專題06整式的加減專題復習——規律探究（解析版）第一部分典例剖析+針對訓練類型一數式規律典例1（2021秋?南崗區校級期中）有一列數，按一定規律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三個相鄰數的和是1701，則這三個數中最小的數是．思路引領：設三個數中最前面的數為x，則另外兩個數分別為﹣3x，9x，根據三個數之和為1701，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入﹣3x和9x中，取其中最小值即可得出結論．解：設三個數中最前面的數為x，則另外兩個數分別為﹣3x，9x，依題意，得：x﹣3x+9x＝1701，解得：x＝243，∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187．∵﹣729＜243＜2187，故答案為：﹣729．總結升華：本題考查了一元一次方程的應用以及規律型：數字的變化類，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．典例2（2022秋?漣水縣校級月考）觀察下面三行數，并按規律填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，，，…；②0，6，﹣6，18，﹣30，66，，…；③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63，，…．（1）按第①行數的規律，分別寫出第7和第8個數；（2）請你分別寫出第②③行的第7個數；（3）取每行數的第9個數，計算這三個數的和．思路引領：（1）根據已知數據都是前一個數乘2的到得，再利用第奇數個系數為負數即可得出答案；（2）根據3行數據關系分別分析得出即可；（3）根據（2）得出的規律分別求出每行第9個數，再把它們相加即可．解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，∴第7個數是﹣128，第八個數是256；（2）第②行數是第①行數加上2，第③行數正好比第①行數少1得到的，即第二行的第7個數是﹣128+2＝﹣126，第三行的第7個數是﹣128﹣1＝﹣129；（3）根據以上所求得出：第一行第9個數為﹣512，第二行第9個數為﹣512+2＝﹣510，第三行第9個數為﹣512﹣1＝﹣513，則這三個數的和是：﹣512﹣510﹣513＝﹣1535．總結升華：此題主要考查了數字變化規律，根據已知數據得出得數字第②行數是第①行數加上2，第③行數正好比第①行數少1得到的是解題關鍵．針對訓練11．（2021?武漢）按照一定規律排列的n個數：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三個數的和為768，則n為（）A．9 B．10 C．11 D．12思路引領：觀察得出第n個數為（﹣2）n，根據最后三個數的和為768，列出方程，求解即可．解：由題意，得第n個數為（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，當n為偶數：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；當n為奇數：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，則求不出整數．故選：B．總結升華：此題考查規律型：數字的變化類，找出數字的變化規律，得出第n個數為（﹣2）n是解決問題的關鍵．2．（2021秋?新洲區期中）有一串數：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的規律排列，那么這串數中前個數的和最?。悸芬I：根據題目中數據的特點，可以寫出第n個數，然后令第n個數等于0，即可得到相應的n的值，從而可以解答本題．解：∵有一串數：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…∴這串數的第n個數為﹣2018+4（n﹣1）＝4n﹣2022，當4n﹣2022＝0時，解得，n＝505…2，∴那么這串數中前505個數的和最小，故答案為：505．總結升華：本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點，求出第多少個數的值為0．類型二數陣、數表規律典例3（2020秋?江漢區月考）將全體正偶數排成一個三角形數陣：按照以上規律排列，第25行第20個數是．思路引領：觀察數字的變化，第n行有n個偶數，求出第n行的第一個數，結論可得．解：觀察數字的變化可知：第n行有n個偶數．∵第1行的第一個數是：2＝1×0+2；第2行第一個數是：4＝2×1+2；第3行第一個數是：8＝3×2+2；第4行第一個數是：14＝4×3+2；???∴第n行第一個數是：n（n﹣1）+2．∴第25行第一個數是：25×24+2＝602．∴第25行第20個數是：602+2×19＝640．故答案為：640．總結升華：本題主要考查了數字的變化的規律，有理數的混合運算．準確找出數字的變化規律是解題的關鍵．典例4（2019秋?江漢區期中）有這樣一對數，如下表，第n+3個數比第n個數大2（其中n是正整數）第1個第2個第3個第4個第5個……abc（1）第5個數表示為；第7個數表示為；（2）若第10個數是5，第11個數是8，第12個數為9，則a＝，b＝，c＝；（3）第2019個數可表示為．思路引領：（1）根據第n+3個數比第n個數大2，即可求解；（2）根據第n+3個數比第n個數大2，分別求出第10、11、12個數即可求出結果；（3）根據數字的變化規律，解：（1）∵第n+3個數比第n個數大2，∴第5個數比第2個數大2，∴第5個數為b+2．∵第4個數比第1個數大2，∴第4個數為a+2，∴第7個數比第4個數大2，∴第7個數為a+4．故答案為b+2、a+4．（2）∵第10個數為a+6，第11個數為b+6，第12個數為c+6，∴a+6＝5，b+6＝8，c+6＝9解得a＝﹣1，b＝2，c＝3．故答案為﹣1、2、3．（3）第一組數是a、b、c第二組數是a+2、b+2、c+2第三組數是a+4、b+4、c+4第四組數是a+6、b+6、c+6…第n組數的第三個數是c+（2n﹣2）2019÷3＝673，第2019個數是第673組的第三個數，∴第673組的第三個數是c+2×673﹣2＝c+1344．故答案為c+1344．總結升華：本題考查了數字的變化類，解決本題的關鍵是尋找數字的變化規律．針對訓練21．（2021秋?播州區期中）如表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規律是：從第三行起，每行兩端的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和．表中兩平行線之間的一列數：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數記為a1，第二個數記為a2，第三個數記為a3，…，第n個數記為an，則a6＝，a2020＝．思路引領：根據題目中的數據，可以寫出前幾項，從而可以數字的變化特點，然后即可得到a6和a2020的值．解：由題意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴an＝1+2+3+…+n=n∴當n＝6時，a6=6×72當n＝2020時，a2020=2020×20212故答案為：21，2041210．總結升華：本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點，求出所求項的值．2．（2018秋?江夏區期中）已知一列數：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，將這列數排成下列形式：按照上述規律排列下去，第10行數的第1個數是（）A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45思路引領：觀察排列規律得到第1行有1個數，第2行有2個數，第3行有1個數，…，第9行有9個數，則可計算出前9行的數的個數45，而數字的序號為偶數時，數字為負數，于是可判斷第10行數的第1個數為﹣46．故選A．解：第1行有1個數，第2行有2個數，第3行有1個數，…，第9行有9個數，所以前9行的數的個數為1+2+3+…+9＝45，而數字的序號為奇數時，數字為正數，數字的序號為偶數時，數字為負數，所以第10行數的第1個數為﹣46．故選：A．總結升華：本題考查了規律型：數字的變化類：認真觀察、仔細思考，利用數字與序號數的關系解決這類問題．3．（2017秋?海淀區校級期中）如圖，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等．（1）可求得x＝，第2017個格子中的數為．（2）判斷：前m個格子中所填整數之和是否可能為2018？若能，求出m的值，若不能，請說明理由．（3）若取前3格子中的任意兩個數記作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通過計算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其結果為；若a、b為前19格子中的任意兩個數記作a、b，且a≥b，則所有的|a﹣b|的和為．思路引領：（1）根據三個相鄰格子的整數的和相等列式求出x的值，再根據第9個數是2可得☆＝2，然后找出格子中的數每3個為一個循環組依次循環，在用2014除以3，根據余數的情況確定與第幾個數相同即可得解；（2）可先計算出這三個數的和，再照規律計算．（3）由于是三個數重復出現，因此可用前三個數的重復多次計算出結果．解：（1）∵任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，∴9+★+☆＝★+☆+x，解得：x＝9，★+☆+x＝☆+x﹣6，∴★＝﹣6，所以，數據從左到右依次為9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…，第9個數與第三個數相同，即☆＝2，所以，每3個數“9、﹣6、2”為一個循環組依次循環，∵2017÷3＝672…1，∴第2017個格子中的整數與第1個格子中的數相同，為9．故答案為：9，9；（2）9﹣6+2＝5，2018＝2015+3＝2015+9﹣6，2015÷5＝403，403×3＝1209，所以是第1209+1+1＝1211個數，即m＝1211，故前1211個數的和為2018；（3）∵取前3格子中的任意兩個數，記作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和為：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|﹣6﹣2|＝30．∵由于是三個數重復出現，那么前19個格子中，這三個數，9出現了7次，﹣6和2各出現了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6＝1212．故答案為：30，1212．總結升華：本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是找出數字間的關系，得出規律．類型三圖形的增長規律典例4（2021?漢川市模擬）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10、…，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16、…，這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．則第10個圖形中右下方的“三角形數”中的所有點數是．思路引領：觀察圖象中點的個數的規律有第一個圖形是4＝1+3，第二個圖形是9＝3+6，第三個圖形是16＝6+10，…則按照此規律得到第10個圖形的規律即可．解：∵第1個圖形是4＝1+（1+2），第2個圖形是9＝（1+2）+（1+2+3），第3個圖形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4），…∴第10個圖形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66．故答案為：66．總結升華：此題考查圖形的變化規律，通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．典例5（2020秋?江夏區期中）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地磚的數量是（）A．360 B．363 C．365 D．369思路引領：觀察圖形可知，黑色與白色的地磚的個數的和是連續奇數的平方，而黑色地磚比白色地磚多1個，求出第n個圖案中的黑色與白色地磚的和，然后求出黑色地磚的塊數，再把n＝14代入進行計算即可．解：第1個圖案只有（2×1﹣1）2＝12＝1塊黑色地磚，第2個圖案有黑色與白色地磚共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9+1）＝5第3個圖案有黑色與白色地磚共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25+1）＝13…第n個圖案有黑色與白色地磚共（2n﹣1）2，其中黑色的有12[（2n﹣1）2+1]當n＝14時，黑色地磚的塊數有12×[（2×14﹣1）2+1]=12故選：C．總結升華：本題考查圖形的變化規律，觀察圖形找出黑色與白色地磚的總塊數與圖案序號之間的關系是解題的關鍵．針對訓練31．（2021秋?中山市期中）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第10個圖形共有個〇．思路引領：觀察圖形的變化先得前幾個圖形中圓圈的個數，可以發現規律：第n個圖形共有（3n+1）個〇，進而可得結果．解：觀察圖形的變化可知：第1個圖形共有1×3+1＝4個〇；第2個圖形共有2×3+1＝7個〇；第3個圖形共有3×3+1＝10個〇；…所以第n個圖形共有（3n+1）個〇；所以第10個圖形共有10×3+1＝31個〇；故答案為：31．總結升華：本題考查了規律型：圖形的變化類，解決本題的關鍵是根據圖形的變化尋找規律．2．（2018秋?硚口區期中）對于大于或等于2的整數的平方進行如下“分裂”，如下分別將22、32、42分裂成從1開始的連續奇數的和，依此規律，則20182的分裂數中最大的奇數是．思路引領：由題意可知：每個數中所分解的最大的奇數是前邊底數的2倍減去1．由此得出答案即可．解：自然數n2的分裂數中最大的奇數是2n﹣1．20182分裂的數中最大的奇數是2×2018﹣1＝4035，故答案為：4035．總結升華：此題考查數字的變化規律，注意根據具體的數值進行分析分解的最大的奇數和底數的規律，從而推廣到一般．3．（2022?仙居縣校級開學）如圖，都是由棱長為1的正方體疊成的立體圖形，例如第（1）個圖形由1個正方體疊成，第（2）個圖形由4個正方體疊成，第（3）個圖形由10個正方體疊成，依次規律，第（10）個圖形由（）個正方體疊成．A．120 B．165 C．220 D．286思路引領：根據圖形的變換規律，可知第n個圖形中的正方體的個數為1+3+6+?+n(n解：由圖可得：第（1）個圖形中正方體的個數為1；第（2）個圖形中正方體的個數為4＝1+3；第（3）個圖形中正方體的個數為10＝1+3+6；第（4）個圖形中正方體的個數為20＝1+3+6+10；故第n個圖形中的正方體的個數為1+3+6+?+n∴第10個圖形中正方體的個數為1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故選：C．總結升華：本題主要考查了圖形變化類問題，解決問題的關鍵是依據圖形得到變換規律．解題時注意：第n個圖形中的正方體的個數為1+3+6+?+n類型四乘方規律典例6（2022?內蒙古）觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據其中的規律可得70+71+72+…+72022的結果的個位數字是（）A．0 B．1 C．7 D．8思路引領：由已知可得7n的尾數1，7，9，3循環，則70+71+…+72022的結果的個位數字與70+71+72的個位數字相同，即可求解．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…∴7n的尾數1，7，9，3循環，∴70+71+72+73的個位數字是0，∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的結果的個位數字與70+71+72的個位數字相同，∴70+71+…+72022的結果的個位數字是7，故選：C．總結升華：本題考查數的尾數特征，能夠通過所給數的特點，確定尾數的循環規律是解題的關鍵．典例7（2022秋?東港區校級月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S＝1+2+22+23+……+22007，則2S＝2+22+23+24+……+22008，因此2S﹣S＝22009﹣1，即S＝22009﹣1，仿照以上推理，計算出1+3+32+33+……+32022值為32023-思路引領：令S＝1+3+32+33+……+32022，則3S＝3+32+33+……+32023，作差求出S即可．解：令S＝1+3+32+33+……+32022，則3S＝3+32+33+……+32023，∴3S﹣S＝32023﹣1，則S=3即1+3+32+33+……+32022=3故答案為：32023總結升華：本題考查數字的變化規律，通過觀察所給的求和方法，靈活應用此方法求和是解題的關鍵．針對訓練41．（2021秋?羅湖區期中）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定規律排列的一組數：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a，用含a的式子表示這組數之和是（）A．2a2﹣2a B．2a10﹣2a5﹣2 C．2a2﹣a D．2a20﹣a思路引領：把所求的數列的各數提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所給的等式的規律求解即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…，∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴2501+2502+2503+…+2999+21000＝2500×（2+22+23+…+2499+2500）＝2500×（2500+1﹣2）＝2500×（2×2500﹣2），∵2500＝a，∴原式＝a（2a﹣2）＝2a2﹣2a．故選：A．總結升華：本題主要考查了規律型：數字的變化類，有理數的混合運算，解答的關鍵是由所給的等式總結出規律．2．（2019秋?汾陽市期末）任意大于1的正整數m的三次冪均可“分裂”成m個連續奇數的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此規律，若m3分裂后，其中有一個奇數是203，則m的值是（）A．13 B．14 C．15 D．16思路引領：觀察可知，分裂成的奇數的個數與底數相同，然后求出到m3的所有奇數的個數的表達式，再求出奇數203的是從3開始的第101個數，然后確定出101所在的范圍即可得解．解：∵底數是2的分裂成2個奇數，底數為3的分裂成3個奇數，底數為4的分裂成4個奇數，∴m3分裂成m個奇數，所以，到m3的奇數的個數為：2+3+4+…+m=(∵2n+1＝203，n＝101，∴奇數203是從3開始的第101個奇數，∵(13+2)(13-1)2=90，(14+2)(14-1)∴第101個奇數是底數為14的數的立方分裂的奇數的其中一個，即m＝14．故選：B．總結升華：本題是對數字變化規律的考查，觀察出分裂的奇數的個數與底數相同是解題的關鍵，還要熟練掌握求和公式．3．在求兩位數的平方時，可以用“列豎式”的方法進行速算，求解過程如圖所示：則第4個方框中x+y的值是（）A．11 B．12 C．13 D．14思路引領：找出求解過程圖中的規律，利用此規律求得m，n，x，y的值，將相應字母的值代入即可得出結論．解：求解過程圖中的表格中的規律為：第一行前兩個格為十位數字的平方，后兩個格為個位數字的平方，平方后不是兩位數，十位數字用0代替，第二行從第二個格開始表示的是兩位數中個位數字與十位數字的乘積的2倍，第三行為從右開始將一二行數字相加的和，足10進1，∵62＝36，∴m＝3，n＝6，∵6×7×2＝84，∴x＝8，y＝4，∴x+y＝12．故選：B．總結升華：本題主要考查了有理數的乘方，求代數式的值，找出求解過程圖中的規律是解題的關鍵．類型五幻方規律典例8（2021秋?江陰市期中）小學時候大家喜歡玩的幻方游戲，老師稍加創新改成了“幻圓”游戲，現在將﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，老師已經幫助同學們完成了部分填空，則圖中a+b的值為（）A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1思路引領：由于八個數的和是4，所以需滿足兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2．列等式可得結論．解：設小圈上的數為c，大圈上的數為d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，∴兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2，則﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵當a＝﹣1時，d＝2，則a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，當a＝2時，d＝﹣1，則a+b＝2﹣5＝﹣3，故選：A．總結升華：本題考查了有理數的加法．解決本題的關鍵是知道橫豎兩個圈的和都是2．典例9（2020?冷水江市一模）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1～9這九個數字填入3×3的方格內，使三行、三列、兩對角線上的三個數之和都相等．如圖的幻方中，m＝．思路引領：根據“每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等”解答即可．解：1+2+3+…+9＝45，根據“每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等”，可知三行、三列、兩對角線上的三個數之和都等于15，∴第一列第三個數為：15﹣2﹣5＝8，第三列第二個數為：15﹣3﹣5＝7，第三個數為：15﹣2﹣7＝6，如圖所示：∴m＝15﹣8﹣6＝1．故答案為：1．總結升華：本題考查數的特點和有理數的加法，抓住每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，數的對稱性是解題的關鍵．針對訓練51．（2021秋?南安市期中）現有七個數﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8將它們填入圖1（3個圓兩兩相交分成7個部分）中，使得每個圓內部的4個數之積相等，設這個積為m，如圖2給出了一種填法，此時m＝64，在所有的填法中，m的最大值為256．思路引領：觀察圖象，可得這7個數，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每個圓內部的4個數之積相等且最大所以﹣8，﹣8必須放在被乘兩次的位置．與﹣8，﹣8同圓的只能為﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，可得m＝256解：觀察圖象，可得這7個數，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每個圓內部的4個數之積相等且最大所以﹣8，﹣8必須放在被乘兩次的位置．與﹣8，﹣8同圓的只能為﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如圖∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256總結升華：本題考查有理數的乘法，關鍵是找到兩個（﹣8）的位置．2．將9個數填入幻方的九個方格中，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數的和相等，如表一：按此規律將滿足條件的另外6個數填入表二，則表二中這9個數的和為（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣1思路引領：根據同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數的和相等作出圖形，根據題意列出關于a與x的方程，可得x＝a+2，進一步求出這9個數的和即可．解：如圖所示：4+x+a﹣1+a+3＝a﹣3+a+1+a+3，解得x＝a﹣5，a+3+x+a+3＝2a+6+a﹣5＝3a+1，3（3a+1）＝9a+3．故答案為：9a+3．總結升華：此題考查了列代數式，整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．類型六其他規律典例10（2019秋?武昌區校級期中）某初中七（5）班學生軍訓排列成7×7＝49人的方陣，做了一個游戲，起初全體學生站立，教官每次任意點4個不同學號的學生，被點到的學生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學生都正確完成指令，同一名學生可以多次被點，則15次點名后蹲下的學生人數可能是（）A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能思路引領：假設站立記為“+1”，則蹲下為“﹣1”．原來49個“+1”，乘積為“+1”，每次改變其中的4個數，即每次運算乘以4個“﹣1”，即乘以了“+1”，乘積為“+1”，即可得出結論．解：假設站立記為“+1”，則蹲下為“﹣1”．原來49個“+1”，乘積為“+1”，每次改變其中的4個數，即每次運算乘以4個“﹣1”，即乘以了“+1”，15次點名后，乘積仍然是“+1”，所以，最后出現“﹣1”的個數為偶數，即蹲下的學生人數為偶數，選項A，B，C都不符合題意，故選：D．總結升華：此題主要考查了奇數與偶數，有理數乘法中積的符號的判斷，解決本題的關鍵是利用有理數的乘法進行解決．針對訓練61．（2019秋?硚口區期中）把幾個不同的數用大括號括起來，相鄰兩個數之間用逗號隔開，如：{1，2}；{1，4，7}；…我們稱之為集合，其中的每一個數稱為該集合的元素．規定：當整數x是集合的一個元素時，100﹣x也必是這個集合的元素，這樣的集合又稱為黃金集合，例如{﹣1，101}就是一個黃金集合．若一個黃金集合所有元素之和為整數m，且1180＜m＜1260，則該黃金集的元素的個數是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26思路引領：由黃金集合的定義，可知一個整數是x，則必有另一個整數是100﹣x，則這兩個整數的和為x+100﹣x＝100，只需判斷1180＜m＜1260內100的個數即可求解．解：在黃金集合中一個整數是x，則必有另一個整數是100﹣x，∴兩個整數的和為x+100﹣x＝100，由題意可知，1180＜m＜1260時，100×12＝1200，100×13＝1300，∴這個黃金集合的個數是24或25個；故選：C．總結升華：本題考查有理數，新定義；理解題意，通過兩個對應元素和的特點，結合m的取值范圍，進而確定元素個數是解題關鍵．專題提優訓練1．觀察下面一列數：1，12，2，13，1，3，14，23，32，4，15，12，1，2，5（1）第7，第8，第9，第10個數的積是，前16個數的積是；（2）按此規律，第30個數是；（3）在上面這列數中，從左起第m個數記為F（m），當F（m）=92020時，求思路引領：（1）根據規律直接寫出數計算即可；（2）根據題意將數字從左邊開始分別以1個數，2個數，3個數，…，為一組，每組數據的積為1，且分子遞增1，分母遞減1，然后根據規律得出第30個數即可；（3）根據F（m）=92020判斷出F（m）是第幾組第幾個數即可得出解：（1）根據題意知，第7，第8，第9，第10個數的積是14×23×32×4＝1，前16個數的積是1×（12×2）×（13故答案為：1，16（2）由（1）知，將數字從左邊開始分別以1個數，2個數，3個數，…，為一組，每組數據的積為1，且分子遞增1，分母遞減1，∵1+2+3+4+5+6+7＝28，∴第30個數在第8組的第2個數，即1+18-1故答案為：27（3）∵F（m）=92020，2020+9＝∴F（m）是第2028組第9個數，前面有2027組數，∴m＝（1+2+3+4+…+2027）+9=1+20272總結升華：本題主要考查數字的變化規律，根據數字的變化分組分析規律是解題的關鍵．2．（2021秋?丹江口市期中）觀察一列數：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，將這列數排成下列形式：（1）在表中，第12行第6個數是；（2）在表中，“2021”是其中的第行，第個數；（3）將表中第i行的最后一個數記為ai，如第1行的最后一個數記為a1，即a1＝1，第2行的最后一個數記為a2，即a2＝3，如此下去，a3＝﹣6，a4＝﹣10，…，第n行的最后一個數記為an，則用含n的式子表示|an|為；（4）在（3）的條件下，計算1a思路引領：（1）先求出前11行一共有66，即可求解；（2）求出前n行共有n(n+1)2個數，再求前63行共有（3）由題意可得，1+2+3+......+n=n（4）原式=2(1-1解：（1）由題可知，第一行1個數，第二行2個數，…，第n行n個數，∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66，∴第12行第一個數是67，∴第12行第6個數是﹣72，故答案為：﹣72；（2）由題意可得，前n行共有n(∴當n＝63時，前63行共有2016個數，∴2021時第64行的第5個數，故答案為：64，5；（3）由題意可得，1+2+3+......+n=n∴|an|=n故答案為：n(（4）1=1=2(1=2(1-1=2(1-1=20總結升華：本題考查數字的變化規律，根據題意探索數字的排列規律是解的關鍵．3．（2022?東莞市校級一模）找出以下圖形變化的規律，則第2022個圖形中黑色正方形的數量是3033．思路引領：仔細觀察圖形并從中找到規律，然后利用找到的規律即可得到答案．解：∵當n為偶數時第n個圖形中黑色正方形的數量為n+12n個；當n為奇數時第n個圖形中黑色正方形的數量為n+12∴當n＝2022時，黑色正方形的個數為2022+1011＝3033個．故答案為：3033．總結升華：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細的觀察圖形并正確的找到規律．4．（2020秋?西城區校級期中）古希臘畢達格拉斯學派的數學家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數，比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…．由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數為正方形數．（1）請你寫出一個既是三角形數又是正方形數的自然數．（2）類似地，我們將k邊形數中第n個數記為N（n，k）（k≥3）．以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數：N（n，3）=12n2正方形數：N（n，4）＝n2五邊形數：N（n，5）=32n2六邊形數：N（n，6）＝2n2﹣n…根據以上信息，得出N（n，k）＝．（用含有n和k的代數式表示）思路引領：（1）由題意得第8個圖的三角形數是36，所以既是三角形數又是正方形數，且大于1的最小正整數為36；（2）由已知等式進行變形進而可推出結果．解：（1）由題意第8個圖的三角形數為12×8（8+1）＝∴既是三角形數又是正方形數，且大于1的最小正整數為36，故答案為36．（2）∵N（n，3）=nN（n，4）＝n2=2N（n，5）=32n2-1N（n，6）＝2n2﹣n=4由此推斷出N（n，k）=(k-2)n故答案為：(k-2)n2總結升華：本題考查三角形數、正方形數的規律、完全平方數與歸納推理等知識，觀察已知式子的規律并改寫形式是解決問題的關鍵．5．（2020秋?江夏區校級月考）觀察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n2的個位數字是1（0＜n≤2020，且n為整數），下列選項中，n的最大值是（）A．2001 B．2006 C．2011 D．2019思路引領：通過計算發現每10個數，末位數字循環一次，再結合選項進行判斷即可求解．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…，∴每10個數，末位數字循環一次，∴1+4+9+6+5+6+9+4+1+0＝45，∵2001÷10＝200……1，∴200×45+1＝9001；∵2006÷10＝200……6