第5講數列通項公式與前n項和高考預測一：等差等比公式法求和1．已知等比數列滿足：，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．2．記為等差數列的前項和．已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．高考預測二：裂項相消求和3．已知各項均為正數的等比數列的前項和為，且，．（Ⅰ）若等差數列滿足，求，的通項公式；（Ⅱ）若＝______，求數列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充到第（Ⅱ）問中，并對其求解．4．為數列的前項和，已知，．（1）求通項公式；（2）設，數列的前項和，若，求整數值．5．記為數列的前項和．已知，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．6．已知數列為各項非零的等差數列，其前項和為，滿足．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）記，求數列的前項和．7．已知數列滿足，，數列滿足，．（1）證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）數列滿足，求數列的前項和．高考預測三：錯位相減求和8．已知數列滿足為實數，且，，，且，，成等差數列．（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設，，求數列的前項和．9．設等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和．10．設等差數列的公差為前項和為，等比數列的公比為．已知，，，．（1）求數列，的通項公式；（2）當時，記，求數列的前項和．高考預測四：分組求和11．已知等差數列前10項的和是120，前20項的和是440．（1）求的通項公式；（2）若等比數列的第2項和第5項分別是6和162，求數列的前項和．12．已知為數列的前項和，且，，2，（1）求證：數列為等比數列：（2）設，求數列的前項和．13．設是等差數列，是等比數列．已知，，，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數列滿足，其中．求數列的通項公式；求第5講數列通項公式與前n項和高考預測一：等差等比公式法求和1．已知等比數列滿足：，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）設等比數列的公比為，則由已知可得解得故．（Ⅱ）若，則，故是首項為，公比為的等比數列，從而．若，則是首項為，公比為的等比數列，從而故．綜上，對任何正整數，總有．故不存在正整數，使得成立．2．記為等差數列的前項和．已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．【解析】解：（1）根據題意，等差數列中，設其公差為，若，則，變形可得，即，若，則，則，（2）若，則，當時，不等式成立，當時，有，變形可得，又由，即，則有，即，則有，又由，則有，則有，綜合可得：的取值范圍是，．高考預測二：裂項相消求和3．已知各項均為正數的等比數列的前項和為，且，．（Ⅰ）若等差數列滿足，求，的通項公式；（Ⅱ）若＝______，求數列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充到第（Ⅱ）問中，并對其求解．【解析】解：（Ⅰ）設數列的公比為，則．，，①，，解得（舍負），代入①得，，；則，，②設數列的公差為，，則；（Ⅱ）選擇①：，，則，．選擇②：，，則，，；選擇③：由（Ⅰ）知；．．．4．為數列的前項和，已知，．（1）求通項公式；（2）設，數列的前項和，若，求整數值．【解析】解：（1），，，，，兩式相減，得．，，．數列為常數列，，所以．（2）由（1）可得，令，則，，，數列的前項和，，，若，且為整數，當為奇數時，，，由，可得，當為偶數時，，，由，可得，．5．記為數列的前項和．已知，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【解析】解：（1）由題意，當時，，整理，得，解得，或（舍去）．當時，由，可得：，兩式相減，可得，整理，得，，．數列是首項為4，公差為3的等差數列．數列的通項公式為，．（2）由（1）知，．故．6．已知數列為各項非零的等差數列，其前項和為，滿足．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）記，求數列的前項和．【解析】解：由題設可得：，，；由（Ⅰ）可得：，當為偶數時，，當為奇數時，，綜上，．7．已知數列滿足，，數列滿足，．（1）證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；（2）數列滿足，求數列的前項和．【解析】（1）證明：，，又，，數列為首項、公比均為2的等比數列，，；（2）解：由（1）可得：，即，又，當時，，又當時，也適合上式，，，．高考預測三：錯位相減求和8．已知數列滿足為實數，且，，，且，，成等差數列．（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設，，求數列的前項和．【解析】解：（Ⅰ）數列滿足為實數，且，，，且，，成等差數列，所以，即．所以，由于，所以，解得．①當時，，②當時，．所以數列的通項公式為：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以①，則，②①②得，整理得．9．設等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和．【解析】解：（1）設等差數列的首項為，公差為，由，得解得，．因此．（2）由題意知：所以，，兩式相減得整理得，所以數列的前項和．10．設等差數列的公差為前項和為，等比數列的公比為．已知，，，．（1）求數列，的通項公式；（2）當時，記，求數列的前項和．【解析】解：（1）由題設知：，解得：或，當時，，；當時，，．（2）當時，由（1）可得，，，則，，又，兩式相減可得：，整理得：．高考預測四：分組求和11．已知等差數列前10項的和是120，前20項的和是440．（1）求的通項公式；（2）若等比數列的第2項和第5項分別是6和162，求數列的前項和．【解析】解：（1）設等差數列的公差為，由題設條件知：，解得：，，；（2）設等比數列的公比為，由題設條件知：，解得：，，，，所以其前項和為．12．已知為數列的前項和，且，，2，（1）求證：數列為等比數列：（2）設，求數列的前項和．【解析】證明：當時，，整理得，，，，，是以1為首項，以2為公比的等比數列．解：由得，．當為偶數時，；當為奇數時，可得．綜上，，為奇數），為偶數）．1