全科【9門】備課大師網：免注冊，不收費！/2014~2015學年度泰州市第二次模擬考試高三數學試題(考試時間:120分鐘總分：160分）命題人:朱占奎張圣官張俊龔才權丁連根審題人：丁鳳桂石志群注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效．（參考公式：柱體體積公式為）一、填空題：（本大題共14小題,每小題5分，共70分．請將答案填入答題紙填空題的相應答題線上．）1.若復數（是虛數單位）是純虛數，則實數=▲．2.已知集合,，若，則▲．3.某高中共有人，其中高一、高二、高三年級的人數依次成等差數列．現用分層抽樣While<10EndWhilePrintWhile<10EndWhilePrint第5題圖4。已知雙曲線的漸近線方程為，則▲．5。執行右邊的偽代碼后,輸出的結果是▲．6.若圓柱的側面積和體積的值都是，則該圓柱的高為▲．7.小明通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓中投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末看電影；若此點到圓心的距離小于，則周末打籃球；否則就在家看書．那么小明周末在家看書的概率是▲．8。在等比數列中，已知,則▲．9.已知函數的定義域為，值域為,則實數的取值集合為▲．10.已知實數滿足，則的取值范圍是▲．11。設函數和的圖象在軸左、右兩側靠近軸的交點分別為、,已知為原點，則▲．12.若斜率互為相反數且相交于點的兩條直線被圓:所截得的弦長之比為,則這兩條直線的斜率之積為▲．13。若函數在區間上單調遞增,則實數的取值范圍是▲．14。在中，為邊上一點，，若的外心恰在線段上,則▲．二、解答題:（本大題共6小題,共90分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15。（本題滿分14分）已知向量，，．（1）若∥，求角的大小;（2）若，求的值．16。（本題滿分14分）如圖，矩形所在平面與直角三角形所在平面互相垂直，，點分別是的中點．(1)求證：∥平面;（2)求證：平面平面．17。(本題滿分14分）如圖,某市有一條東西走向的公路,現欲經過公路上的處鋪設一條南北走向的公路．在施工過程中發現在處的正北百米的處有一漢代古跡．為了保護古跡，該市決定以為圓心,百米為半徑設立一個圓形保護區．為了連通公路、,欲再新建一條公路，點、分別在公路、上,且要求與圓相切．（1）當距處百米時，求的長；(2)當公路長最短時，求的長．18。（本題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點為，與軸平行的直線與橢圓交于、兩點，過、兩點且分別與直線、垂直的直線相交于點．已知橢圓的離心率為,右焦點到右準線的距離為．(1）求橢圓的標準方程；（2）證明點在一條定直線上運動，并求出該直線的方程；(3)求面積的最大值．19.((本題滿分16分）已知，，都是各項不為零的數列，且滿足，，其中是數列的前項和，是公差為的等差數列．(1）若數列是常數列,,，求數列的通項公式;（2）若（是不為零的常數)，求證:數列是等差數列；（3)若（為常數,），，求證：對任意的，數列單調遞減．20。（本題滿分16分）己知，其中常數．（1)當時,求函數的極值；（2）若函數有兩個零點，求證:；(3）求證：．2014～2015學年度泰州市第二次模擬考試高三數學試題(附加題)21。（[選做題］請考生在A、B、C、D四小題中任選兩題作答，如果多做,則按所做的前兩題記分．A．（本小題滿分10分,幾何證明選講)如圖，是圓的切線，切點為，是過圓心的割線且交圓于點，過作的切線交于點．求證：（1)；（2）．B．(本小題滿分10分，矩陣與變換）已知矩陣，矩陣,直線經矩陣所對應的變換得到直線，直線又經矩陣所對應的變換得到直線．（1）求的值；（2）求直線的方程．C．(本小題滿分10分,坐標系與參數方程選講)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若直線l的極坐標方程為．（1)把直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）已知為橢圓上一點,求到直線的距離的最小值．D．（本小題滿分10分,不等式選講）已知不等式對于滿足條件的任意實數恒成立,求實數的取值范圍．[必做題］第22題,第23題，每題10分,共計20分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22。(本小題滿分10分）某班組織的數學文化節活動中，通過抽獎產生了名幸運之星．這名幸運之星可獲得、兩種獎品中的一種，并規定：每個人通過拋擲一枚質地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品，拋擲點數小于的獲得獎品，拋擲點數不小于的獲得獎品．(1)求這名幸運之星中獲得獎品的人數大于獲得獎品的人數的概率；（2）設、分別為獲得、兩種獎品的人數，并記，求隨機變量的分布列及數學期望．23.（本小題滿分10分）已知（）,是關于的次多項式；（1）若恒成立，求和的值;并寫出一個滿足條件的的表達式，無需證明．（2）求證：對于任意給定的正整數,都存在與無關的常數，，，…，,使得．2014～2015學年度泰州市第二次模擬考試高三數學參考答案一、填空題1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．;8．;9．；10．；11．；12．或；13．；14．。二、解答題15.解:(1)因為，所以，即，所以，又,所以．……………７分（2）因為，所以，化簡得,又，，則，，所以,則,……………10分又，，所以．……………14分16。證:（1)取中點,連接，又是中點,則，又是矩形邊中點,所以,則四邊形是平行四邊形，所以,又面，面，所以∥平面．…７分（2）因為平面平面，，所以平面，因為平面,所以，又,，所以平面，而平面，所以平面平面．……………14分17.解:以為原點，直線、分別為軸建立平面直角坐標系．設與圓相切于點,連結，以百米為單位長度，則圓的方程為，（1）由題意可設直線的方程為,即，，∵與圓相切，∴,解得，故當距處百米時，的長為百米．……………5分（2）設直線的方程為，即，,∵與圓相切，∴，化簡得,則,……8分令，∴,當時，，即在上單調遞減；當時,，即在上單調遞增，∴在時取得最小值,故當公路長最短時，的長為百米．答：（1)當距處百米時,的長為百米;（2)當公路長最短時，的長為百米．……………14分18.解:（1）由題意得，,解得，所以,所以橢圓的標準方程為．……………4分（2)設，顯然直線的斜率都存在，設為，則，，所以直線的方程為：，消去得,化簡得,故點在定直線上運動．……………10分(3）由(2）得點的縱坐標為,又，所以，則，所以點到直線的距離為，將代入得，所以面積,當且僅當，即時等號成立，故時，面積的最大值為．……………16分19．解：(1）因為，，所以，因為數列是各項不為零的常數列，所以，,則由及得，當時，,兩式相減得,當時，,也滿足，故．…………4分(2）因為，當時，,兩式相減得，即，，即，又，所以，即,所以當時，，兩式相減得，所以數列從第二項起是公差為等差數列;又當時,由得，當時，由得,故數列是公差為等差數列．…………15分(3）由(2）得當時，，即，因為，所以,即,所以，即，所以,當時，，兩式相減得，即，故從第二項起數列是等比數列，所以當時，，，另外由已知條件得,又，,，所以，因而，令，則,因為，所以,所以對任意的,數列單調遞減．……………16分20。解：函數的定義域為,（1)當時，,,而在上單調遞增，又,當時,,則在上單調遞減；當時,，則在上單調遞增,所以有極小值，沒有極大值．…………3分（2）先證明：當恒成立時，有成立．若,則顯然成立；若，由得，令，則，令，由得在上單調遞增，又因為,所以在上為負，在上為正，因此在上遞減，在上遞增，所以,從而．因而函數若有兩個零點，則，所以，由得，則，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以,則，所以，由得，則，所以，綜上得．…………10分(3）由（2）知當時，恒成立，所以,即,設,則，當時，，所以在上單調遞增；當時,，所以在上單調遞增,所以的最大值為,即，因而，所以,即．…………16分附加題參考答案21。A．證:(1）∵是圓的切線，∴，連結，則,∵是圓的切線,∴,又，∴,∴，則,而，∴,∴，…………5分（2）將代入得，故．……10分21.B。解：（1）設是上的任意一點，其在BA作用下對應的點為，得變換到的變換公式,則即為直線，則得．…………5分（2），同理可得的方程為，即．………10分21.C.解：（1）直線的極坐標方程，則，即，所以直線的直角坐標方程為；…………5分（2）為橢圓上一點,設，其中，則到直線的距離，其中，，∴當時，的最小值為．…………10分21.D。解：因為，所以,…………5分又對任意實數恒成立，故,解得．…………10分22。解：這名幸運之星中，每人獲得獎品的概率為,獎品的概率為．（1）要獲得獎品的人數大于獲得獎品的人數，則獎品的人數可能為，則則所求概率為．…………4分(2）的可能取值為,且，，，…………8分所以的分布列是:故隨機變量的數學