專題12將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力區分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。圖1圖2（1）如圖1，點A、B在直線m兩側：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側：輔助線：過點A作關于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.例1．（2022·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．【答案】15°##15度【分析】作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進而求得∠CDP＝15°，據軸對稱性可得∠CBP的度數．【詳解】如圖，作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點B與點D是關于MN的對稱點，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點B與點D是關于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關鍵．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質—“三線合一”、等邊三角形的性質和軸對稱等知識的綜合應用，解題關鍵是找到M點的位置．例3．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．【答案】10【分析】連接CA1交BC1于點E，C、A1關于直線BC1對稱，推出當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10．【詳解】解：連接CA1交BC1于點E，過點B作直線l⊥AB，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴是等邊三角形，AB=A1B=5∵A、B、三點在一條直線上，∴△ABC與△A1BC1關于直線l對稱，∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1關于直線BC1對稱，∴當點D與B重合時，AD+CD的值最小，最小值為線段AA1的長＝10，故答案為：10．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會找對稱點，形成兩點之間的線段來解決最短問題，屬于中考常考題型．例4．（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2022·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據CD=4可得出△COD是等邊三角形，進而可求出α的度數．【詳解】解：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．連接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．例2．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數為_________．【答案】160°【分析】要使周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點A關于BC和CD的對稱點，即可得到，進而求得，即可得到答案．【詳解】作點A關于BC和CD的對稱點，連接，交BC于M，交CD于N，則即為周長最小值，故答案為：160°．【點睛】本題考查的是軸對稱—最短路線問題，涉及平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如圖作D關于直線AC的對稱點M，作D關于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問題．【詳解】解：如圖，作D關于直線AC的對稱點M，作D關于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．例4．（2023春·貴州畢節·七年級統考期末）如圖所示，，點為內一點，，點分別在上，求周長的最小值．【答案】周長的最小值為8【分析】作P關于OA、OB的對稱點，連結、，即可快速找到解題思路.【詳解】如圖，作P關于OA、OB的對稱點，連結、，交OA、OB于M、N，此時周長最小，根據軸對稱性質可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長的最小值為8.【點睛】本題應用知識比較隱晦，分別考查了軸對稱圖形和等邊三角形，需要認真分析，充分聯系所學知識，方可正確解答.模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內側，一個點在外側：輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內側：輔助線：過點A、B作關于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2022·和平區·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當的值最小時，的大小=___（度）．【答案】50【分析】作M關于OB的對稱點，N關于OA的對稱點，連接，交OB于點P，交OA于點Q，連接MP，QN，可知此時最小，此時，再根據三角形外角的性質和平角的定義即可得出結論．【詳解】作M關于OB的對稱點，N關于OA的對稱點，連接，交OB于點P，交OA于點Q，連接MP，QN，如圖所示．根據兩點之間，線段最短，可知此時最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內角和，三角形外角的性質等知識，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵，綜合性較強．例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】分別作B、C關于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據等邊三角形的性質和判定和軸對稱的性質分別求得和即可求得．【詳解】解：分別作B、C關于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ∵HC與GB關于y軸對稱，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關于y軸對稱，∴當、，P、Q在同一條直線上時，最小，此時軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B、關于AG對稱，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過作PM⊥GO交x軸與M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質，等邊三角形的性質和判斷，坐標與圖形變化．能借助軸對稱的性質正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關鍵．例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據直角三角形的性質可得，再根據等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據等邊三角形的性質可得，再根據等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據線段垂直平分線的性質可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點是斜邊的中點，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，故的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、含角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側：輔助線：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形三邊長關系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關鍵．例2．（2022·廣東·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點關于射線的對稱點，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點關于射線的對稱點，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關鍵．例3．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則________．【答案】123°【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應的圖形，根據條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果．【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形內角和、直角三角形、等腰三角形的性質等知識，根據題意畫出相應圖形是解決問題的關鍵．課后專項訓練1．（2022·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N關于BD的對稱點，根據軸對稱性質、兩點之間線段最短和垂線段最短的定理可以得到CM+MN的最小值即為C點到AB的垂線段，因此根據面積公式可以得解．【詳解】解：如圖，作N關于BD的對稱點，連結N，與BD交于點O，過C作CE⊥AB于E，則∵BD平分∠ABC，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，∴根據兩點之間線段最短可得CM+MN的最小值為，即C點到線段AB某點的連線，∴根據垂線段最短，CM+MN的最小值為C點到AB的垂線段CE的長度，∵△ABC的面積為10，∴，∴CE=5，故選B．【點睛】本題考查軸反射的綜合運用，熟練掌握軸反射的特征、兩點之間線段最短及垂線段最短等性質是解題關鍵．2．（2022·甘肅白銀·七年級期末）如圖，在中，，，，，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任意一點，則周長的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【答案】A【分析】根據題意知點B關于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周長最小．【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關于EF對稱，設AC交EF于D，∴當P和D重合時，即A、P、C三點共線時，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，解此題的關鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．3．（2022·江西宜春·八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由條件可得點A是點C冠以ED的對稱點，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點P運動的過程中，P與E重合時有最小值．【詳解】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴PC+PB=PA+PB，∵P運動的過程中，P與E重合時有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故選：A【點睛】本題主要考查動點最短路徑問題，結合對稱，尋找對稱點，判斷最值狀態是解題的關鍵．4（2022?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出E，F的位置是解題關鍵．5．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據CD=4可得出△COD是等邊三角形，進而可求出α的度數．【詳解】解：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．連接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．6．（2023云南八年級期末）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先連接CE，再根據EB=EC，將FE+EB轉化為FE+CE，最后根據兩點之間線段最短，求得CF的長，即為FE+EB的最小值．【詳解】解：如圖，連接CE，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴當C、F、E三點共線時，EF+EC=EF+BE=CF，∵等邊△ABC中，F是AB邊的中點，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值為6．故選：B【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，軸對稱性質等知識，熟練掌握和運用等邊三角形的性質以及軸對稱的性質是解決本題的關鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結論．7．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可知為底邊上的高線，根據面積關系即可求得的長，根據垂直平分線的性質可知點和點關于直線EF對稱，所以當與重合時，的值最小，根據和的長度即可求得周長的最小值．【詳解】如圖∵的面積為12，∴，，解得，，∵直線EF垂直平分BC交AB于點E，∴點和點關于直線EF對稱，∴當與重合時，的值最小，最小值等于的長，∴周長的最小值是，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、垂直平分線的性質、軸對稱最短路線問題的應用、三角形的面積等，解題的關鍵是準確找出點的位置．8.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【答案】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．9．（2022·河南·安陽市八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AP，根據線段垂直垂直平分線的性質可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當A、P、D在同一直線上時，最小．再根據等腰三角形“三線合一”的性質可知AD為的平分線，即．最后根據三角形外角性質即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當A、P、D在同一直線上時，最小，即為的長，∴此時最小．∵D是邊BC的中點，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．∵，即，∴．故選C．【點睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義以及三角形外角性質．根據題意理解當A、P、D在同一直線上時最小是解題關鍵．10．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】作D點分別關于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，利用軸對稱的性質得AG=AD=AH=2，利用兩點之間線段最短判斷此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等邊三角形，進而可得∠FAB的度數．【詳解】解：如圖，作D點分別關于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，根據軸對稱的性質，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題：熟練掌握軸對稱的性質，會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題．11．（2022·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點P是它內部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．【答案】2【分析】先作點P關于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質,可證∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,繼而可得△OP′P″是等邊三角形,即PP′=OP′=2．【解析】作點P關于OA,OB的對稱點P′,P″,連接P′P″,由軸對稱確定最短路線問題,P′P″分別與OA,OB的交點即為Q,R,△PQR周長的最小值=P′P″,由軸對稱的性質,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等邊三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案為:2.【點睛】本題主要考查軸對稱和等邊三角形的判定,解決本題的關鍵是要熟練掌握軸對稱性質和等邊三角形的判定.12．（2022·福建·莆田二中八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．【答案】15°##15度【分析】作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，先證明△BCD是等邊三角形，從而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，進而求得∠CDP＝15°，據軸對稱性可得∠CBP的度數．【詳解】如圖，作點B關于MN的對稱點D，連接AD交MN于P，連接BP，CD，∵點B與點D是關于MN的對稱點，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵點B與點D是關于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，∴由等邊三角形的軸對稱性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15°．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質，軸對稱最短線路問題等知識，明確AP+BP的最小值為AD長是解題的關鍵．13．（2022·廣東·八年級專題練習）如圖，，，AD是∠BAC內的一條射線，且，P為AD上一動點，則的最大值是______．【答案】5【分析】作點關于射線的對稱點，連接、、B'P．則，，是等邊三角形，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【詳解】解：如圖，作點關于射線的對稱點，連接、，B'P．則，，，．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，在中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．∴的最大值是5．故答案為：5．【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關鍵．14．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形三邊長關系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關鍵．15.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．【答案】【分析】在上取點，使，連接，過點作，垂足為．利用角的對稱性，可知，則EC＋EF的最小值即為點C到AB的垂線段CH的長度，進而即可求解．【詳解】解：如圖，在上取點，使，連接，過點作，垂足為．平分，根據對稱可知．，．，當點、、共線，且點與點重合時，的值最小，最小值為CH=，故答案為．【點睛】本題考查了軸對稱-線段和最小值問題，添加輔助線，把兩條線段的和的最小值化為點到直線的距離問題，是解題的關鍵．16．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為___．【答案】6【分析】根據軸對稱的性質和垂直平分線的性質判斷即可；【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點A、P、D共線時取等號），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質和軸對稱最短距離問題，準確分析計算是解題的關鍵．17．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．【答案】20．【分析】根據由沿AD對稱,得到，進而表示出，最后求周長即可．【詳解】由沿AD對稱得到，則E與C關于直線AD對稱，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當P在BC邊上，即D點時取得最小值12，∴周長為，最小值為．故答案為:20．【點睛】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關鍵．18．（2022·湖北·八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則________．【答案】123°【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應的圖形，根據條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果．【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=3