選修4-1幾何證明選講第二節直線與圓的位置關系考綱要求考情分析1.會證圓周角定理、圓的切線的判定定理、性質定理．2.會證相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.1.從考查內容看，高考對本節的考查主要為圓周角定理、弦切角定理、切線定理及其應用，且常與相似三角形結合在一起命題，主要是解決線段成比例(相等)、角(線段)相等的問題．2.從考查形式看，多以填空題和解答題的形式出現，屬中檔題.一、圓周角定理1．圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓

的角．2．圓周角定理：周圓角的度數等于它所對弧度數的．3．圓周角定理的推論(1)同弧(或等弧)上的圓周角

；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧 ．(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是 ．相交一半相等相等直徑如果一個三角形一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形的形狀是怎樣的？提示：直角三角形．由題意知該三角形的三個頂點在同一個圓上，且圓的直徑為三角形的一邊，故第三個頂點所在的角為直角．二、直線與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系直線與圓交點的個數直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關系相交兩個

相切一個d＝r相離無

d<rd>r2.切線的性質及判定(1)性質定理：圓的切線垂直于經過

的半徑．(2)判定定理過半徑外端且與這條半徑

的直線是圓的切線．3．切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線長 ．切點垂直相等三、弦切角1．弦切角：頂點在圓上，一邊與圓

，另一邊與圓相交的角．2．弦切角定理及推論(1)定理：弦切角的度數等于它所夾弧的度數的 ．(2)推論：同弧(或等弧)上的弦切角

，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角 ．相切一半相等相等四、圓中的成比例線段名稱內容圖形相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等PA·PB＝PC·PD名稱內容圖形割線定理從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段的積相等PA·PB＝PC·PD

名稱內容圖形切割線定理從圓外一點引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的兩條線段長的比例中項PA·PB＝PC2五、圓內接四邊形的性質及判定1．圓內接四邊形的性質定理1：圓內接四邊形對角 ．定理2：圓內接四邊形的外角

它的內對角．2．圓內接四邊形的判定定理：如果一個四邊形的一組對角

，那么這個四邊形內接于圓．推論1：如果四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形內接于圓．互補等于互補推論2：如果兩個三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等，并且在公共邊同側，那么這兩個三角形有公共的外接圓．答案：D2.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO等于(

)A．30°

B．35°C．40°

D．45°解析：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：C3．如圖，⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，AD為⊙O1的切線并交⊙O2于D，AC為⊙O2的切線并交⊙O1于C，則(

)A．AB·AD＝AC·BC

B．AB·BC＝AD·BDC．AB

2＝BC·BD

D．AC

2＝AB·AD答案：C∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18，由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14.答案：14答案：4,30°【考向探尋】1．運用定理求角、線段長；2．解決與相似三角形有關的問題．【典例剖析】 (1)(2012·廣東高考)如圖所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA＝______.(2)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝______.(3)(2012·遼寧高考)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E.證明：①AC·BD＝AD·AB；②AC＝AE.(1)利用切線的性質構造直角三角形求解．(2)選AD，BC，結合正弦定理求解．(3)利用弦切角定理，通過相似三角形求解．(1)圓周角定理體現了圓周角與圓心角之間的關系，并通過圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系實現了圓中的角(圓心角、圓周角)、線段(弦、弦心距)、弧之間的相互轉化，從而為研究圓的性質提供了有力的工具和方法．(2)弦切角定理溝通了弦切角與圓周角之間的關系，進一步完善了圓中的角、線段、弧之間的相互轉化關系，解題時常采取“由弧找角”的方法尋找相等的角．已知某直線是圓的切線時，常用的輔助線是連結圓心和切點，可得到垂直關系．【活學活用】1．(1)如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝______.(2)如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為______．解析：連接OC，OB，依題意得∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°.又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案：π【考向探尋】1．圓內接四邊形的判定及性質．2．與圓內接四邊形有關的綜合問題．(2)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O相切，切點為A，∠MAB＝35°，則∠D＝______.(3)如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切點為H.求證：①C，D，F，E四點共圓；②GH2＝GE·GF.題號分析(1)利用圓內接四邊形的性質，構造相似三角形求解．(2)利用圓內接四邊形的性質求解．(3)①證∠FDC、∠CEF互補；②運用相似三角形及切割線定理證明答案：125°(3)證明：①如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四點共圓．②∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，(1)根據圓內接四邊形的判定定理，可通過證明四邊形的對角互補，或外角與其內對角相等來證明四點共圓．(2)圓內接四邊形的性質定理是圓中探求角相等或互補關系的重要方法，使用時要注意觀察圖形，弄清四邊形的外角和它的內對角的位置．圓內接四邊形的性質是探求角的相等關系的重要依據，解題時要注意與圓周角定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系以及垂徑定理的聯系及綜合應用．(1)證明：如圖，設F為AD延長線上一點．∵A，B，C，D四點共圓，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB.∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，∴∠EDF＝∠CDF，∴AD的延長線平分∠CDE.【考向探尋】相交弦定理、切割線定理、割線定理及其應用(2)(2012·湖南高考)如圖所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于______(3)如圖所示，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點D和E，求AD·AE的值．(1)運用相交弦定理求出CF，再求BD，最后求CD.(2)利用割線定理求解．(3)由切割線定理知PA2＝PB·PC，可得直徑BC的長，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的長即可．(3)解：如圖所示，連接CE，∵PA是⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，∴BC＝PC－PB＝20－5＝15.∵PA切⊙O于A，(1)相交弦定理、切割線定理、割線定理為圓中證明等積式和有關計算提供了方法和工具，應用時一方面要熟記定理的表達式的結構特征，另一方面在與定理相關的圖形不完整時，要用輔助線補齊相應部分．在實際應用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到兩條割線就要想到割線定理；見到切線和割線時就要想到切割線定理．(2)在圓中通過連接圓上兩點、作圓的切線等方法可以創造使用圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理的條件，這是在圓的問題中解決角之間關系的常用方法．【活學活用】3．(1)如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB＝90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為______．(2)如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為______．答案：6.4 (10分)(2012·新課標全國高考)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.(1)證四邊形BCFD和ADFC為平行四邊形，利用等量代換證明即可．(2)證∠BGD＝∠BDG和∠DGB＝∠DBC即可．證明：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.2分而CF∥AD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.4分因為CF∥AB，所以BC