第23章解直角三角形23.1銳角的三角函數1銳角的三角函數第2課時正弦與余弦教學目標1.使學生理解銳角正弦、余弦的定義.2.會求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.教學重難點重點：理解銳角正弦、余弦的定義；難點：求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.教學過程舊知回顧【問題】什么叫銳角的正切？什么叫坡度？如何表示？在Rt△ABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，坡面的鉛直高度h和水平長度l的比叫做坡面的坡度，記作：i，即i＝eq\f(h,l).新課講授1.如圖，(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關系？(2)eq\f(BC,AB)和eq\f(B1C1,AB1)有什么關系？(3)如果改變B1C1所在的位置(如B2C2)，eq\f(BC,AB)和eq\f(B2C2,AB2)有什么關系？(4)由此你得出什么結論？解：(1)Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；(2)eq\f(BC,AB)＝eq\f(B1C1,AB1)；(3)eq\f(BC,AB)＝eq\f(B2C2,AB2)；(4)∠A一定，其對邊與斜邊的比一定.2.什么叫∠A的正弦？什么叫∠A的余弦？解：如圖，在Rt△ABC中，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)＝.類似地，如圖，在Rt△ABC中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝.銳角的正切、正弦、余弦都叫做銳角A的三角函數.典型例題例1如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝12，BC＝5，求∠A的各個三角函數.學生獨立完成，學生代表回答，教師補充完善.解：在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，∠C＝90°，得AB＝＝13.∴sinA＝，cosA＝，tanA＝.即學即練1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值.2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，則tanB的值為_____.答案：1.解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，∴b＝eq\r(,c2－a2)＝eq\r(,52－32)＝4，∴sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(3,5)，tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(3,4).學生歸納，教師總結解題思路：先根據勾股定理求出b的長，再根據銳角三角函數的定義求解.解決這類問題的關鍵是利用勾股定理求出直角三角形的其他邊的長，再利用銳角三角函數的定義求三角函數的值.2.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a)，a2＋b2＝c2.由sinA＝eq\f(3,5)知，若設a＝3x（x>0），則c＝5x.結合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝eq\f(b,a)＝eq\f(4x,3x)＝eq\f(4,3).學生歸納，教師總結解題思路：解決此類問題的關鍵是要正確地畫出草圖，根據條件將已知角的三角函數值轉化為直角三角形中兩邊的關系，利用勾股定理求出第三邊，然后計算出待求角的三角函數值.典型例題例2如圖，在平面直角坐標系內有一點P(3，4)，連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的各個三角函數.解：過點P作x軸的垂線，垂足為Q.在Rt△POQ中，OQ＝3，PQ＝4，得OP＝＝5，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝.即學即練如圖，已知點P在第一象限，其坐標是(a，b)，求cosα.解：過點P作PH⊥x軸，垂足為點H.在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝eq\r(,OH2＋PH2)＝eq\r(,a2＋b2)，∴cosα＝eq\f(OH,OP)＝eq\f(a,\r(,a2＋b2)).學生歸納，教師總結解題思路：也可以過點P作PM⊥y軸于點M，注意點P(a，b)到x軸的距離是|b|，到y軸的距離是|a|，若點P不在第一象限，則要注意橫、縱坐標的符號.課堂練習1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則∠A的正弦值（）A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的C.擴大為原來的4倍D.不變2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosB的值是（）A.B.C.D.3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，則下列三角函數表示正確的是（）A.sinA＝B.cosA＝C.tanA＝D.tanB＝4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，求cosA和tanB的值.參考答案1.D2.A3.A4.解：∵sinA＝，∴AB＝＝10.又AC＝＝8，∴cosA＝，tanB＝