2025屆重慶市西南大學附中高二上數學期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.102．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點，在線段上，則與平面的位置關系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點的位置而定3．某同學為了調查支付寶中的75名好友的螞蟻森林種樹情況，對75名好友進行編號，分別為1，2，…，75，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，已知11號，26號，56號，71號好友在樣本中，則樣本中還有一名好友的編號是（）A.40 B.41C.42 D.394．已知點O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，點T在拋物線C的準線上，線段FT與拋物線C的交點為W，，則（）A.1 B.C. D.5．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.6．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.7．已知直線與圓相交于兩點，當的面積最大時，的值是（）A. B.C. D.8．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.9．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.10．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．在空間四邊形OABC中，，，，點M在線段OA上，且，N為BC中點，則等于（）A. B.C. D.12．現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，若拋物線上一點P到x軸的距離為2，則|PF|的值為___________.14．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過點F斜率為的直線與拋物線C交于點M（M在x軸的上方），過M作于點N，連接NF交拋物線C于點Q，則__________15．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種16．命題“若，則二元一次不等式表示直線的右上方區域（包含邊界）”的條件：_________，結論:_____________，它是_________命題（填“真”或“假”）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于A、B兩點，求.18．（12分）已知拋物線上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設直線FA，FB的斜率分別為，．求的值19．（12分）已知橢圓C：的左右焦為，，點是該橢圓上任意一點，當軸時，，（1）求橢圓C的標準方程；（2）記，求實數m的最大值20．（12分）已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6⑴求橢圓C的標準方程;⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的長度21．（12分）為增強市民的環境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環境保護宣傳小組，現把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內的人數為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內的志愿者中抽取名參加某社區的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環境保護知識宣講，求這名環境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區為了感謝甲、乙作為環境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發價值元、元、元的紀念品一件，求甲的紀念品不比乙的紀念品價值高的概率.22．（10分）2021年國務院政府工作報告中指出，扎實做好碳達峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優化產業結構和能源結構.汽車行業是碳排放量比較大的行業之一，若現對CO2排放量超過130g/km的MI型新車進行懲罰(視為排放量超標)，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160經測算發現，乙類品牌車CO2排放量的均值為乙＝120g/km.（1）求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；（2）若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩定性好，求x的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.2、B【解析】構造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因為在直三棱柱中，M，N分別是，AB的中點，所以∥.因為平面內，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因為，平面，平面，所以平面∥平面.又因為P點在線段上，所以∥平面.故選：B.3、B【解析】根據系統抽樣等距性即可確定結果.【詳解】根據系統抽樣等距性得：11號，26號，56號，71號以及還有一名好友的編號應該按大小排列后成等差數列，樣本中還有一名好友的編號為26號與56號的等差中項，即41號，故選：B【點睛】本題考查系統抽樣，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4、B【解析】根據平面向量共線的性質，結合拋物線的定義進行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準線方程為：，所以設，因為，所以，由拋物線的定義可知：，故選：B5、B【解析】根據邏輯聯結詞“且”，一假則假，對四個選項一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯結詞“且”，一假則假.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯誤；為真，故B正確；為假，故C錯誤；為假，故D錯誤.故選：B6、A【解析】把求面積轉化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A7、C【解析】利用點到直線的距離公式和弦長公式可以求出的面積是關于的一個式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長為..當，即時，取得最大值.故選：C.8、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題9、C【解析】根據雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據幾何意義結合特殊情況分類討論，體現數形結合思想.10、B【解析】分別設內外層橢圓方程為、，進而設切線、分別為、，聯立方程組整理并結合求、關于a、b、m的關系式，再結合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內層橢圓方程為，由離心率相同，可設外層橢圓方程為，∴，設切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：根據內外橢圓的離心率相同設橢圓方程，并寫出切線方程，聯立方程結合及已知條件，得到橢圓參數的齊次方程求離心率.11、B【解析】由題意結合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因為空間四邊形OABC如圖，，，，點M在線段OA上，且，N為BC的中點，所以.所以.故選：B.12、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的情況個數，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數為種情況，故恰有一位同學拿到自己禮物的概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】先求出拋物線的焦點坐標和準線方程，再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為拋物線上一點P到x軸的距離為2，所以由拋物線的定義可得，故答案為：314、【解析】由題意畫出圖形，寫出直線的方程，與拋物線方程聯立求出的坐標，進一步求出的坐標，求得即可求解【詳解】解：如圖，由拋物線，得，，則，與拋物線聯立得，解得、，，，，，為等邊三角形，，過作軸的垂線交軸于，設，，，，，在拋物線上，，解得，，，，則，故答案為：15、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.16、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區域（包含邊界）③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因為，二元一次不等式所表示的區域如下圖所示：所以在的條件下，二元一次不等式表示直線的右上方區域（包含邊界），此命題是真命題.故答案為：；二元一次不等式表示直線的右上方區域（包含邊界）；真三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意得，，再結合即可求得答案.（2）設，，直接聯立方程得，再結合韋達定理，利用弦長公式和點到線的距離公式得，點M到直線的距離，進而可得.【詳解】解：（1）由題意得，，結合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經驗證.設，.所以，，故因為點M到直線的距離，所以.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，橢圓的方程，弦長公式等，考查運算能力，是基礎題.18、（1）（2）0【解析】（1）由焦半徑公式求C的方程；（2）設直線AB方程，與拋物線方程聯立，由韋達定理表示出，，代入中化簡求值即可.小問1詳解】設點，則，所以，解得因為，所以．所以拋物線C的方程為【小問2詳解】由題知，，，直線AB的斜率必存在，且不為零設，，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為，由，得所以，，且，即所以所以的值為019、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求解；（2）問題轉化為在軸截距的問題，臨界條件為直線與橢圓相切，求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，∴，所以橢圓標準方程為：【小問2詳解】要求的最值，即求直線在軸截距的最值，可知當直線與橢圓相切時，m取得最值.聯立方程：，整理得，解得所以實數m的最大值為20、（1）；（2）【解析】(1)由焦點坐標可求c值，a值，然后可求出b的值．進而求出橢圓C的標準方程（2）先求出直線方程然后與橢圓方程聯立利用韋達定理及弦長公式求出|AB|的長度【詳解】解：⑴由，長軸長為6得：所以∴橢圓方程為⑵設,由⑴可知橢圓方程為①,∵直線AB的方程為②把②代入①得化簡并整理得所以又【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查運算能力，屬于中檔題