推廣第九章一元函數微分學多元函數微分學注意:善于類比,區別異同多元函數微分法及其應用第九章第一節一、區域二、多元函數的概念三、多元函數的極限四、多元函數的連續性多元函數的基本概念一、區域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.2.

區域(1)

內點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:

若存在點P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內點也含E則稱P為E

的內點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.的外點,顯然,E

的內點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導集

.E

的邊界點)D(3)開區域及閉區域

若點集E

的點都是內點，則稱E

為開集；

若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區域連同它的邊界一起稱為閉區域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區域

,簡稱區域;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;例如，在平面上開區域閉區域

整個平面

點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區域.o

對區域D,若存在正數

K,使一切點P

D與某定點A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無3.n

維空間n元有序數組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.的距離記作中點

a

的

鄰域為規定為與零元O

的距離為二、多元函數的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式定義1.

設非空點集點集D

稱為函數的定義域;數集稱為函數的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數當n=3時,有三元函數映射稱為定義在

D

上的n

元函數,記作例如,

二元函數定義域為圓域說明:

二元函數

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球三、多元函數的極限定義2.

設n

元函數點,則稱A

為函數(也稱為n

重極限)當n=2時,記二元函數的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數A,對一記作都有對任意正數

,總存在正數,切例1.

設求證：證:故總有要證例2.

設求證：證：故總有要證

若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數函數例4.

求解:因而此函數定義域不包括x,y

軸則故僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.四、多元函數的連續性定義3

.

設n元函數定義在D

上,如果函數在D

上各點處都連續,則稱此函數在

D

上如果存在否則稱為不連續,此時稱為間斷點

.則稱n

元函數連續.連續,例如,

函數在點(0,0)極限不存在,又如,

函數上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結論:一切多元初等函數在定義區域內連續.例求解這里在區域和區域內都有定義，同時為及的邊界點.但無論在內還是在內考慮，下列運算都是正確的：定理：若f(P)在有界閉域D

上連續,則*(4)f(P)必在D上一致連續.在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續性定理)閉域上多元連續函數有與一元函數類似的如下性質:(證明略)解:原式例5.求例6.

求函數的連續域.解:例6.證明在全平面連續.證:為初等函數,故連續.又故函數在全平面連續.由夾逼準則得第二節一、偏導數概念及其計算二、高階偏導數

偏導數第九章定義1.在點存在,的偏導數，記為的某鄰域內則稱此極限為函數極限設函數同樣可定義對y

的偏導數解：例1：用定義求下面函數在原點的偏導數.若函數z=f(x,y)在域D

內每一點

(x,y)處對x則該偏導數稱為偏導函數,也簡稱為偏導數

,記為或

y

偏導數存在,例如,三元函數u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數.偏導數定義為注意：偏導數與某點偏導數的關系.例1.

求解法1:解法2對嗎？在點(1,2)處的偏導數.注意:在一定條件下例求函數在某點各偏導數都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續.在上節已證f(x,y)在點(0,0)并不連續!例2.

設證:例3.

求的偏導數.解:求證偏導數記號是一個例4.

已知理想氣體的狀態方程求證:證:說明:(R為常數),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,二元函數偏導數的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的二、高階偏導數設z=f(x,y)在域D

內存在連續的偏導數若這兩個偏導數仍存在偏導數，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數

.按求導順序不同,有下列四個二階偏導數:類似可以定義更高階的偏導數.例如，z=f(x,y)關于x的三階偏導數為z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數,再關于y

的一階偏導數為例5.

求函數解

:注意:此處但這一結論并不總成立.的二階偏導數及例如,二者不等則定理.例如,對三元函數u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數的高階混合導數也成立.函數在其定義區域內是連續的,故求初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序.因為初等函數的偏導數仍為初等函數,當三階混合偏導數在點(x,y,z)連續時,有而初等(證明略)例6.

證明函數滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程備用題

設方程確定u

是x,y

的函數,連續,且求解:證:令則則定理證明.令同樣在點連續,得第九章*二、全微分在數值計算中的應用應用第三節一元函數y=f(x)的微分近似計算估計誤差本節內容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義

定義:

如果函數z=f(x,y)在定義域D

的內點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關，稱為函數在點(x,y)的全微分,記作若函數在域D

內各點都可微,則稱函數

f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數在D

內可微.(2)偏導數連續下面兩個定理給出了可微與偏導數的關系:(1)函數可微函數z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數在該點連續偏導數存在函數可微即定理1(必要條件)若函數z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數在該點偏導數同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有

反例:函數易知但因此,函數在點(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導數存在函數不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數的偏導數則函數在該點可微分.所以函數在點可微.注意到,故有推廣:

類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題.例如,三元函數習慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.計算函數在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數的全微分.解:

思考與練習函數在可微的充分條件是()的某鄰域內存在;時是無窮小量;時是無窮小量.1.選擇題2.設解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對稱性

在點(0,0)可微.在點(0,0)連續且偏導數存在,續,證:1)因故函數在點(0,0)連續;

但偏導數在點(0,0)不連

3.

證明函數所以同理極限不存在,在點(0,0)不連續;同理,在點(0,0)也不連續.2)3)4)下面證明可微:說明:

此題表明,偏導數連續只是可微的充分條件.令則內容小結1.微分定義:2.重要關系:函數可導函數可微偏導數連續函數連續第四節、方向導數與梯度實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問題的提出討論函數在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向導數的定義（如圖）當沿著趨于時，是否存在？記為證明由于函數可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向導數解解由方向導數的計算公式知故推廣可得三元函數方向導數的定義指向B(3,－2,2)方向的方向導數是

.在點A(1,0,1)處沿點A例3.函數提示:則二、梯度的概念、意義與計算結論在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫法播放例如,梯度與等高線的關系：類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數解由梯度計算公式得故梯度的基本運算公式思考題思考題解答1、方向導數的概念2、梯度的概念3、方向導數與梯度的關系（注意方向導數與一般所說偏導數的區別）（注意梯度是一個向量）小結4、關系方向導數存在偏導數存在?

可微第五節一元復合函數求導法則本節內容:一、多元復合函數求導的鏈式法則二、多元復合函數的全微分微分法則多元復合函數的求導法則第九章一、多元復合函數求導的鏈式法則定理.

若函數處偏導連續,在點t可導,則復合函數證:設t

取增量△t,則相應中間變量且有鏈式法則有增量△u,△v,(全導數公式)(△t＜0時,根式前加“–”號)若定理中說明:例如:易知:但復合函數偏導數連續減弱為偏導數存在,則定理結論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個的情形.例如,設下面所涉及的函數都可微.2)中間變量是多元函數的情形.例如,又如,當它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定y

對x

求導,表示固定v

對x

求導口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導與不同,例1.設解:例2.解:例3.設

求全導數解:注意：多元抽象復合函數求導在偏微分方程變形與驗證解的問題中經常遇到,下列例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號.為簡便起見,引入記號例4.設

f

具有二階連續偏導數,求解:令則二、多元復合函數的全微分設函數的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復合函數都可微,其全微分表達形式都一樣,這性質叫做全微分形式不變性.例1.例５.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以例６已知求解:由兩邊對

x

求導,得例７求在點處可微,且設函數解:由題設練習題１練習題２第九章第六節一、一個方程所確定的隱函數及其導數二、方程組所確定的隱函數組及其導數隱函數的求導方法本節討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數.例如,

方程當C<0時,能確定隱函數;當C>0時,不能確定隱函數;2)在方程能確定隱函數時,研究其連續性、可微性及求導方法問題.一、一個方程所確定的隱函數及其導數定理1.

設函數則方程單值連續函數y=f(x),并有連續(隱函數求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下：①具有連續的偏導數;的某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內滿足②③滿足條件導數兩邊對x求導在的某鄰域內則若F(x,y)的二階偏導數也都連續,二階導數:則還有例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導隱函數解:

令連續,由定理1可知,①導的隱函數則②③在x=0

的某鄰域內方程存在單值可且并求兩邊對x求導兩邊再對x求導令x=0,注意此時導數的另一求法—利用隱函數求導定理2.若函數的某鄰域內具有連續偏導數,則方程在點并有連續偏導數定一個單值連續函數z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內可唯一確兩邊對x求偏導同樣可得則例2.設解法1利用隱函數求導再對x

求導解法2

利用公式設則兩邊對x求偏導例3.設F(x,y)具有連續偏導數,解法1利用偏導數公式.確定的隱函數,則已知方程故對方程兩邊求微分:解法2微分法.二、方程組所確定的隱函數組及其導數隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導數組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例,即定理3.的某一鄰域內具有連續偏設函數則方程組③的單值連續函數且有偏導數公式:①在點②的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件滿足:導數；定理證明略.僅推導偏導數公式下：有隱函數組則兩邊對x求導得設方程組在點P

的某鄰域內故得系數行列式同樣可得例4.

設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:

求答案:由題設故有例5.設函數在點(u,v)的某一1)證明函數組(x,y)的某一鄰域內2)求解:1)令對x,y的偏導數.在與點(u,v)對應的點鄰域內有連續的偏導數,且唯一確定一組單值、連續且具有連續偏導數的反函數①式兩邊對x求導,得則有由定理3

可知結論1)成立.2)求反函數的偏導數.①②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得例5的應用:計算極坐標變換的反變換的導數.同樣有所以由于備用題分別由下列兩式確定:又函數有連續的一階偏導數,1.

設解:兩個隱函數方程兩邊對x

求導,得解得因此2.設是由方程和所確定的函數,求解法1

分別在各方程兩端對x

求導,得解法2

微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得第七節一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數微分學的幾何應用第九章設空間曲線的方程(1)式中的三個函數均可導.一、空間曲線的切線與法平面考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以割線的方程為曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M點且與切線垂直的平面.解切線方程法平面方程2.空間曲線方程為法平面方程為3.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為所求切線方程為法平面方程為設曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點M的曲線二、曲面的切平面與法線令則切平面方程為法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令切平面上點的豎坐標的增量因為曲面在M處的切平面方程為其中解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因為是曲面上的切點，所求切點為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)思考題思考題解答設切點依題意知切向量為切點滿足曲面和平面方程備用題.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量法平面方程即解法2.

方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量備用題.確定正數

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此備用題.設

f(u)

可微,證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結論成立.的所有切平面恒備用題2.求曲線在點(1,1,1)

的切線解:點(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.第九章第八節一、多元函數的極值二、最值應用問題三、條件極值多元函數的極值及其求法一、多元函數的極值

定義:

若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有說明:

使偏導數都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數偏導數,證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數例1.求函數解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;例2.討論函數及是否取得極值.解:

顯然(0,0)是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為二、最值應用問題函數f

在閉域上連續函數f

在閉域上可達到最值最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有一個駐點,故此點即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉化方法2拉格朗日乘數法.如方法1所述,則問題等價于一元函數可確定隱函數的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有引入輔助函數輔助函數F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數.利用拉格極值點必滿足則極值點滿足: