驟分層抽樣的操作步驟是：（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分。（2）確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比。計(jì)算出抽樣比k=（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量。（4）在每一層進(jìn)行抽樣(各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取），綜合每層抽樣，組成樣本.（5)匯合成樣本.學(xué)法一得①分層抽樣時(shí)，各部分抽取的個(gè)體數(shù)與這一部分個(gè)體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相等的；每一層抽樣中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用。三、三種抽樣方法的比較在具體情景中，需要我們準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄟM(jìn)行抽樣。在各種方法間選擇時(shí)，要遵循以下原則：（1）若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則宜用分層抽樣法.當(dāng)抽樣比與各層的個(gè)體數(shù)的乘積是整數(shù)時(shí)，則該積就是該層的入樣數(shù)；當(dāng)抽樣比與各層的個(gè)體數(shù)的乘積不是整數(shù)時(shí)，則該積經(jīng)過四舍五入后就是該層的入樣數(shù).(2）若總體中沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.①當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；②當(dāng)總體容量較大,樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法;③當(dāng)總體容量較大,樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣法.三種抽樣方法的優(yōu)、缺點(diǎn)及相互之間的關(guān)系：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，其他的各種隨機(jī)抽樣方法中大都會(huì)用到它。其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便易行，缺點(diǎn)是當(dāng)容量較大時(shí)難于操作，個(gè)體差異明顯時(shí)所得樣本無代表性.系統(tǒng)抽樣：優(yōu)點(diǎn)是①系統(tǒng)抽樣比其他隨機(jī)抽樣方法更容易實(shí)現(xiàn)，可節(jié)約抽樣成本.②系統(tǒng)抽樣比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍更廣。它可以應(yīng)用到個(gè)體有自然編號(hào)，但總體中個(gè)體的數(shù)目卻在抽樣時(shí)無法確定的情況（如生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)）。缺點(diǎn)是系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性和具體的編號(hào)有關(guān)（簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體的編號(hào)無關(guān)）。如果編號(hào)的個(gè)體特征隨編號(hào)變化呈現(xiàn)一定的周期性,可能會(huì)使系統(tǒng)抽樣的代表性很差.分層抽樣：優(yōu)點(diǎn)是充分利用了已知的總體信息，得到的樣本比前兩種方法有更好的代表性，并且可得到各層的子樣本以顧及各層的信息.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，體現(xiàn)了這些抽樣方法的客觀性和公平性.其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單和最基本的抽樣方法,在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時(shí)都要用到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽樣方法經(jīng)常交叉起來使用.對(duì)于個(gè)體數(shù)量很大的總體，可采用系統(tǒng)抽樣,系統(tǒng)中每一均衡部分，又可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。辨析比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相同從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成系統(tǒng)抽樣按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取第一個(gè)樣本，然后按相同的間隔抽取其他樣本抽取第一個(gè)樣本時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一分層抽樣的概念例1某單位有老年人28人，中年人54人,青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B。系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D。先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣思路解析：由于總體由差異明顯的三部分組成，考慮用分層抽樣.總體總?cè)藬?shù)為28+54+81=163（人).樣本容量為36,若按36︰163取樣本,無法得到整數(shù)解.故考慮先剔除1人，抽取比例變?yōu)?6︰162=2︰9，則中年人取54×=12(人），青年人取81×=18（人），應(yīng)從老年人中剔除1人，老年人取27×=6(人），組成容量為36的樣本.∴應(yīng)選D。答案：D誤區(qū)警示通過以上的實(shí)例分析可以感悟到，在具體情景中，需要我們準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄟM(jìn)行抽樣。各種方法間選擇時(shí)，要遵循以下原則：（1)若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成,則宜用分層抽樣法.當(dāng)抽樣比與各層的個(gè)體數(shù)的乘積是整數(shù)時(shí)，則該積就是該層的入樣數(shù)；當(dāng)抽樣比與各層的個(gè)體數(shù)的乘積不是整數(shù)時(shí),則該積經(jīng)過四舍五入后就是該層的入樣數(shù)。知識(shí)點(diǎn)二分層抽樣的過程與步驟例2選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程。（1)30個(gè)籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個(gè)，乙廠生產(chǎn)的有9個(gè)，抽取10個(gè)入樣；（2）有甲廠生產(chǎn)的30個(gè)籃球,其中一箱21個(gè)，另一箱9個(gè),抽取3個(gè)入樣；(3）有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取10個(gè)入樣；（4）有甲廠生產(chǎn)的300個(gè)籃球，抽取30個(gè)入樣.思路分析：應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實(shí)際情況靈活使用各種抽樣方法解決問題。解：（1）總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成,需選用分層抽樣法。第一步:確定抽取個(gè)數(shù)，30/10=3，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取21/3=7個(gè)，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取9/3=3個(gè)；第二步：用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個(gè)，乙廠生產(chǎn)的籃球3個(gè)。這些籃球便組成了我們要抽取的樣本；（2）總體容量較小,用抽簽法.第一步：將30個(gè)籃球編號(hào),編號(hào)為00，01,…，29；第二步：將以上30個(gè)編號(hào)分別寫在一張小紙條上，揉成小球，制成號(hào)簽；第三步:把號(hào)簽放入一個(gè)不透明的袋子中,充分?jǐn)噭?第四步:從袋子中逐個(gè)抽取3個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的號(hào)碼；第五步：找出和所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的籃球。(3）總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機(jī)數(shù)表法.第一步：將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為001,002，…，299；第二步：在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)地確定一個(gè)數(shù)作為開始,如第8行第29列的數(shù)7開始,任選一個(gè)方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；第三步：從數(shù)7開始向右讀，每次讀三位,凡不在001—299中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去,便可依次得到286，211，234,297，207，013,027，086，284，281這10個(gè)號(hào)碼,這就是所要抽取的10個(gè)樣本個(gè)體的號(hào)碼。(4）總體容量較大,樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣法。第一步：將300個(gè)籃球用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為000,001，002，…，299，并分成30段；第二步：在第一段000，001，002，…，009這三個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)（如002）作為起始號(hào)碼；第三步：將編號(hào)為002,012，022，…，292的個(gè)體抽出，組成樣本.巧解提示在解決問題的過程中,應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實(shí)際情況靈活使用各種抽樣方法。問題·探究方案設(shè)計(jì)探究問題為了考查某校的教學(xué)水平，將抽查這個(gè)學(xué)校高三年級(jí)的部分學(xué)生的本學(xué)年考試成績進(jìn)行考查,為了全面地反映實(shí)際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查:（已知該校高三年級(jí)共有20個(gè)教學(xué)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了號(hào),假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同)(1）從全年級(jí)20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班,再從該班中任意抽取20人,考察他們的學(xué)習(xí)成績；（2)每個(gè)班都抽取1人，共計(jì)20人，考察這20個(gè)學(xué)生的成績;（3）把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個(gè)級(jí)別,從其中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考查。（已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）試探究上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.探究過程:（1）這三種抽取方式中,其總體都是指該校高三年級(jí)全體學(xué)生本年度的考試成績。其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的成績，樣本容量為100；（2）上面三種抽取方式中，第一種方式采用的方法是簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法；第二種方式采用的方法是簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法和系統(tǒng)抽樣法；第三種方式采用的方法是簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法和分層抽樣法;（3）第一種方式抽樣的步驟如下:第一步，在這20個(gè)班中用抽簽法任意抽取一個(gè)班；第二步,從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績。第二種方式抽樣的步驟如下:第一步，在第一個(gè)班中，用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法任意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號(hào)為a；第二步，在其余的19個(gè)班中，選取學(xué)號(hào)為a的學(xué)生,共計(jì)20人。第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層。因?yàn)槿舭闯煽兎?其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時(shí)，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個(gè)層次；第二步，確定各個(gè)層次抽取的人數(shù).因?yàn)闃颖救萘颗c總體的個(gè)體數(shù)之比為100∶1000=1∶10，所以在每個(gè)層次抽取的個(gè)體數(shù)依次為150/10,600/10,250/10，即15，60，25；第三步，按層次分別抽取。在