2022-2023學年河北省承德普通中學高三三診考試數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．3．秦九韶是我國南寧時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A． B． C． D．4．如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．5．設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．已知與函數和都相切，則不等式組所確定的平面區域在內的面積為（）A． B． C． D．7．記為等差數列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－138．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．9．設，，則（）A． B． C． D．10．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，，，，則按照以上規律，若具有“穿墻術”，則（）A．48 B．63 C．99 D．12011．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．12．天干地支，簡稱為干支，源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復，60年為一個輪回.現從農歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；②支出最高值與支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入為50萬元；④利潤最高的月份是2月份．14．數列的前項和為，則數列的前項和_____．15．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數t的取值范圍為_______.16．已知數列中，為其前項和，，，則_________，_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求函數的單調遞增區間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，，，求.18．（12分）在中，設、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．19．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.20．（12分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設為的中點，且，的平分線交于點，求線段的長.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.22．（10分）已知函數.（1）若曲線的切線方程為，求實數的值；（2）若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】所對應的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.2．D【解析】

根據空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.3．B【解析】

列出循環的每一步，由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得：輸入，，，；第一次循環，，，，繼續循環；第二次循環，，，，繼續循環；第三次循環，，，，跳出循環；輸出.故選：B.【點睛】本題考查根據算法框圖計算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計算能力，屬于基礎題.4．A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.6．B【解析】

根據直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區域以及圓，由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點，斜率為，所以切線方程為，化簡得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡得②.由①②對比系數得，化簡得③.構造函數，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對應的區域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點睛】本小題主要考查根據公共切線求參數，考查不等式組表示區域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計算，考查扇形面積公式，考查數形結合的數學思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.7．B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.8．A【解析】

根據三角函數的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據三角函數的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據三角函數的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎題．10．C【解析】

觀察規律得根號內分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發現規律，根號內分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發現總結各式規律是關鍵，屬于基礎題.11．B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數，屬于中檔題.12．B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數,結合組合數的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組（每組2個），地支相同的年份有8組（每組2個），從這20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數的計算,考查學生分析問題的能力,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察，計算，找出答案即可．【詳解】對于①，2至月份的收入的變化率為20，11至12月份的變化率為20，故相同，正確．對于②，支出最高值是2月份60萬元，支出最低值是5月份的10萬元，故支出最高值與支出最低值的比是6：1，正確．對于③，第三季度的7，8，9月每個月的收入分別為40萬元，50萬元，60萬元，故第三季度的平均收入為50萬元，正確．對于④，利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元，高于2月份的利潤是80﹣60＝20萬元，錯誤．故答案為①②③．【點睛】本題考查利用圖象信息，分析歸納得出正確結論，屬于基礎題目．14．【解析】

解：兩式作差，得，經過檢驗得出數列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數列的通項公式，裂項相消求數列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力．15．【解析】

根據變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點，直線繞定點旋轉與可行域有交點即可，再結合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點，當時，滿足條件，當時，直線得斜率應該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數t的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，還考查了轉化運算求解的能力，屬于中檔題.16．8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當時，，所以，所以的奇數項是以1為首項，以2為公比的等比數列；其偶數項是以2為首項，以2為公比的等比數列.則，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）化簡得到，取，解得答案.（2），解得，根據余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因為，故，.根據余弦定理：，..【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數單調性，余弦定理，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.18．（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面積公式，平面向量數量積的運算可得，結合范圍，可求，進而可求的值．（2）利用同角三角函數基本關系式可求，利用兩角和的正弦函數公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【詳解】解：（1）由，得，因為，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數量積的運算，同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．19．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數的正負再判斷單調性即可.(2),有零點等價于方程實數根,再換元將原方程轉化為,再求導分析的圖像數形結合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調遞減；當時,,所以在單調遞增,所以的減區間為,增區間為.（2）,有零點等價于方程實數根,令則原方程轉化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【點睛】本題主要考查了利用導數分析函數的單調性的方法,同時也考查了利用導數分析函數零點的問題,屬于中檔題.20．（1），；（2）.【解析】

（1）根據面積公式和數量積性質求角及最大邊；（2）根據的長度求出，再根據面積比值求，從而求出．【詳解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因為在中，，所以，因為（當且僅當時取等），所以長的最小值為；（2）在三角形中，因為為中線，所以，，所以，因為，所以，所以，由（1）知，所以，或，，所以，因為為角平分線，，，或2，所以，或，所以．【點睛】本題考查了平面向量數量積的性質及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．21．證明見解析；.【解析】

推導出，，從而平面，由此證明平面平面以；以為原點，建立空間直角坐標系，利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，為的中點，.平面平面，且平面平面，平面.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量為，，，，，設，則，，，，，在平面中，，，設平面的法向量為，則，即，平面的一個法向量為，，由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應用，屬于中檔題.22．（1）；（2）或【解析】

（1）根據解析式求得導函數，設切點坐標為，結合導數的幾何意義可得方程，構造函數，并求得，由導函數求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數得，構造函數，根據題意可知直線與曲線有兩個交點；