《計算方法》教案

課程名稱：計算方法

適用專業：醫學信息技術

適用年級：二年級_______

任課教師：張利萍

編寫時間：2011年8月

新疆醫科大學工程學院張利萍

教案目錄

《計算方法》教學大綱.................................4

一、課程的性質與任務........................................................4

二、課程的教學內容、基本要求及學時分配.....................................4

三、課程改革與特色..........................................................5

四、推薦教材及參考書........................................................5

《計算方法》教學日歷.................錯誤!未定義書簽。

第一章緒論...........................................6

第1講緒論有效數字........................................................6

第2講誤差...............................................................

第二章線性方程組的直接法............................14

第3講直接法、高斯消去法..................................................14

第4講高斯列主元消去法....................................................22

第5講平方根法、追趕法....................................................29

第三章插值法與最小二乘法...........................31

第6講機械求積、插值型求積公式...........................................32

第7講牛頓柯特斯公式、復化求積公式.......................................37

第8講高斯公式、數值微分..................................................42

第9講

第10講

第12講

第四章數值積分與數值微分...........................48

第11講歐拉公式、改進的歐拉公式..........................................48

第12講龍格庫塔方法、亞當姆斯方法........................................52

第13講收斂性與穩定性、方程組與高階方程..................................56

第14講

第15講

第五章微分常微分方程的差分方法.....................59

第16講迭代收斂性與迭代加速...............................................60

第17講牛頓法、弦截法.....................................................64

第18講

第19講

第20講

第六章線性方程組的迭代法...........................67

第21講迭代公式的建立...................................................68

2

第22講

第23講

第24講向量范數、迭代收斂性71

第25講

3

《計算方法》教學大綱

課程名稱：計算方法/ComputerNumericalAnalysisB

學時/學分：54/4

先修課程：高等數學、線性代數、高級語言程序設計（如：Matlab語言）

適用專業：計算機科學與技術、信息管理與信息系統

開課學院（部）、系（教研室）：醫學工程技術學院、醫學信息技術專業

一、課程的性質與任務

計算方法是一門專業必修課。當前，由于科學技術的快速發展和計算機的廣泛應用，

學習和掌握計算機上常用的數值計算方法及有關的基礎理論知識,并能用某種高級語言（如

Matlab語言）將這些常用算法編程實現，這對于計算機專業的學生來說是非常重要的。

本課程著重介紹進行科學建設所必須掌握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校

有關專業的學生普及計算方法的知識.

二、課程的教學內容、基本要求及學時分配

（一）教學內容

1.引論

數值分析的研究對象、誤差及有關概念、數值計算中應注意的一些原則。

2.線性代數方程組的數值解法

Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法

的收斂條件及誤差估計。

3.插值方法

Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次樣條插值、數據擬合的

最小二乘法。

4.數值積分與微分

機械求積、Newton-Cotes求積公式、復化求積、Romberg求積算法、Gauss求積公式、

數值微分。

5.常微分方程初值問題的數值解法

Euler方法及其改進、龍格-庫塔（Runge-Kulta）方法、線性多步法、收斂性與穩定性、

一階方程組與高階方程。

6.方程求根的數值方法

二分法、迭代法、迭代過程的加速、Newton迭代法、Newton迭代法的幾種變形。

（二）基本要求

1.了解數值分析的研究對象、掌握誤差及有關概念。

2.正確理解使用數值方法求方程的解的基本思想、數學原理、算法設計。

3.了解插值是數值逼近的重要方法之一，正確理解每一種算法的基本思想、計算公式、

算法設計、程序框圖設計和源程序。

4.掌握數值積分的數學原理和程序設計方法。

5.能夠使用數值方法解決一價常微分方程的初值問題。

6.理解和掌握使用數值方法對線性方程組求解的算法設計。

（三）學時分配

本課程的理論教學時數為54學時分配如下表:

速學環節

課程輻、、、學時講課

引論4

線性代數方程組的數值解法6

插值方法12

數值積分與微分10

常微分方程初值問題的數值解法10

方程求根的數值方法10

總復習2

合計54

（四）課程內容的重點、難點

重點：Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Heimite插值、三次樣條插值、機械

求積、Newlon-Coies求積公式、復化求積、Romberg求積算法。

難點：Gauss消去法、Gauss消去法的矩陣形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、

迭代法的收斂條件及誤差估計。

三、課程改革與特色

本課程是一門重要的專業基礎課。數值計算方法既是一門古老的學科，又是一門新興

的學科。電子計算機的產生和發展極大地促進了數值計算方法的發展。只有把數值計算方

法和程序設計緊密結合起來，把算法變為計算機能直接執行的程序，才能真正使計算機幫

助人們解決各種復雜的計算任務。

本課程試圖將數值計算方法和程序設計方法學融為一體，這也是一種嘗試。

四、推薦教材及參考書

推薦教材：《計算機數值方法》（第三版），主編：施吉林、劉淑珍、陳桂芝，出版社:

高等教育出版社，出版時間：2005年3月

參考書：

《數值計算方法和算法》，主編：張韻華、奚梅成、陳效群，出版社：科學出版社，出

版時間：2002年3月

《NumericalAnalysis》，主編：RichardL.Burden,出版社：高等教育出版社影印，出

版或修訂時間：2003

《數值分析》，主編：金聰、、熊盛武，出版社：武漢理工大學出版社，出版時間：2003

年8月

5

第一章緒論

一、教學目標及基本要求

通過對本章的學習，使學生對了解涉及工程和科學實驗中常見的數學問題，其中包括

線性方程組、函數插值、離散數據的擬合、微積分、微分方程等，這些問題是其他數學問

題的基礎。

二、教學內容及學時分配

本章主要介紹數值分析的研究對象及誤差的概念。具體內容如下：

第1-2學時講授內容：計算方法的研究內容、對象與特點；誤差的基本概念。

三、教學重點難點

1.教學重點：誤差、誤差種類：誤差分析：誤差與有效數字的關系.

2.教學難點：誤差分析、誤差與有效數字的關系。

四、教學中應注意的問題

多媒體課堂教學為主。適當提問，加深學生對概念的理解。

第1講緒論

基本求解步驟

編程上機

計算結果

數學模型是通過科學實驗或者觀察分析一系列數據后，用數學作為工具近似地描述客觀事

物的一種數學表達式。在數學模型中，往往包含了若干參量，這些物理參數通常由實驗儀

器測得，根據儀器的精密程度，物理參數的確定也會產生一定的誤差。

在建立了數學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數

學模型的數值方法，即將數學模型中的連續變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，

編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數值結果。

算法：從給定的已知量出發，經過有限次四則運算及規定的運算順序，最后求出未知量的

數值解，這樣構成的完整計算步驟稱為算法。

計算多項式p(x)=31+4x2-2x+6的值。

算法1：由X計算出x',3后再進行計算。

需乘法5次，加法3次。

6

〃(x)=x[x(3x+4)—2J+6

需乘法3次，加法3次。

一般地，計算n次多項式的值

nnx

巴(%)=anx+an_xx~+…++4

P_,、?i〃(〃+i)

如若按4"1有14次乘法運算，計算K(x)共需"2++〃=1—次乘法和〃次加

法運算。

采用：秦九韶算法(1247)有遞推公式：

%)=工(舊.《(『+%)+噎+.+4)+%從內往外一層一層計算，社巳表示第k層

以=(...(atlx+a,^)x+...+an_k.x)x+an_k

[匕=%TX+4T

Vo=4

需乘法n次，加法n次，存儲單元n+3個。

對算法所要考慮的問題,包括如下：

?計算速度

例如，求解一個20階線性方程組，用消元法需3000次乘法運算；而用克萊姆法則要進行

9.7X1O20次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。

7

?存儲量

大型問題必要考慮計算機的數據存貯。

?數值穩定性

在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法有關。

實際算法往往表現為某種無窮遞推過程

算法的精度控制

方程根的二分法求解

/(幻在［〃,切上單調連續，f(a)f(b)<0,根據連續函數性質，/(處在［?力內一定有實的零點,

即方程〃幻=0在［。,川內一定有唯一實根。解實根為/

若/(/)=0,則%為所求根

否則若f(a)J(Xo)<。，則根在區間［。，須)］，取q=x0

若/S)/(%)<0,則根在區間島，勿，取4=Xo，b［=b

[a,b]n[?1，/?!]z>...n[ak,bk]Tt...

每一區間為前一區間的一半，有根區間［4,4］長度%一見=-(b-a)

2

,一(4

§1.2預備知識和誤差

(1)誤差的來源

實際問題"建立數學模型”研究計算方法》編程上機計算解結果。

模型誤差：在建立數學模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這

就帶來了與實際問題的誤差。

測量誤差：測量已知參數時，數據帶來的誤差。

截斷誤差：模型的準確解與某種數值方法的準確解之間的誤差稱為截斷誤差或方法誤差。

舍入誤差：計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入，由此產出的誤差稱舍入誤

差。如：n.1/3,……取小數點8位、16位。

［截斷誤差的實例］

21一+

己知e"=1+x+—X4--"3+?..+------X十

2!7i!

求e-的近似值，并估計誤差。

解：利用展開式的前三項，取n=2,

6T?14-(-1)4-1(-1)2=0.5

由Qy如公式:

/(x)=f(x0)+/'(x0)(x-x(l)+

+k(i。-即a-"

8

"+l

=Ov?<1

5+1)!

\R\=Ie-1-O.S|^—<1.7*IO-1

213!截斷誤差為：0.17

［舍入誤差的實例］

1.492x1.066=1.590472,設在一臺虛構的4位數字的計算機上計算

1.492x1.066?1.590,舍入誤差為0.000472。

數值計算方法主要討論截斷誤差和舍入誤差的影響，不討論模型誤差和測量誤差。

三、誤差的基本概念

(1)誤差與誤差限

誤差不可避免，設以工代表數K*的近似值，稱《二”一/是近似值大的絕對誤差。簡稱誤

差。誤差是有量綱的，可正可負。

誤差通常是無法計算的，但可以估計出它的一個上界。即

卜一‘稱￡是近似值X的誤差限，或稱精度，即

**

X-8<x<x+8

O

(2)相對誤差與相對誤差限

e_x*—x

絕對誤差并不能完全反應精度，稱?-X為近似值x的相對誤差，記作。相對

誤差是個相對數,是無量綱的,也可正可負。

相對誤差的估計圖",「，稱￡，為相對誤差限，即

(3)有效數字

定義：如果近似值X的誤差限是3(某一數位的半個單位)，則稱X準確到小數點后n

位,并從第一個非零的數字到這一位的所有數字均為有效數字。

如：n=3.1415926535,

3.14有三位有效數字,誤差限e=0.005;

3.1416有五位有效數字,誤差限為0.00005o

(4)有效數字與誤差限的關系：

x有n位有效數字，標準形式為.x=±KTx0.生生…%其中a(i=l,2,…)是0~9之間的

整數，且qW0,如果誤差|x-x|<^xl(F"JV/V〃，稱x為/的具有1位有效數值的

近似值.

(5)有效數字與相對誤差的關系：

9

標準形式為x=±UTxO.q/…耳，則:

M

a)若寸有〃位有效數字，J_xio'-

kI2q

1.?10止"

品甯WxlO1

若邑？!<一!一xio?

b)以12(4+1)，則x"有〃位有效數字

,n

證:lx-x*-----------x10l-nxx*|4―!—x10~x(a.+l)x10-'=-x10*”

112(4+1)2(q+l)'2

例，已知乃=3.14159265..,試問其近似值內=3.1,x2=3.14,x3=3.1415,A:3=3.1416

各有幾位有效數字？并給出它們的誤差限和相對誤差限。

e,=|^-^|?0.04<^10十分位以前都是有效數字，有兩位有效數字

1-2",

e\r-<—xlO=-xl0

2x36

?=歸一々核0.002<-xl02有三位有效數字

年一天|<^—XlO1-3=-xl0-2

2x36

3

|^--x3|?0.00009<^xl0-,有四位有效數字

<—!—xio1-4=-xio-3

，「

22x36

/=年一%|。0.00001<^xW4,有五位有效數字

^,叱小叱

例：為使二*的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數字?

解:

￡「M」一XlO-1<0.001%

2al

〃>6—k)g6,即〃之6,取〃=6,則"*=3.14159

10

§1.3數值計算的若干原則

1,避免兩相近數相減

當x較大時，計算工T-6，可先轉化為'-6=-^J—尸

VX+I4-VX

/(x)=G&x=2得導數值f⑵X,2+%二J2i,精確值尸Q)=0.353553

2%

人k八［組，”\V2+^-V2^A1.4491-1.3784n_?.n

令h=0.1得/(2)=-----------------------?------------------------?0.35350

2h0.2

人」AAAA,田V2+A-V2^h1.4142-1.4142八

令h=0.0001得f(2)*-----------------------a------------------------=0

2h0.0002

計算"c°s*,x=l,分子出現相近數相減，可轉換為

sinx

1—cosxsinxh、、a

—；----=--------,再計算

sinx1-cosx

2.避免絕對值太小的數做除數

分母接近零的數會產生溢出錯誤,因而產生大的誤差,此時可以用數學公式化簡后再做.

V=,___],_==ViooT+Viooo

Viooi-Viooo

3.要防止大數“吃掉”小數

計算機在進行算術計算時，首先要把參加運算的數對階，即把兩數都寫成絕對值小于1,而

階碼相同的數。如：%=1。9+1必須改寫成：x=0.1x1()1°+0.0000000001x1010如果

計算機只能表示8位小數，則算出xnO.lxlOio,大數吃掉了小數。這種情形是要盡量避

免的。

4.簡化計算步驟，提高計算效率

簡化計算步躲是提高程序執行速度的關鍵，它不僅可以節省時間，還能減少舍入誤差。

例4：設A、B、C、D分別是10x20、20x50、50x1、1x100的矩陣，試按不同的算法求

矩陣乘積E=ABCD.

解：由矩陣乘法的結合律，可有如下算法

1.E=((AB)C)D.計算量N=11500flop

2.E=A(B(CD)).計算量N=125000flop

3.E=(A(BC))D.計算量N=2200flop

5.要使用數值穩定的算法

我們已經知道，所謂算法的穩定性，是指誤差的傳播可以得到控制，在用計算機解決實際

問題時，運算次數成千上萬。如果誤差的傳播得不到控制，那么誤差的累積會使問題的解

答成為荒謬的，尤其是某些病態問題(如病態方程組)，舍入誤差對其計算結果往往有非常

嚴重的影響。因此，在選擇計算方案時，要特別謹慎。

考察方程組

11

11

3~6

13

x解為X]=1,電=1,X=1

242n3

JX347

34560

四舍五入系數后，解為M=1.09,%=0-484，%3=149

盡管系數變動不大，但求出得解卻變動很大，這類問題稱為病態的。

例：蝴蝶效應（氣象學家洛倫茲，1963）

——南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩

周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風？！

12

13

第二章插值法

一、教學目標及基本要求

通過對本章的學習，使學生掌握插值法計算常見的數學問題。

二、教學內容及學時分配

本章主要介紹數值分析的插值法。具體內容如下：

第3-4學時講授內容：問題的提法、拉格朗日插值公式。第5-6學時講授內容：插值

余項、牛頓插值公式。第7-8學時講授內容：曲線擬合。

三、教學重點難點

1.教學重點：插值方法的由來、拉格朗日插值公式、牛頓插值公式、曲線擬合。

2.教學難點：拉格朗口插值公式、牛頓插值公式。

四、教學中應注意的問題

多媒體課堂教學為主。適當提問，加深學生對概念的理解。

第2講拉格朗日插值公式

眾所周知，反映自然規律的數量關系的函數有三種表示方法：

A.解析表達式

f(x)=x3-2x-5

(開普勒(Kepler)方程)％=>一esiny.。

懸鏈線方程：y=4cos(x")。

B.圖象法

C.表格法

14

Xy

0.924-0.008513725

0.928-0.003822324

09320.000343434

0.9360.005532443

0.9400.012976643

1、插值法對于一組離散點（％J（X））,（，=0,1,2,...,〃），選定一個便于計算的簡單

函數P（M，如多項式函數，要求尸㈤滿足「區）=/（茗），由此確定函數P（幻作

為*幻的近似函數，然后通過處理P（幻獲得關于《幻的結果。這就是插值方法。

2、曲線擬合選定近似函數P㈤時，不要求近似函數P（刈必須滿足

尸（七）=/（匕），而只要求在某種意義下（最小二乘法原理），使近似函數尸⑶在

這些點上的總偏差量最小，這類方法成為曲線擬合。

§1.1多項式插值問題的一般提法

1插值法的概念：

假設函數尸f（x）是［46］上的實值函數，的用,…,為是5］上加1個互異的

點，f（x）在這些點上的取值分別為必，兒…,以

求一個確定的函數尸（才），使之滿足：

產（%）二%（/=0,1,2,-,n）（1）

稱沏為,“.,心為插值節點，關系式⑴稱為插值原則，函數PG）稱為函數y￥（x）

的插值函數，區間［為3稱為插值區間。

2泰勒插值：

人們熟悉的泰勒展開方法其實就是一種插值方法，泰勒多項式：

23=/*0）+/'（元0）*-/）+-。0）2+.?.+―/）"（1）

'2I!T%）r,v.，％

與刈在點與鄰近會很好的逼近f（x）o

泰勒余項定理：

定理1假設《刈在含有點%的區間［a,b］內有直到n+1階導數，則當

例時，對于式（1）給出的匕⑴，成立

/（幻一X。嚴

（〃+1）!

15

其中J介于與與X之間，因而J￡[〃,/?]。

所謂泰勒插值指下述問題：

問題1求作n次多項式月⑴,使滿足？，?)=帶),％=0,1,2,…刀，端為

一組已給數據。

易看出，上述插值問題的解就是泰勒多項式(l)o

例1例題分析：

求作力幻=正在/=100的一次和二次泰勒多項式，利用它們計算斤的近似

值并估算誤差。

解：

l/23/2-5/2

fix)=4x,f'(x)=^x~ff"(x)=^-X~,/"W=|x

248

/xJ=10,/'(xo)=l/2O,/"(/)=-1/4000,/優)=3/8000000

yw=正在/=IOO的一次泰勒多項式是

6(X)=/(%)+,尸(/Xx-X(J=5+0.05X

7=115時Vil?=/(115)?^(x)=10.75

根據定理1可估計誤差

22

|/(x)-Pi(x)|="(x-A0)<，；(x-x0)<0.028125<0.05

誤差小于十分位的一半，故十分位及前面的數字為有效數字，所以結果有三

位有效數字。

修正R(x)可進一步得到二次泰勒公式

鳥(幻=《。)+^^。一%)2

VH5=/(115)?^(x)=10.75-0.028125=10.721875

,-,|/"'(X0)|--Q

3

,(x)—P2(x)|=l2。_/)<]-(X-x0)<0.0006328125<0.005

誤差小于百分位的一半，故百分位及前面的數字為有效數字，所以結果有四

位有效數字。

泰勒插值是一種有效的插值方法，對函數要求嚴格(要足夠光滑，存在高階

導數)，要計算函數的高階導數，而高階導數的計算對計算機來說就很困難；

另外，計算過程不能形成機械重復的過程，不利于計算機程序實現。

§1.2拉格朗日(Lagrange)插值

1多項式插值的存在惟一性：

多項式導數易于計算，函數表達式簡單，計算機易于計算，故考慮用多項式

函數彳型插值函數來模擬實色函數。

從如下數據表著手,并假定七。。《二/4

X：XoX\X2...尤〃

y-yoyiy?...y〃

16

求〃次多項式々（］）=〃0+&11+...+々〃］：使得：

P（x）=yi（2=0,1,2,???,n）。

根據插值條件，有：

P（M）=%+。用+…+4石=%

P（$）=%+4%+…+ax；=%

<n

P區）二旬+4升+…+=yn（i）

顯然，這是一個關于。。，弓-一〃〃的〃丹元線性方程組，其系數矩陣的行

列式為

1玉）…玉）

匕（/，2，…，5）=：）7

1士…<

/?1rxV（x,x,???,%?）=n（x；-x；）0

注意到插值節點必"=1，2,…，〃）兩兩相異，而"ft0MX"'

故方程組（1）有惟一解，4，???"〃，于是滿足插值條件的多項式存在且惟一。

定理由加1個不同插值節點％，*1，???，工〃可以惟一確定一個n次多項式

匕（元）=%+4工+???+滿足插值條件Pn（N）=yo

從理論上說，由方程組（1）可以求出〃。，4,…〃〃的惟一解，從而確定?（回。但

從數值計算上看，當〃較大時求解線性方程組的工作量較大且不便應用。

解方程組（1）需計算n+1個n階行列式，每個n階行列式為n!項之和，每

項乂是n個元素的乘積，需n-1次乘法，所以求解需要（〃+1）〃!（〃-1）次乘法，

當n較大時，計算量非常大。

為解決此問題，現已提出了不少構造2（幻的巧妙辦法。

2Lagrange插值的基函數構造法

首先討論爐1時的情形。

已知*0,%，為，y,求乙（%）=%+“I］使得4（/）=%；4%）=X

顯然4（X）是過（％），%）和（％，M）兩點的一條直線。

由點斜式容易求得

17

L1(x)=y0+-—―(x-x0)

1x0-xJyx,-XJ/=o

V-------Y-------)V-------Y-------)

4G)AG)

其中，4(x),(，=0,l)具有如下特點：

7o(xo)=l;/o(x)=O

4(/)=。；4a)=i

稱其為線性插值基函數。。(“)可以通過函數4(%)，("二°」)組合得出，且組

合系數恰為所給數據y0,y.o

再討論聲2時的情形。

顯然4(%)是過(/，％)、(用，％)、(%，j2)三點的一條拋物線。

y

°Xo.V1.X2X

仿照線性插值基函數的構造方法，令

/(幻二(xfXxr)

0(x0-x,)(x0-x2)

/(x)^U-xQ)(x-x2)

a-5)a-x2)

/式?=(…。)*7

(工2-%)(%一%)

其中，4G),(i二°,L2)具有如下特點：

小/)=l;/o(x,)=O;/o(x2)=0

</1(xo)=O;/l(x1)=l;/](x2)=0

/2(x0)=0"2(%)=0;/2(x2)=1

稱其為拋物重插值基函數(如下面所示)0

18

于是,

。一%）（了一馬）,

L(X)=

2（x0-x,）（x0-x2）0

*一%）（尢一9）

（石一工0）。-x2）

+（二?「）斗⑴%

（X,一演）（無，一%）r=0

最后討論一版情形。

求乙（而使得L（M）=%（7=0,1,2,-,/?）o

令〃詼多項式插值基函數為：

〃（）

43=—X-X4.

4.（x）,（i=0,19???,〃）具有如下特點:

l,i=j

4（勺）=%.=<【。"打

于是，滿足插值條件的〃次多項式可以直接寫為：

i=0j^i（X,—XJ?=0

j=01J

我們稱￡〃（x）為Lagrange多項式，4（“）其Lagrange插值基函數。

19

■給定%=>+1,/=0,1,2,3,4,5.下面哪個是&(x)的圖像?

3插值余項

如圖所示，其截斷誤差尺5)=f(x)-￡，(x),稱為Lagrange插值多項式的余

項。

20

定理假設F5)在［a,b］上有連續的直到小1階導數，且在不同插值節點

%,玉，???，%〃取值為/(%)=%,Ln(x)是經過插值樣點(%,%),"=0,1,…㈤

的Lagrange插值多項式，若引進記號：

q+1(X)=(X)(X_%…(X_當)=—蒼)

1=0

則當勿時，有如下的誤差估計：

4。)-fM-W-9~~n。一七)

(〃+1)!1-0

=—儒多“⑴”)

證明：因為此(若)=/(七)一4(%)=°?=0,1，….)

于是可假定凡(X)具有如下形式：

n

RnM=-x0)(x-X,)?--U-x?)=k(x)U(x-xr.)

1=0

將X看作(a,b)上的一個固定點，作輔助函數

9(f)=/(/)—Ln(t)—k(x)(Z-x0)(Z—X))???(/—xn)

=/(0-4(f)-Mx)加一七)

i=O

容易看出，。⑺有乂％不…，毛共加2個相異零點，且在［a,b］上存在加1階導數。

根據羅爾，“⑺在。⑺的兩個零點之間至少有一個零點，故。'⑺在［a,b］上至少

有加1個零點。如此類推,“川)⑺在(&b)上至少有1個零點1使得

小〃+1)

產⑹=f向皤)_￡片?_攵⑶%而口n("%)|y

ati=o

=0

n

注意到4是〃次多項式，4"%)三°;口”刈的首項為f叫

)=5+i)!

故力(〃+~=。o由上述方程解得

（”+l）（g）

&（幻=

5+1）!

產）⑸〃

凡㈤=

于是

21

4例題

例1己知函數尸f(x)的觀察數據為

Xk-2045

yk51-31

試構造F(x)的拉格朗日多項式〃(力，并計算人一1)。

解先構造基函數

x(x-4)(x-5)__x(x-4)(x-5)

(-2-0)(-2-4)(-2-5)-84

(x+2)(x-4)(x-5)_(x+2)(x-4)(x-5)

(0-(-2))(0-4)(0-5)~40-

.、(x+2)x(”5)x(x+2)(x-5)

iwz=--------=-------

2(4+2)(4-0)(4-5)24

。+2?(升—2)。-4)_(x+2)x(x—4)

J(5+2)(5-0)(5-4)35-

所求三次多項式為

3

Z3(%)-JO

-5J("4X"5)(x+2)a-4)Q-5)

84+40

(_3X，(x+2)(x-9(x+2)x(x-4)

~24+35-

上1

-15421

-155,24

〃———+1——

4214217

第3講牛頓公式

§1.4差商與差分及其性質

1差商的概念：

稱％一不為函數f(x)的一階差商；

/[XpXj-Zlx^xJ

」一--

/[x0,Xpx2]=--

稱馬一%為函數f(x)的二階差商;

22

rrrrri_/[X]，…,―/[%,.??,七?/

JL人0,人]，…，人〃J—一

一般地，稱為函數F（x）的〃階

差商；

特別地，定義力%］二/（與）為函數/U）關于先的零階差商。

由此可知，高階差商總是由比它低一階的的兩個差商組合而成。

2差商性質

（a）性質1"階差商可以表示成加1個函數值為'''.?"的線性組合，

即

/K，???代］二互——V——、-------「——;

,=。（X,.-%。）（西一百）…（％"—％_|'）（七一苦+1）…（％—X,）

該性質說明：4階差商/［%，%，…，%］計算是由函數值代為），/'（幻，…人天）線

性組合而。

如：f[xQ,x[9x2]=/[xpx0,x2]=/[x2,xpx0].

九外,無|］二/（“）一/。°）=f（'°）I/（"）

%一元0%一%%7。

/知豆,引=&1見二色聞

%7。

ZU；）-/Ui）_/U,）2/（小）

超一玉X,-A-_/（x）,/（x,）

-------------------0-------0------

七一?%七一%X一%

fgf（M）［

與一小

/（見）??/（W）

（$一x,）（x0-x2）（%一及）（％一與）（x2-%）（左-%）

（b）性質2（對稱性）:差商與節點的順序無關。即

/區,3］=小"（）］,

這一點可以從性質1看出。

3利用差商表計算差商

利用差商的遞推定義,可以用遞推來計算差商。

差商表：

23

一階差商二階差商三階差商

,八陽）

八%）

為/（巧）小”X」

/[XpX2]/[”0,“1，/]

工2f（x2）

/[x2,x3]/[x19x2,x3]

/（/）/[x0,xnx2,x3]

如要計算四階差商,應再增加一個節點,表中還要增加一行。

4差分的概念

定義設函數尸/U）在等距節點為=%+^a=°』，…，"）上的函數值『（為）=￡,

其中，力為常數稱作步長。稱

▽工可/1

九一九

/力汨也2尸2，-2

分別為F（x）在％處以力為步長的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分。

稱符號/、▽、6分別為向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。

f+-C--

在節點等距情況I,差商%用差分表示，設步長力=匕+1-匕，有

Jyxi，演+i）--------------7

“川一天八

//、/（苞+1，巧+2）一/（如演+1）1/AA、1A2

f5,x/+1，z+2）=-------------------------------=T7T（一△”?）=R△M

xj+2-Xj2h2h

一般形式（數學歸納法可證）

f5,xM,?.，,+?）=M

§1.5牛頓插值公式

1.牛頓插值公式的構造

24

Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節點時，全部基函數1人6都

需重新算過。本節介紹另外一種方法-牛頓插值法，并用它解決上面所述問題。

由線性插值

N|（x）=y（）+^―^-（x-x0）,令。0==~—=+a1（x-x0）

二次插值能否寫成

N2(x)=al)+ai(x-x^+a^x-x^x-x^

由條件N2ao)=%，(再)=y,N2(X2)=y2得

為一）‘。y-y。

推廣得

N“(x)=4+4(x-x0)+4(x—MX%-%)

+…+Q〃(X—拓)…(X-X〃T),

其中，〃。.…，〃〃為待定系數。如何求"o，4尸?.，4??

/卬引/⑴一小。）

所以/（工）=/（/）+/〔九，/］（%_%）（0）

〃X,Xo，xJ=

/[X,XO]=/[XO,X1]+/[X,XO,X1](X-X1)⑴

又

/n1=

x-x2

/(x,x0,x1]=/[x0,x1,x,]+/[x,x0,x1,x2](x-x2)⑵

一般地，,%]=/阮知不…''/一/[%，再，…，品

f[x,XQ,X]xn_J=f[xQ,玉xn]+f[x,xQ,X[，…，xn](x-xn)(n)

將式(n)代入式(n-1),...，式⑵代入式(1),式(1)代入式(0),

25

如此可得:

/(x)=/(x0)+/rx0,x1](x-x0)

+/[x(pX],](x—*0)(2-X[)+???

+/[x0,xI,-,xn](x-x0)(x-x1)-(x-xzi_1)

+/[^x0,x1,-,rj(x-x0)(x-x1)-(x-x?)

尤為注意的是：最后一項中，差商部分含有X,乃是余項部分，記作此(X)；而

前面小1項中,差商部分都不含有X,因而前面加1項是關于X的〃次多項式,

記作N”(x),這就是牛頓插值公式。

2算例

例1:當n=l嘲，

f(x)=/(x0)+f[xQ,xJ(x-工0)+/[x,x0,x1](x-x0)(x-芭)

其中，’

^i(^)=/(x0)+/[x0,x1](x-x0)

=典+生*1。)

/一再

O

這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程。

當n=2時，

/(x)=/(x0)+/[x0,Xj](x-x0)+/[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

+/[x,x0,x1,x2](x-x0)(x-x1