2025屆河南省鄭州市第五中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線(xiàn)的一支上 D.一條拋物線(xiàn)上2．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有3．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.4．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，延長(zhǎng)交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程為A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.37．已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線(xiàn)x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或8．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.9．已知對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)方程為，若雙曲線(xiàn)上有一點(diǎn)，使，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上 D.當(dāng)時(shí)在軸上10．已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.11．七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學(xué)用七巧板拼成了一個(gè)“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點(diǎn)，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.12．已知，為雙曲線(xiàn)的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線(xiàn)：，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，則_______________.14．過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程是________.15．若隨機(jī)變量，則______.16．秦九韶出生于普州（今資陽(yáng)市安岳縣），是我國(guó)南宋時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的秦九韶算法歷來(lái)為人稱(chēng)道，其本質(zhì)是將一個(gè)次多項(xiàng)式寫(xiě)成個(gè)一次式相組合的形式，如可將寫(xiě)成，由此可得__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足（1）求證：平面；（2）已知，直線(xiàn)與底面所成角的大小為，求二面角的大小18．（12分）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的大小19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍21．（12分）《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車(chē)行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車(chē)讓行，俗稱(chēng)“禮讓斑馬線(xiàn)”，其中第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線(xiàn)”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線(xiàn)方程；（2）預(yù)測(cè)該路口10月份的不“禮讓斑馬線(xiàn)”違章駕駛員人數(shù)；22．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支故選：C2、B【解析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱(chēng)量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B3、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯(cuò)誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，，故D成立；故選：D4、C【解析】畫(huà)出圖象，結(jié)合漸近線(xiàn)方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線(xiàn)的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線(xiàn)為，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線(xiàn)距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C5、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線(xiàn)與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線(xiàn)的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C7、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線(xiàn)的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m＝±4，當(dāng)m=4時(shí),圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線(xiàn)x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A8、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D9、B【解析】設(shè)出雙曲線(xiàn)的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線(xiàn)方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)的方程，考查對(duì)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力10、D【解析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D11、C【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計(jì)算概率【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長(zhǎng)為，面積為，所以概率為故選：C12、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線(xiàn)方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切危翼斀菫椋瑒t有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，應(yīng)用韋達(dá)定理根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)，由得，所以，，故答案為：814、【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線(xiàn)方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，而點(diǎn)在直線(xiàn)上，于是得，解得，所以所求的直線(xiàn)的方程為.故答案為：15、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)分布的期望公式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以.故答案：216、【解析】利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿(mǎn)足．所以，所以.因?yàn)椋裕?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】∵面，∴直線(xiàn)與底面所成角為，即.因?yàn)椋杂桑?）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊妫悦娴囊粋€(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線(xiàn)面角.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接在正方體中，且因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以且又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量因?yàn)椋粤睿迷O(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則因?yàn)椋灾本€(xiàn)與平面所成角的大小為19、（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，.由，得.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.（2）對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立.令，則.由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，因此.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了構(gòu)造函數(shù)法、常變量分離法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和分類(lèi)討論思想.20、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線(xiàn)MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)椋裕矗寓伲驗(yàn)榫€(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為21、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與，進(jìn)而求出回歸直線(xiàn)方程；（