第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時(shí)直接開平方法和因式分解法教學(xué)目標(biāo)1.理解直接開平方法和因式分解法，掌握用兩種方法解一元二次方程的一般步驟.2.能靈活運(yùn)用因式分解法解簡(jiǎn)單的一元二次方程.3.了解轉(zhuǎn)化、降次思想在解方程中的運(yùn)用.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解直接開平方法和因式分解法.難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用方法解一元二次方程.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固1.平方根的概念如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a.那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根，即x2＝a,x叫做a的平方根.2.因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式叫做因式分解.導(dǎo)入新課【問題1】活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2＝4；(2)x2＝0；(3)x2+1＝0.【解】(1)根據(jù)平方根的意義，得x1＝2,x2＝-2.(2)根據(jù)平方根的意義，得x1＝x2＝0.(3)根據(jù)題意，得x2＝-1,因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以原方程無解.教師總結(jié)并引出課題：22.2一元二次方程的解法第1課時(shí)直接開平方法和因式分解法探究新知探究點(diǎn)一直接開平方法一般地，對(duì)于形如x2＝a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的意義，可解得xx2＝-a【歸納】一般的，對(duì)于方程x2＝p,（1）當(dāng)p>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程x2＝p有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；（2）當(dāng)p＝0時(shí)，方程x2＝p有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝0；（3）當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)x，都有x2≥0，所以方程x2＝p無實(shí)數(shù)根.【問題2】活動(dòng)2（師生互動(dòng)）例1利用直接開平方法解下列方程:(1)x2＝25；(2)x2-900＝0.【解】（1）直接開平方，得即（2）移項(xiàng)，得x2＝900.直接開平方，得x＝±30，即x1＝30,x2＝-30.即學(xué)即練對(duì)照例1中解方程的方法，你認(rèn)為怎樣解方程(x+2)2＝25？【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）.所以方程（x+2）2＝25的兩個(gè)根為【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))上面的解法中，由方程（1）得到（2），實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這樣就把方程轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程了.例2解下列方程：（1）(x+2)2＝7；（2）(2x+3)2＝16；【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)（1）只要將（x+2）看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開平方法求解.（2）解題方法同第（1）小題.【解】（1）由題意知x+2是7的平方根，∴x+2＝即x+2＝或x+2＝，∴，.（2）由題意知2x+3是16的平方根，∴2x+3＝±4.即2x+3＝4或2x+3＝-4∴x1＝，x2＝.【總結(jié)】采用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的意義，直接開平方法只適用于能轉(zhuǎn)化為x2＝p或(mx+n)2＝p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝.【問題3】活動(dòng)3（師生互動(dòng)）探究點(diǎn)二用因式分解法解一元二次方程解方程.小亮是這么解的：把方程兩邊同除以x，得x-7＝0,所以x＝7.小亮的解法對(duì)嗎？為什么？【答案】小亮把方程兩邊同除以x，而x有可能等于零，所以小亮的解法不對(duì).【歸納】1.因式分解法：通過因式分解使一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.因式分解法的基本步驟（1）移項(xiàng)：將方程的右邊化為0;（2）化積：將方程的左邊因式分解為兩個(gè)一次式的乘積;（3）轉(zhuǎn)化：將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程;（4）求解：解兩個(gè)一元一次方程，寫出方程的解.例3用因式分解法解下列方程（1）3x2-6x＝9;（2）4x2-121＝0.【解】(1)化為一般式為x2-2x-3＝0.因式分解，得(x+1)(x-3)＝0.從而或x-3＝0，所以x1＝-1，x2＝3.(2)因式分解，得(2x+11)(2x-11)＝0.從而2x+11＝0或2x-11＝0，所以x1＝，x2＝.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))用因式分解法解一元二次方程時(shí)，我們先將左邊化為兩個(gè)一次因式的乘積，右邊是0的形式，然后由乘積等于0，得到兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0，從而將一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解例4用直接開平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x+1)2＝2；(2)(2x+1)2＝2x+1；(3)-x2＝4x；(4)(x+5)2＝9.【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察方程的特點(diǎn)，確定解方程的方法及一般步驟.【解】(1)直接開平方，得x+1＝±.故x1＝-1，x2＝--1.(2)移項(xiàng)，得(2x+1)2-(2x+1)＝0.方程左邊分解因式，得(2x+1)(2x+1-1)＝0，所以2x+1＝0或2x+1-1＝0，得x1＝-，x2＝0.(3)方程可變形為x2+4x＝0.方程左邊分解因式，得x(x+4)＝0，所以x＝0或x+4＝0，得x1＝0，x2＝-4.(4)方程兩邊同時(shí)乘2，得(x+5)2＝18，直接開平方，得x+5＝±3，所以x1＝3-5，x2＝-3-5.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：①觀察方程兩邊是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接開平方，得到兩個(gè)一元一次方程；③解這兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根.(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，將方程的右邊化為0；②將方程的左邊分解成兩個(gè)一次因式的積的形式；③令每個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的根.課堂練習(xí)1.一元二次方程x2-16＝0的根是()A.x＝2B.x＝4C.x1＝2，x2＝-2 D.x1＝4，x2＝-42.一元二次方程（x-3）（x-5）＝0的兩根分別為（）A.x1＝3，x2＝-5B.xC.x1＝-3，x2＝5D.x13.方程x2＝3A.x＝0B.x＝C.x1＝0，x2＝34.方程x2-2x＝0的根是（A.x1＝B.x1＝C.x1＝0，x2D.x1＝0，x5.解下列方程：(1)4x2＝25；(2)x(x+2)＝x+2.6.解下列方程：(1)3(x+1)2＝；(2)(x+1)2-4＝0.參考答案1.D2.D【解析】∵（x-3）（x-5）＝0，∴x-3＝0或x-5＝0，3.C【解析】原方程可化為x2-3x＝0，∴x（x-3）＝0，∴4.C【解析】x2-2x＝0，方程左邊分解因式，得x（x-2）＝解得x1＝0，x2＝5.【解】(1)方程可化為x2＝eq\f(25,4).直接開平方，得x＝±eq\f(5,2)，所以x1＝eq\f(5,2)，x2＝-eq\f(5,2).(2)移項(xiàng)，得x(x+2)-(x+2)＝0.方程左邊分解因式，得(x+2)(x-1)＝0，所以x+2＝0或x-1＝0，得x1＝-2或x2＝1.6.【解】（1）方程兩邊都除以3，得(x+1)2＝，直接開平方，得x+1＝±，即x+1＝或x+1＝-，∴x1＝，x2＝.（2）移項(xiàng)，得(x+1)2＝4，直接開平方，得x+1＝±2，即x+1＝2或x+1＝-2，∴x1＝1，x2＝-3.課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))直接開平方法因式分解法布置作業(yè)教材第23頁練習(xí)題，第25頁練習(xí)題板書設(shè)計(jì)課題第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時(shí)直接開平方法和因式分解法【問題1】【問題