第23章圖形的相似23.6圖形與坐標2圖形的變換與坐標教學目標1.探索圖形經過平移、軸對稱、相似等變換后對應坐標的變化.2.能按要求作出簡單的平面圖形運動后的圖形以及對應的坐標變化.教學重難點重點：掌握圖形變化前后坐標之間的規律.難點：能按要求作出簡單的平面圖形運動后的圖形以及對應的坐標變化.教學過程復習鞏固1.平移（1）定義：平面圖形在它所在的平面上的平行移動，簡稱為平移.（2）性質：平移前后的圖形的形狀和大小完全相同，能夠完全重合；平移前后圖形的對應線段平行（或在同一條直線上）且相等.2.成軸對稱：（1）定義：把一個圖形沿著某一條直線翻折后，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱.（2）性質：成軸對稱的兩個圖形的對應線段相等，對應角相等.3.怎樣判斷兩個圖形是不是位似圖形？判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特殊的位置關系，即每組對應點所在的直線都經過同一點.4.畫位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心；（2）分別連結位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長；（3）根據相似比，確定能代表所畫的位似圖形的關鍵點；（4）按照原圖的形狀，順次連結上述各點，得到放大或縮小后的圖形.導入新課【問題1】活動1（小組討論，教師點評）三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，點A（-1，4）的對應點為A′（1，7），點B（1，1）的對應點為B′（3，4），則點C（-4，-1）的對應點C′的坐標為.【解析】由點A（-1，4）的對應點為A′（1，7）知平移方式為向右平移2個單位、向上平移3個單位，∴點C（-4，-1）的對應點C′的坐標為（-2，2）.【答案】（-2，2）思考：在同一個平面直角坐標系中，一個圖形經過變換之后，該圖形上各點的坐標會如何變化呢？教師引出課題：23.6圖形與坐標2圖形的變換與坐標探究新知探究點一平移變換后圖形上點的坐標變化【問題2】活動2（小組討論，教師點評）典例講解（師生互動）例1如圖所示，△ABC三個頂點的坐標分別是A（4，3）、B（3，1）、C（1，2）.（1）將三角形ABC三個頂點的橫坐標都減去6，縱坐標不變，分別得到點A1、B1、C1，依次連結點A1、B1、C1，得到三角形A1B1C1.（2）在上面的三角形中如果將△ABC三個頂點的縱坐標都減去5，橫坐標不變，情況又會如何呢？【探索思路】（引發學生思考）（聯系前面所學知識可知，平面直角坐標系中圖形的平移也可先通過平移圖形上某些特殊點，再依次連結這些平移后的特殊點得到）因為圖形的平移是以點的平移為基礎的，因此所得三角形A1B1C1與三角形ABC的大小、形狀完全相同，可以看作將三角形ABC向左平移6個單位得到.如圖所示.【題后總結】（學生總結，老師點評）根據在平面直角坐標系內，圖形的平移方向和距離解答.【即學即練】1.如圖，把△ABC經過一定的平移變換得到△A′B′C′，如果△ABC邊上一點P的坐標為（a，b），那么這個點在△A′B′C′中的對應點P′的坐標為（）A.（a+6，b-2） B.（a+6，b+2）C.（-a+6，-b） D.（-a+6，b+2）【探索思路】（引發學生思考）根據已知三對對應點的坐標，得出變換規律→讓點P的坐標也作相應變化.【解析】∵A（-3，-2）、B（-2，0）、C（-1，-3）、A′（3，0）、B′（4，2）、C′（5，-1），∴△ABC向右平移6個單位，向上平移2個單位得到△A′B′C′.∵△ABC邊上一點P的坐標為（a，b），∴點P變換后的對應點P′的坐標為（a+6，b+2）.【答案】B【題后總結】（學生總結，老師點評）坐標系中圖形上所有點的平移變化規律是一致的，解此類問題的關鍵是根據已知對應點找到各對應點之間的平移變化規律.【規律總結】（1）沿x軸方向左右平移|a|個單位，縱坐標不變，橫坐標分別增加（減少）a個單位時，圖形向右（向左）平移a個單位.（2）沿y軸方向上下平移|b|個單位，橫坐標不變，縱坐標分別增加（減少）b個單位時，圖形向上（向下）平移b個單位.反過來，沿x軸方向平移|a|個單位:若a>0，則向右平移；若a<0，則向左平移.沿y軸方向平移|b|個單位:若b>0，則向上平移；若b<0，則向下平移.探究點二軸對稱變換后圖形上點的坐標變化【問題3】活動3（小組討論，教師點評）【思考】在圖中，△AOB關于x軸的軸對稱圖形是△A′OB，它們對應頂點的坐標有什么變化？【答案】O，B兩點的坐標不變，點A與點A′的橫坐標相同，縱坐標互為相反數.【問題4】活動4（小組討論，教師點評）動手操作：請在圖中的平面直角坐標系中畫一個平行四邊形，寫出它的四個頂點的坐標，然后畫出這個平行四邊形關于y軸的對稱圖形，寫出對稱圖形四個頂點的坐標，觀察對應頂點的坐標有什么變化？學生展示結果，各小組討論，加以總結，老師點評【總結】在同一直角坐標系中，圖形經過軸對稱變換，變換前后對應點坐標的變化規律：（1）關于x軸對稱的兩個圖形，對應點坐標之間的關系是：橫坐標不變，縱坐標互為相反數（2）關于y軸對稱的兩個圖形，對應點坐標之間的關系是：橫坐標互為相反數，縱坐標不變.例2在平面直角坐標系中，已知點A（-3，1）、B（-1，0）、C（-2，-1），請在圖中畫出△ABC，并畫出與△ABC關于y軸對稱的圖形.【探索思路】（引發學生思考）作已知圖形關于坐標軸的對稱圖形的關鍵是什么？如圖，△DEF是△ABC關于y軸對稱的圖形.【題后總結】（學生總結，老師點評）在坐標系中作出關于坐標軸的對稱點，然后順次連結，即可作出已知圖形關于坐標軸的對稱圖形.【規律總結】縱坐標不變，橫坐標分別乘-1，所得圖形與原圖形關于y軸對稱；橫坐標不變，縱坐標分別乘-1，所得圖形與原圖形關于x軸對稱.探究點三旋轉變換后圖形上點的坐標變化【問題5】活動5（小組討論，教師點評）動手操作：請在圖中的平面直角坐標系中畫一個三角形，寫出這個三角形的三個頂點的坐標，然后把這個三角形繞點O旋轉180°，畫出旋轉后得到的三角形，并寫出三角形的三個頂點的坐標，觀察對應頂點的坐標有什么變化？在同一直角坐標系中，一個圖形繞原點旋轉180°（即關于原點中心對稱），旋轉前后兩個圖形對應點坐標之間的關系是：橫坐標與縱坐標都互為相反數【規律總結】橫坐標與縱坐標都乘-1，所得圖形與原圖形關于原點對稱.探究點四位似變換后圖形上點的坐標變化【問題6】活動6（小組討論，教師點評）思考：如果把△AOB縮小后得到△COD，你能求出它們的相似比嗎？△AOB的頂點坐標發生了什么變化？【解】由題意知點B的橫坐標是4，點D的橫坐標是2，所以OB＝4，OD＝2.因為△AOB∽△COD，所以△AOB與△COD的相似比等于4∶2＝2∶1.把△AOB縮小后得到△COD,△AOB的頂點坐標縮小為原來的.【規律總結】在平面直角坐標系中，如果位似變換以原點為位似中心，相似比為k（k>0），那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.以坐標原點為位似中心的位似圖形存在兩種情況：若在原點的同側，則它們橫坐標的比、縱坐標的比都為k;若在原點的兩側，則它們橫坐標的比、縱坐標的比都為-k當k＞1時，圖形擴大為原來的k倍；當0＜k＜1時，圖形縮小為原來的k倍.合作探究，解決問題（小組討論，教師點評）典例講解(師生互動)例3如圖，在平面直角坐標系中，以P（4，6）為位似中心，把△ABC縮小得到△DEF，若變換后，點A、B的對應點分別為點D、E，求點C的對應點F的坐標.【探索思路】（引發學生思考）把△ABC縮小得到△DEF，求點C的對應點F的坐標，通過圖形，找到縮小后點的變化.∵△DEF∽△ABC，且F點在CP的連線上，∴可得點F位置如圖所示.∴點F的坐標為（4，4）.例4△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，3），B（2，1），C（5，2），以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，觀察對應頂點坐標的變化.【探索思路】（引發學生思考）在平面直角坐標系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個.如圖，把△ABC放大后點A，B，C的對應點分別為A′（4，6），B′（4，2），C′（10，4）；A"（-4，-6），B"（-4，-2），C"（-10，-4）.【即學即練】2.在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0）、A（6，0）、B（3，6）、C（-3，3），以原點O為位似中心，畫出四邊形OABC的位似圖形，使它與四邊形OABC的相似比是2:3.第一種情況：如圖所示.將四邊形OABC各頂點的坐標都乘；在平面直角坐標系中描點O（0，0）、A'（4，0）、B'（2，4）、C'（-2，2）;順次連結O、A'、B'、C'得四邊形OA'B'C'.第二種情況：如圖所示.將四邊形OABC各頂點的坐標都乘；在平面直角坐標系中描點O（0，0）、A''（-4，0）、B'′（-2，-4）、C''（2，-2）;順次連結O、A''、B''、C''得四邊形OA''B''C''.【題后總結】在平面直角坐標系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個.當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，其對應頂點的坐標的比為-k.課堂練習1.已知點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（2，1）.將線段AB沿某一方向平移后，點A的對應點的坐標為（-2，1），則點B的對應點的坐標為（）A.（5，3）B.（-1，-2）C.（-1，-1） D.（0，-1）2.點A（m，4）向右平移2個單位后得到B（3，n），則m-n＝.3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為（0，2），（-1，0），將線段AB沿x軸的正方向平移，若點B的對應點B′的坐標為（2，0），則點A的對應點A′的坐標為.4.在平面直角坐標系中，將點A（x，y）向左平移5個單位，再向上平移3個單位后與點B（-3，2）重合，則點A的坐標是.5.如圖，三架飛機P、Q、R保持編隊飛行，30秒后飛機P飛到P1的位置，飛機Q、R飛到了新位置Q1、R1.在直角坐標系中標出Q1、R1，并寫出坐標.6.如圖，在平面直角坐標系中，P（a，b）是△ABC的邊AC上一點，△ABC平移后點P的對應點為P1（a+6，b+2）.請畫出上述平移后的△A1B1C1，并寫出點A、C、A1、C1的坐標.7.a、b、c為△ABC的三條邊，滿足條件點（a-c，a）與點（0，-b）關于x軸對稱，判斷△ABC的形狀.8.如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別是O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每個方格的邊長為1單位）.（1）將△OAB向右平移1個單位后得到△，請畫出△

；（2）請以O為位似中心畫出△OAB的位似圖形，使它與△OAB的相似比為2∶1；（3）點P（a，b）為△OAB上一點，請直接寫出在（2）中位似變換后的對應點P′的坐標為____.參考答案1.C2.-33.（3，2）4.（2，-1）5.由題意可知P（-1，1）、Q（-3，1）、R（-1，-1）.∵30秒后點P1的坐標為（4，3），∴飛機P向右平移了5個單位，向上平移了2個單位，∴點Q1的坐標為（2，3），點R1的坐標為（4，1）.在直角坐標系中的位置如圖所示.6△A1B1C1如圖所示，各點的坐標分別為A（-3，2）、C（-2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）.7.∵點（a-c，a）與點（0，-b）關于x軸對稱，∴a-c＝0，a-b＝0，∴a＝c，a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形.8.（1）