江西省吉安市2025屆數學高二上期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知F(3,0)是橢圓的一個焦點，過F且垂直x軸的弦長為，則該橢圓的方程為（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=12．如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.3．1202年，意大利數學家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數，則有(n＞2)，．設數列{an}滿足：an＝，則數列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.184．與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.5．下列各式正確的是（）A. B.C. D.6．為了了解1200名學生對學校某項教改實驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，采用系統抽樣方法，則分段的間隔為（）A.40 B.30C.20 D.127．已知雙曲線，過點作直線l與雙曲線交于A，B兩點，則能使點P為線段AB中點的直線l的條數為()A.0 B.1C.2 D.38．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或9．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是（）A. B.C. D.10．我國古代數學典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人11．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.12．己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線與圓有公共點，則b的取值范圍是_____14．在數列中，，，則數列中最大項的數值為__________15．函數的導數_________________.16．一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點在橢圓上，且在第一象限內，點分別為橢圓的左、右頂點，直線分別與橢圓C交于點，過作直線的平行線與橢圓交于點，問直線是否過定點，若經過定點，求出該定點的坐標；若不經過定點，請說明理由.18．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.19．（12分）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側棱平面，點為中點，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大小；（3）求點到平面的距離.20．（12分）已知等差數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）已知，，且，求實數的取值范圍.22．（10分）求下列函數的導數：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C2、B【解析】利用空間向量加減法、數乘的幾何意義，結合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B3、B【解析】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，再根據an＝，即可求出數列{an}的前36項和【詳解】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，∴前36項共有12項為偶數，∴數列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B4、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C5、C【解析】利用導數的四則運算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C6、B【解析】根據系統抽樣的概念，以及抽樣距的求法，可得結果.【詳解】由總數為1200，樣本容量為40，所以抽樣距為：故選：B【點睛】本題考查系統抽樣的概念，屬基礎題.7、A【解析】先假設存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設出直線的方程，當斜率k存在時，與雙曲線方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則，，又根據是線段的中點，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當斜率不存在時，過點的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設過點的直線方程為或，①當斜率存在時有，得(*)當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有：，即又方程(*)的兩個不同的根是兩交點、的橫坐標，又為線段的中點，，即，，使但使，因此當時，方程①無實數解故過點與雙曲線交于兩點、且為線段中點的直線不存在②當時，經過點的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A8、D【解析】根據圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.9、D【解析】根據橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據關于縱軸成對稱分布，得到結果詳解】設橢圓右焦點為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關于軸成對稱分布，又，故所求的值為故選：D10、B【解析】根據題意，設每天派出的人數組成數列，可得數列是首項，公差數7的等差數列，解方程可得所求值【詳解】解：設第天派出的人數為，則是以65為首項、7為公差的等差數列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數為人，故選：B11、C【解析】對使用基本不等式，這樣得到關于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因為，，由基本不等式得：，所以，解得：，當且僅當，即，時，等號成立故選：C12、A【解析】由拋物線的性質：過焦點的弦長公式計算可得.【詳解】設直線，的斜率分別為，由拋物線的性質可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線與圓有交點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點，則，解得,故實數取值范圍是.故答案為：14、【解析】用累加法求出通項，再由通項表達式確定最大項.【詳解】當時，，所以數列中最大項的數值為故答案為:15、.【解析】根據初等函數的導數法則和導數的四則運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得.故答案為：.16、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側面積∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側面積為考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）過定點，【解析】（1）根據橢圓上的點及離心率求出a,b即可；（2）設點，設直線的方程為，聯立方程，得到根與系數的關系，利用條件化簡，結合橢圓方程，求出即可得解.【小問1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設點，設直線的方程為.如圖，聯立，消有：，韋達定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直線不過右端點，所以，則，所以直線過定點.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結合線面垂直的判定定理來證得結論成立.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設，由于四邊形是等腰梯形，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設是的中點，設，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面法向量為，則，故可設，由圖可知，二面角為鈍角，設二面角為，，則.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標系，求出平面PCD的法向量為，平面的法向量為，即得證；（2）設直線與平面所成角為，利用向量法求解；（3）利用向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】證明：PA平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M為PD的中點，，所以，，，所以，又PDAM，，平面PCDAM平面PCD.平面PCD的法向量為.設平面的法向量為,，令，則，..平面MAC平面PCD.【小問2詳解】解：設直線與平面所成角為，由(1)可得：平面PCD的法向量為，，，即直線與平面所成角大小.【小問3詳解】解：，設點到平面的距離為，.點到平面的距離為.20、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，