2021年高考數學模擬考場仿真演練卷(全國山卷)02

文科數學-全解全析

12345678910II12

AADACDCDDBAB

1.已知復數馬、Z2在復平面內對應的點分別為(1,-1)、(0,1),則幺的共枕復數為()o

Z2

A、-1-z

B、-1+f

C、1-z

D、1+z

【答案】A

【解析】由題意可知馬二1一i,Z2=/,則五=■!--=-1-/,故選A。

z2i

2.已知p：xeA={x|---<0},q：xeB={x|x-tz<0},若p是q的必要不充分條件，則實數〃的取

\-x

值范圍是()。

A、(—?/)

B、(-00,1J

C、［2,+oo)

D、(2,+oo)

【答案】A

【解析】由題意可知A=(-oo,l)U2+8),B=(-co,a),若p是g的必要不充分條件，則人2B,

則故選B。

3.某市為最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招賢納士”，推進了人才引入落戶政策。隨著人口增多,

對住房要求也隨之而來，而選擇購買商品房時，佳戶對商品房的戶型結構越來越重視，因此某商品房調查

機構隨機抽取〃名市民，針對其居住的戶型結構和滿意度進行了調查，如圖1調查的所有市民中四居室共200

戶，所占比例為1，二居室住戶占工。如圖2是用分層抽樣的方法從所有調查的市民的滿意中，抽取10%的

36

調查結果繪制成的統計圖，則下列說法正確的是()。

A、樣本容量為70

B、樣本中三居室住戶共抽取了25戶

C、根據樣本可估計對四居室滿意的住戶有70戶

D、樣本中對三居室滿意的有15戶

【答案】D

【解析】A選項，總體容量為600,樣本容量為600x10%=60，錯，

B選項，樣本中三居室住戶共抽取300xl0%=30（戶），錯，

C選項，對四居室滿意的住戶共有200x40%=80（戶），錯，

D選項，樣本中三居室住戶有300xl0%=30（戶），

對三居室滿意的住戶有30x50%=15（戶），對，

故選D。

4.已知定義域為R的奇函數f（x）滿足：/{3-#+/（力=0,且當xe（—』,0）時，/（工）=隼4，則/（2021）=

2x+1

B.-

2

C、1

D、2020

【答案】A

【解析】■函數/(x)為奇函數,???/(—x)=—/(幻，A/(3-x)=-/(%-3),

又/(3-x)+/(x)=0得/?=-/(3-x)=f(x-3),

即/(x+3)=/(x),???/(%)的周期為T=3,

???/(2021)=/(3x673+2)=/(2)=/(-I),

又當工€(-■!，())時，/(幻=烏=???/(2021)=-g,故選A。

5.運行如右圖所示的程序框圖，則輸出的人的值為（）。

A、11

B、12

C、13

D、14

【答案】C

【解析】由算法框圖可知，S是首項為1,公比為2的等比數列的前〃項和,

即S=20+2:…+2。=2*-1,

l2,3,2

VIog2(2-l)<12,Iog2(2-l)>log2(2)=12,%=13,故選C。

6.高三上學期期末考試結束后，甲、乙、丙、丁四位同學不清楚自己的總分，僅打聽到他們的總分在年級

的位次（按總分由高到低的順序排列且四人總分均不相同）是2、5、7、9中的某一個，他們向數學老師打

聽自己總分的具體位次，由于成績暫時不能公布，老師只能給出如下答復：“命題〃：甲、丙總分的位次之

和大于乙、丁總分的位次之和，命題4：丁的總分最高，命題「：四位同學中，甲的總分不是最低的，且

p八(①)，4V())均為真命題。”據此，下列判斷錯誤的是()。

A、甲、乙總分的位次之和一定小于丙、丁總分的位次之和

B、若丁總分的位次是7,則丙總分的位次一定是5

C、乙的成績一定比其他三個都好

D、丙總分的位次可能是2

【答案】D

【解析】由題意可知，p是真命題，“、/?是假命題，

于是甲、乙、丙、丁四位同學的總分對應的位次只能是(9,257)或(9,2,7,5),

???D選項錯誤，故選D。

7.已知函數〃力的部分圖像如圖所示，則該函數的解析式可能是()。

A、/(x)=xlnx

B、f(x)=x-ex

、Inx

Cr、f(x)=—

x

D、/(x)=—

x

【答案】C

【解析】A選項，//(x)=lnx+l,當(0,)時/(x)遞減，不符合，

e

B選項，f(x)=(x+iyex,當(-1,+8)時f(x)遞增，不符合，

C選項，—,當(0,c)時/(X)遞增，當(e,+8)時/(%)遞減，符合,

x~

gJf(X1)

D選項，r(x)=2~>當(0,1)時/(X)遞減，不符合，

x

故選C。

8.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數上(Z>0且左。1)

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓。若平面內兩定點A、B間的距離為2,動點尸與A、B距離

之比為五，當尸、A、3不共線時，"A3面積的最大值是()。

As-----

3

3

c、V2

D、2V2

【答案】D

【解析】如圖，以經過A、3的直線為x軸，

線段A8的垂直平分線為y軸，建系,

則4(-1,0)3(1,0)，設P(x,y),

???舒人??再m

兩邊平方并整理得：X2+/-6X+1=0=>(x-3)2+y2=8,

JAPA8面積的最大值是,x2x2后=2日，故選D。

2

9.南宋著名數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數學史

上的一個偉大的成就。在“楊輝三角”中，已知每一行的數字之和構成的數列為等比數列且數列前〃項和為

S“，510g2⑸+1)-1，將數列｛4｝中的整數項組成新的數列｛g｝，貝!。202。的值為()。

A、5043

B、5045

C、5046

D、5048

【答案】D

【解析】根據“楊輝三角”的性質可得數列前〃項和為：S“=20+T+...+2”=2=2"-1,

“1-2

b?=，5.峪(5“+1)-1=d5〃-1,

???此數列為J5、兩、加、M、J五、V29,

其中a的整數項為石、亞、弧、病、JHZ、V169......

即2、3、7、8、12、13......

其規律為各項之間以+1、+4、+1、+4、+1、+4.....遞增，

，數列｛%｝是奇數項以5為公差，2為首項的等差數列，

偶數項以5為公差，3為首項的等差數列，

即。2“-1=2+5(〃-1)=5〃-3，。2〃=3+5(〃-1)=5〃-2,由2〃=2020得〃=130，

工。2020=5048,故選D。

22

10.已知后司一工[-y+2=0,x2+2y2-4-21n2=0，記M=(x)-x2)+｛y]-y2)?則M的最小值為()。

【答案】B

【解析】設乂)、B(xlt>2)，點A在函數5=心工一工+2上，點8在直線x+2y-4-21n2=0上,

:.M的最小值為函數y=lnx-x+2上的點到

直線x+2y-4-21n2=0的距離的最小值的平方，

函數)=lnx-x+2的導數為y1=

x

與直線x+2y-4-21n2=0平行的直線的斜率為-g,

令y'=，-l=-L,解得工=2,???切點的坐標為(2,ln2),

x2

，切點到直線1+2丁-4-21112=0的距離4=口+21常旨:2]=1，

c4

:?M=d-=一,故選Bo

5

11.現有一批大小不同的球體原材料，某工廠要加工出一個四棱錐零件，要求零件底面ABC。為正方形，

AB=2,側面APAD為等邊三角形,線段BC的中點為E,若PE=\,則所需球體原材料的最小體積為()。

A8后兀

Ax--------

3

口28兀

B、---

3

C、9兀

「14百冗

LJy-----

3

【答案】A

【解析】如圖所示，設F為AD中點，G為正方形A8CD中心,

連所、AC.EFC\AC=G,

設四棱錐的外接球的球心為。，半徑為「，

則球心。一定在過點G且垂直于底面ABCD的垂線上,

A(XJ.LEF,EG=FG=1,???△/%￡)是邊長為2的等邊三角形，:?PF=M,

又PE=1、EF=AB=2，：?PF1PE,:?NPEF="：乂PE=BE=CE=1,

/.E為AP8C外心，則球心。一定在過點E且垂直于側面尸8c的垂線上,

V5V3

：?OELPE,???NO￡G=30°,/.OG=—EG=—

33f

又???4G=4AC=啦，：,r=AO=y/AG2+OG2

2

此時球心0在四棱錐尸-486外，不是最小球，浪費材料，

可把底面ABCD的外心G看做最小球的球心，此時的球不是四棱錐P-A3CD的外接球，

但這時候原材料最省，最小球的半徑R=AG=贓，/=3兀/?3=包紅，故選A。

12.如圖所示，半徑為2的半圓有一內接梯形ABCD,它的下底AB為圓。的直徑，上底C。的端點在圓周

上，若雙曲線以A、3為焦點，且過C、。兩點，則當梯形488周長最大時，雙曲線的實軸長為（）。

A、3—V3

B、273-2

C、373-2

D、3V3+1

【答案】B

【解析】R=2,設NBAC=NABC=6,作CE_LABJ二點E,

則3C=2R-sin。=4sin6,BE=BCcos(90J-0)=2/?-sin20=4sin20,

???CD=2/?-2-4sin20=4-8sin20,

則梯形周長=AB+28C+CD=2R+2-4sin0+4—8sin2。

=4+8siii6+4-8sin20=-8sin2O+8sin6+8

=-8(sin0-^)2+lO,

當sinO=L,即。=30°時周長有最大值10,這時BC=R=2,

2

AC=4iR=26,iz=-(AC-BC)=-(V3-l)/?=V3-l?

22

，雙曲線的實軸長加為2力-2,故選B。

13.已知函數/(x)和/(x+2)都是奇函數，定義域為R,當xe(0,2)時,/(x)=sinx+x,則/(-21)+/(13)=

【答案】0

【解析】由f(x)和/(x+2)都是奇函數可知：f(x)=-f(-x),/(X+2)=-f(-x+2)=f(x-2),

貝—f(力+4)，故是周朝為4的奇函數，

則/(—21)=/(-1)=—/(1)，/(13)=/(1)?則/(一21)+/(13)=0

?I.I?'?'?

14.如圖所示，在AABC中，8O=-8C,點E在線段4￡＞上移動（不含端點），若AE=Z,A8+R4C,則

3

,片-日的最小值是

【答案】2—L

16

...■1?I，?...).I，?

【解析】VBC=AC-AB,BD=±BC,AD=AI3+BD=-AB+-AC

333

丁點E在線段AD上移動(不含端點)，，設施詬，0<z<h

WIJAE=tAD=)JAB+pAC./.AD=y'AB+^AC,

對應相等得a=z、艮=4，.,?入=2八^=1/,則&=2,

t3t333A

又"_日=（,1）2_；/=（,/_；）2_\,.?.當,=[時好_四取最小值為_賓。

15.已知點P（x,y）是直線/：履-y+4=0（左＞0）上的動點，過點〃作圓C：V+/+？、=o的切線夫人,

A為切點。若|以|最小為2時，圓M：/+/一四,=o與圓。外切，且與直線/相切，則m的值為。

【答案】275-2

【解析】圓C的圓心為。（0,-1）,半徑為1,

當CP與/垂直時，|R4|的值最小，此時點C到直線/的距離為d=1+41,

Jl+d

由勾股定理得1+22=（4^11）2,又攵＞0,解得左=2,

圓M的圓心為M（0,‘），半徑為|勺，

22

,?,圓M與圓C外切，，苧+1冉一（一1）|,??."A0,

|------F41

???圓M與直線/相切，???里=—解得帆=2后—2。

2后

16.在數列伍“｝中，4=4、的=6,且當〃之2時，見+]=4/-9,貝ij%=；若7；是數列｛"｝的

前〃項和，2=9（4—3）,則當九=5（4+1-3）（1一7；）為整數時入〃=

%.%+18

4,W=1

【答案】24

3X4”"+3,n>2

【解析】當〃之2時，由〃“+[=4%-9得。“+|—3=4（〃"一3）,

故數列｛*-3）從第二項起是首項為3,公比為4的等比數列,

4,n=\

則當〃之2時，勺=3X4”<+3,又當〃=1時%不符合該式，則4二

3X4M-2+3,n>2>

當〃=1時，7；=々=；3,X=5(O2-3)(7^-7；)=y15^Z,不符合題意，

當〃>2時，b=9(3X『+3-3)-_3x￡j_=」________!_

"(3X4”-2+3).(3X4"T+3)(4/,-2+1)-(4rt-,+1)4rt-2+14,,_,+1

此時+&+b%T----\-b?=—+(—Z-J------y-J)-i----F(1-----------\--)=-----J

"1-3”842-2+l42-l+r4rt-2+l4z,-,+l84,,_|+1

MX=5x3x4n-,x—J—=15-一早一，由九是整數，得4'一+1是15的因數,

4”“+14小+1

.??當且僅當〃=2時，一^一是整數，得入=12,故肌=24

4"一，1

17.（12分）某市“萬達購物廣場”五一期間舉辦“萬達杯”游戲大賽。每人組成一隊，編號為1、2、3、4、

5,在其中的投擲飛鏢比賽中，要求隨機抽取3名隊員參加，每人投擲一次。假設飛鏢每次都能投中靶面,

且靶面上每點被投中的可能性相同。某人投中靶面內陰影區域記為“成功”（靶面為圓形，4AC7）為正方形）。

每隊至少有2人“成功”則可獲得獎品（其中任何兩位隊員“成功”與否互不影響）。

（1）某隊中有3男2女，求事件A：”參加投擲飛鏢比賽的3人中有男有女”的概率;

（2）求某隊可獲得獎品的概率。

【解答】（1）假設某隊中1、2、3號為男性，4、5號為女性，

在從5人中抽取3人的所有可能情況有：

（1,2,3）、（1,2,4）、（1,2,5）、（1,3,4）、（1,3,5）、（1,4,5）、

（2,3,4）、（2,3,5）、（2,4,5）、（3,4,5）共10個基本事件，3分

——1Q

其中事件A包括（1,2,3）?種情況，，P（A）=1—P（A）=1--=—：5分

1010

（2）由圖可知00=血。加，

-n-OM2.

設事件4表示第i個人成功，則P（A）=2------=i=l、2、3.8分

設事件5表示某隊可獲得獎品，即至少有2人“成功”,

則p（s）=p（An4na）+p（An4n4）+尸（4。404）+尸（4。4。4）

1113111311135

—X—X—|--X-X—|--x-x-+—X-X—=—12分

44444444444432

18.（12分）在AA8C中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知邊c=2.且a?sin4-a-sinB=2sinC

—b,sinB。

(1)若sinC+sin(8—A)=sin2A,求AABC的面積;

(2)記A8邊的中點為M,求|CM|的最大值，并說明理由。

【解析】(1)在AABC中，A+B+C=n,Vc=2?asinA-asinB=2sinC-bsinB，

6ZsinA-6ZsinB=csinC-Z7sinB,1分

則由正弦定理得：a2-ab=c2-b2,BPa2+b2-c2=ab,2分

由余弦定理得：8SC，2+〃―C2,則。=二，3分

2ab23

VsinC+sin(R—A)=sin2A,

sin(A+B)+sin(B-A)=2sinA-cosA,

/.sin/I-cosB+cosA-sinB—sinA-cosB+cosA-sinB=2sinA-cos/A,

A2cosAsinB=2sinAcosA?

，cosA=0或sinA=sinA,即A=2或A=8，5分

2

當A=2時，B=—,/?=ctan—=2x—=-^^-,

26633

._1,12730273八小

??5MBC=2^c=2-3-2=^-16分

當A=8時，AA8C為正三角形，a=b=c=2,

SAABC=^bcs\nA=^x2x2x^-=y/3：7分

(2)TAB邊的中點為M,???屈=g(G+函，

/.|CA/|2=-(|C4|2+|CB|2+2\CA\-\CB\)

4

=—(b2+a2+lab-cosQ=—(a2+b2+ab),9分

44

由余弦定理可知：c?=。2+從力—osC,Vc=2,C=-j?/.a2+b2=ab+4,

—?911

Z.ICM\2=-(2ab+4)=^ah+\

乂?；a?+/之2ab,/.ab+4>2abrab<4f11分

.,.|O7|2<3,.-.|CA7<V3,故|CM|的最大值為6。12分

19.(12分)如圖所示，A8是圓。的直徑，點C是圓。上異于A、8的點，PO垂直于圓。所在的平面,

且尸。=08=1。P

(1)若O為線段4C的中點，求證：AC_L平面PDO；

(2)求三棱錐P-A8C體積的最大值；

(3)若8c=拒，點E在線段尸8上，求CE+OE的最小值。

A

DC

【解析】(1)證明：在AAOC中，\'OA=OC,。為AC的中點，???AC_L8,1分

乂。。垂直于圓。所在的平面，，PO_LAC,

???oon尸0=0，???AC_L平面尸DO；3分

(2)???點C是圓。上，，當COX.A3時，C到A5的距離最大，且最大值為半徑1,又AB=2,

??.AA8C的面積的最大值為，x2xl=1,5分

2

又???三棱錐P—ABC的高PO=1,故三棱錐P—4BC體積的最大值為』xlxl=L；6分

33

(3)在APQ8中，PO=OB=1,/尸。8=90"PB=712+12=41,

同理尸C=JI,:.PB=PC=BC=E,8分

在一:棱錐P—ABC中，

當。、E、C共線時，CE+OE取得最小值，10分

又?；OP=OB,CP=CB,???OC垂直平分必，即E為心中點，

仄而0C=0E+EC=包+旦=尬+娓,即CE+QE的最小值為也上逅，12分

2222

20.(12分)設函數/(x)=orlnx,其中atR,曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線經過點(3⑵。

(1)求函數/(%)=◎Inx的極值;

v2

(2)證明：f(x)>—--o

exe

【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+8),f(x)=a\nx+a,1分

則/(1)=0,f'Q)=a,故y=/(x)在(1,阿)處的切線方程y=a(x-l),2分

???該切線經過點(3,2),代入得2=。(3-1),解得。=1,3分

f(x)=x]nx>/,(A)=lnx+l,

當0cxe』時，r(x)<0,函數單調遞減，當時，r(x)>0,函數單調遞增，5分

ee

故當X=J?時，函數取得極小值/d)=」，無極大值；6分

eee

(2)/(助>±-2等價于：xlnx—+—>0,

exeexe

由(l)可得f(x)=x?hixN-L(當且僅當x=■時等號成立)①，

ee

：.x\nx--+,故只要證明』-二NO即可，(需驗證等號不同時成立)，9分

exeeexeex

1YY—1

設g(x)=-------r?x>0,則g'(x)=——>

eee

當Ovxvl時，g'(x)<0，函數單調遞減，當x>l時，g'(x)>0，函數單調遞增,

???g(x)2g(l)=0,當且僅當x=l時等號成立②，

???①?等號不同時成立，，當x>0時，/?>---o12分

exe

21.(12分)如圖所示,片、鳥分別是橢圓C：HF=1(。>。>0)的左、右焦點，點尸在橢圓C上。

3..

當/「出弓最大時，cos/4P瑪二弓且尸石?6瑪=2。

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線P尸2與橢圓C的另一交點為。，過6作直線P0的垂線/，/與圓/+丁=/交于A、8兩點,

求四邊形APBQ面積的最大值。>

【解析】(1)當/月％最大時，點P與橢圓C的上頂點或下頂點重合，/Q

設P(0,b),則cosAFXPF.=a”-3)~=3①，1分

2aa5

麗麗=(c,—勿?(2c,0)=2d=2②，2分

由①@得。2=1,a2=5,于是從=〃2-/=4,3分

22

，橢圓C的標準方程是三+二=1；4分

54

oR

（2）當直線PQ的斜率不存在時，|AB|=4,|也|二亨,

則四邊形9BQ的面積是竽

5分

當直線尸Q的斜率存在時，設直線PQ的方程為y=Z（x—l）,P（xvy）、。（巧，為），

將y=1)與］■+?=1聯立并消去y,整理得(5/+4)x2-10^2x+5/:2-20=0,

八八廠…10女25二一20

A>0恒成立，貝ni|JlX.+X2=-5-----，X?X=——5-------,7分

I"5A2+41225k2+4

2

則|PQ\=Jl+"2-yj（xi+x2）-4xlx2=：”，

由于直線/與直線PQ垂直，且經過點尸直線/的方程為工+分'+1=0,

，點O到直線/的距離為.A|AR|=2lb2-（.1yL?,9分

則四邊形加方。的面積：

于是Se（警,2厲］（當女=0時取得最大值），

11分

綜上可知，四邊形APBQ面積的最大值為2小。12分

x=t-cosan

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為(，為參數且f>0,ae(