成都樹德中學2025屆數學高二上期末學業質量監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若是雙曲線的左右焦點，是坐標原點.過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.3．的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.4．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標為（）A. B.C. D.5．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.6．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.8．如圖，在平行六面體中，設，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.9．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.10．音樂與數學有著密切的聯系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經過一次“損”，頻率變為原來的，得到“微”，“微”經過一次“益”，頻率變為原來的，得到“商”……依此規律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數列11．已知數列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.3312．若函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點在以，為焦點的橢圓上運動，則的重心的軌跡方程是___________.14．已知是等差數列，，，設，數列前n項的和為，則______15．已知，若共線，m+n＝__.16．若函數是上的增函數，則實數的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在2016珠海航展志愿服務開始前，團珠海市委調查了北京師范大學珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數據如下表：單位：人參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓參加賽會應急救援培訓88未參加賽會應急救援培訓430（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的8名同學中，有5名男同學A，A，A，A，A名女同學B，B，B現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且B未被選中的概率.18．（12分）某小學調查學生跳繩的情況，在五年級隨機抽取了100名學生進行測試，得到頻率分布直方圖如下，且規定積分規則如下表：每分鐘跳繩個數得分17181920（1）求頻率分布直方圖中，跳繩個數在區間的小矩形的高；（2）依據頻率分布直方圖，把第40百分位數劃為合格線，低于合格分數線的學生需補考，試確定本次測試的合格分數線；（3）依據積分規則，求100名學生的平均得分.19．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.20．（12分）茶樹根據其茶葉產量可分為優質茶樹和非優質茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同的環境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗田中進行種植，成熟后統計每株茶樹的茶葉產量，將所得數據整理如下表所示：優質茶樹非優質茶樹甲試驗田a25乙試驗田10b已知甲試驗田優質茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據表中數據判斷，是否有99%的把握認為甲，乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.63521．（12分）已知數列的首項，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和.22．（10分）已知數列的前項和分別是，滿足，，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列對任意都有恒成立，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據已知條件，找出，的齊次關系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計算得，故.故選：D.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)2、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C3、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.4、C【解析】設，由拋物線的方程可得準線方程為，由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，求出，解出縱坐標，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標，故選：C.5、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C6、A【解析】根據充分、必要條件間的推出關系，判斷“x>1”與“x>0”的關系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.7、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D8、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因為在平行六面體中，，，，所以，故選：B9、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C10、C【解析】根據文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結果【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數列的定義，考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題11、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C12、B【解析】函數既有極大值又有極小值轉化為導函數在定義域上有兩個不同的零點.【詳解】因為既有極大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實數解，所以，且，解得，且.故選:B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出點和三角形的重心，利用重心坐標公式得到點和三角形的重心坐標的關系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點不共線得到.【詳解】設，，由，得，即，，因為為的重心，所以，，即，，代入，得，即，因為，，三點不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.14、-3033【解析】先求得，進而得到，再利用并項法求解.【詳解】解：因為是等差數列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-303315、【解析】根據空間向量平行的坐標運算求出m,n，進而求得答案.【詳解】由于，因為，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.16、【解析】由題意知在上恒成立，從而結合一元二次不等式恒成立問題，可列出關于的不等式，進而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運用導數探究函數的單調性.一般地，由增函數可得導數不小于零，由減函數可得導數不大于零.對于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據表中數據知未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，列出其一切可能的結果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調查數據可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有30人，故至少參加上述一個培訓的共有人.從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：，，，共15個，根據題意，這些基本事件的出現是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個，被選中且未被選中的概率為.18、（1）（2）（3）分【解析】（1）根據頻率之和為列方程來求得跳繩個數在區間的小矩形的高.（2）根據百分位數的計算方法計算出合格分數線.（3）根據平均數的求法求得名學生的平均得分.【小問1詳解】設跳繩個數在區間的小矩形的高為，則，解得.【小問2詳解】第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，第六組的頻率為，所以第百分位數為.也即合格分數線為.【小問3詳解】名學生的平均得分為分.19、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.20、（1）；（2）有99%的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響【解析】（1）根據即可求出，從而可得到；（2）根據獨立性檢驗的基本思想求出的觀測值，與6.635比較，即可判斷【小問1詳解】甲試驗田優質茶樹比例為50%，即，解得【小問2詳解】，因為，故有99%的把握認為甲、乙兩塊試驗田的環境差異對茶樹的生長有影響21、（1）證明見解析；（2）當為偶數時，；當為奇數時，.【解析】（1）根據等比數列的定義進行證明即可；（2）利用分組求和法，結合錯位相減法進行求解即可.【小問1詳解】由題知：所以又因為所以所以數列為以－1為首項，－1為公比的等比數列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，，記，所