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文檔簡介

2024屆河南省豫北豫南名校下學期高三數學試題5月質檢考試試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點,、分別為邊、上的動點,并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.若將函數的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數的圖象,則下列說法正確的是()A.函數在上單調遞增 B.函數的周期是C.函數的圖象關于點對稱 D.函數在上最大值是13.若,,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.4.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,5.已知,則的大小關系是()A. B. C. D.6.“”是“函數的圖象關于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.設為虛數單位,為復數,若為實數,則()A. B. C. D.8.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.59.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管,以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容,立足全體黨員?面向全社會的優質平臺,現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有()A.60 B.192 C.240 D.43210.設,,,則,,三數的大小關系是A. B.C. D.11.某學校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是17.5,30],樣本數據分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()A.56 B.60 C.140 D.12012.已知復數滿足,其中是虛數單位,則復數在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用數字、、、、、組成無重復數字的位自然數,其中相鄰兩個數字奇偶性不同的有_____個.14.設滿足約束條件,則的取值范圍是______.15.在《九章算術》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐為陽馬,側棱底面,且,,設該陽馬的外接球半徑為,內切球半徑為,則__________.16.已知函數,若函數有6個零點,則實數的取值范圍是_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)數列滿足,,其前n項和為,數列的前n項積為.(1)求和數列的通項公式;(2)設,求的前n項和,并證明:對任意的正整數m、k,均有.18.(12分)已知數列的前n項和,是等差數列,且.(Ⅰ)求數列的通項公式;(Ⅱ)令.求數列的前n項和.19.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數方程為(為參數).以平面直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程;(2)設和交點的交點為,求的面積.20.(12分)已知函數f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對數的底,k為常數)有一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.21.(12分)如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.22.(10分)如圖,底面是等腰梯形,,點為的中點,以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

建立平面直角坐標系,求出直線,設出點,通過,找出與的關系.通過數量積的坐標表示,將表示成與的關系式,消元,轉化成或的二次函數,利用二次函數的相關知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點,BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設,則直線,設點,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用,以及轉化與化歸思想的運用.2、A【解析】

根據三角函數伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增,正確;關于點對稱,錯誤;根據正弦型函數最小正周期的求解可知錯誤;根據正弦型函數在區間內值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調遞增在上單調遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數的性質,涉及到三角函數的伸縮變換、正弦型函數周期性、單調性和對稱性、正弦型函數在一段區間內的值域的求解;關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式,通過正弦函數的圖象來判斷出所求函數的性質.3、D【解析】

根據指數函數的性質,取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數函數的性質,可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數冪的比較大小,其中解答中熟記指數函數的性質,求得的取值范圍是解答的關鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】

根據二項分布的性質可得:,再根據和二次函數的性質求解.【詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質可得:,因為,所以,由二次函數的性質可得:,在上單調遞減,所以.故選:B【點睛】本題主要考查二項分布的性質及二次函數的性質的應用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.5、B【解析】

利用函數與函數互為反函數,可得,再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意,函數與函數關于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較,屬于基礎題.6、A【解析】

先求解函數的圖象關于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數的圖象關于直線對稱,則,解得,故“”是“函數的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學生邏輯推理,概念理解,數學運算的能力,屬于基礎題.7、B【解析】

可設,將化簡,得到,由復數為實數,可得,解方程即可求解【詳解】設,則.由題意有,所以.故選:B【點睛】本題考查復數的模長、除法運算,由復數的類型求解對應參數,屬于基礎題8、C【解析】

由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉化是本題的關鍵,注意拋物線的性質的靈活運用,屬于中檔題.9、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數為.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.10、C【解析】

利用對數函數,指數函數以及正弦函數的性質和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點睛】本題考查對數值,指數值和正弦值大小的比較,是基礎題,解題時選擇合適的中間值比較是關鍵,注意合理地進行等價轉化.11、C【解析】

試題分析:由題意得,自習時間不少于小時的頻率為,故自習時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應用.12、B【解析】

利用復數的除法運算化簡z,復數在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B【點睛】本題考查了復數的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數學運算,數形結合的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

對首位數的奇偶進行分類討論,利用分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數,則第一、三、五個數位上的數都是奇數,其余三個數位上的數為偶數,此時,符號條件的位自然數個數為個;②若首位數為偶數,則首位數不能為,可排在第三或第五個數位上,第二、四、六個數位上的數為奇數,此時,符合條件的位自然數個數為個.綜上所述,符合條件的位自然數個數為個.故答案為:.【點睛】本題考查數的排列問題,要注意首位數字的分類討論,考查分步乘法計數和分類加法計數原理的應用,考查計算能力,屬于中等題.14、【解析】

作出可行域,將目標函數整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或,分別計算出與,再由不等式的簡單性質即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,顯然當時,z=0;當時將目標函數整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或顯然,聯立,所以則或,故或綜上所述,故答案為:【點睛】本題考查分式型目標函數的線性規劃問題,屬于簡單題.15、【解析】

該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,由此能求出,內切球在側面內的正視圖是的內切圓,從而內切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽馬,側棱底面,且,,設該陽馬的外接球半徑為,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,,,側棱底面,且底面為正方形,內切球在側面內的正視圖是的內切圓,內切球半徑為,故.故答案為.【點睛】本題考查了幾何體外接球和內切球的相關問題,補形法的運用,以及數學文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問題,關鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當的角度做出截面.球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補形法(構造法),通過補形為長方體(正方體),球心位置即為體對角線的中點;(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點構成的三角形的外心,再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.16、【解析】

由題意首先研究函數的性質,然后結合函數的性質數形結合得到關于a的不等式,求解不等式即可確定實數a的取值范圍.【詳解】當時,函數在區間上單調遞增,很明顯,且存在唯一的實數滿足,當時,由對勾函數的性質可知函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,結合復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,且當時,,考查函數在區間上的性質,由二次函數的性質可知函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,函數有6個零點,即方程有6個根,也就是有6個根,即與有6個不同交點,注意到函數關于直線對稱,則函數關于直線對稱,繪制函數的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實數的取值范圍是.故答案為.【點睛】本題主要考查分段函數的應用,復合函數的單調性,數形結合的數學思想,等價轉化的數學思想等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2),證明見解析【解析】

(1)利用已知條件建立等量關系求出數列的通項公式.(2)利用裂項相消法求出數列的和,進一步利用放縮法求出結論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數列,,,當時,數列的前項積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點睛】本題考查的知識要點:數列的通項公式的求法及應用,數列的前項和的應用,裂項相消法在數列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和轉換能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)先由公式求出數列的通項公式;進而列方程組求數列的首項與公差,得數列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用“錯位相減法”求數列的前項和.試題解析:(1)由題意知當時,,當時,,所以.設數列的公差為,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,兩式作差,得所以.考點1、待定系數法求等差數列的通項公式;2、利用“錯位相減法”求數列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數法求等差數列的通項公式、利用“錯位相減法”求數列的前項和,屬于難題.“錯位相減法”求數列的前項和是重點也是難點,利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點:①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件(一個等差數列與一個等比數列的積);②相減時注意最后一項的符號;③求和時注意項數別出錯;④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19、(1);(2)【解析】

(1)先將曲線的參數方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標方程即可.(2)將和的極坐標方程聯立,求得兩個曲線交點的極坐標,即可由極坐標的含義求得的面積.【詳解】(1)曲線的參數方程為(α為參數),消去參數的的直角坐標方程為.所以的極坐標方程為(2)解方程組,得到.所以,則或().當()時,,當()時,.所以和的交點極坐標為:,.所以.故的面積為.【點睛】本題考查了參數方程與普通方程的轉化,直角坐標方程與極坐標的轉化,利用極坐標求三角形面積,屬于中檔題.20、(1);(2)見解析【解析】

(1)求出,記,問題轉化為方程有兩個不同解,求導,研究極值即可得結果;(2)由(1)知,在區間上存在極大值點,且,則可求出極大值,記,求導,求單調性,求出極值即可.【詳解】(1),由,記,,由,且時,,單調遞減,,時,,單調遞增,,由題意,方程有兩個不同解,所以;(2)解法一:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,記,則,因為,所以,所以時,,單調遞減,時,,單調遞增,所以,即函數的極大值不小于1.解法二:由(1)知,在區間上存在極大值點,且,所以的極大值為,因為,,所以.即函數的極大值不小于1.【點睛】本題考查導數研究函數的單調性,極值,考查學生綜合分析能力與轉化能力,是一道中檔題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標系,可求得面PAB的法向量,再運用線面角的

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