專題03圓中的重要模型-圓弧的中點模型當圓中出現弧的中點時，我們要注意考慮幾個方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，弧，圓心角，圓周角的關系等等。其關系復雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎之上，還要注意各知識點之間的聯系，才是形成穩固的解題思路以及推導模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復雜的綜合題型以及壓軸題型。當圓中出現弦的中點或弧的中點時，我們聯想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進行思路的突破，這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率模型1、與垂徑定理相關的中點模型圖1圖2圖31）如圖1，已知點P是中點，連接OP，則OP⊥AB．2）如圖2，已知過點P作MN∥AB，則MN是圓O的切線．3）如圖3，變換條件：連接BP、AP，若∠BPN=∠A，則MN是圓O切線．例1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖，是半徑為8的的弦，點C是優弧的中點，，則弦的長度是（

）A．8 B．4 C． D．例2．（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，點為的中點，連接，，，與相交于點，過點作直線，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．例3．（2023·福建龍巖·統考一模）如圖，點C是的中點，直線與相切于點C，直線與切線相交于點E，與相交于另一點D，連接，．(1)求證：；(2)若，求的度數．例4．（2023·山東濰坊·統考二模）如圖，為的直徑，點D為圓周上一點（不與A，B重合），點C為的中點，連接BC并延長至點E，連接AE，AC，恰有AC平分．(1)求證：為的切線；(2)作，，垂足分別為點D，F，若，，求AE的長．

模型2、與圓周角定理相關的中點模型（母子型）圖1圖2圖31）如圖1，已知點P是中點，點C是圓上一點，則∠PCA=∠PCB．2）如圖2，已知點P是半圓中點，則∠PCA=∠PCB=45°．3）如圖3，已知點P是中點，則∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖，在中，點A是的中點，若，則的度數為（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東德州·統考二模）如圖1，內接于，點是劣弧的中點，且點與點位于的異側．(1)請用圓規和無刻度直尺在圖1中確定劣弧的中點；(2)在圖1中，連接交于點，連接，求證；(3)如圖2，點是半圓的中點，若⊙O的直徑，求和的長．

例3．（2023春·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，已知是圓的直徑，點在圓上，且，過點作弦的平行線與的延長線交于點(1)若圓的半徑為，且點為弧的中點時，求線段的長度；(2)在（1）的條件下，當，α時，求線段的長度；（答案用含α的代數式表示）；(3)若，且，求的面積．例4．（2023·四川巴中·統考一模）如圖，是半圓O的直徑，D為半圓O上的點（不與A，B重合），連接，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點F，連接，交于點E．(1)求證：是半圓O的切線．(2)求證：．(3)若，，求陰影部分的面積．模型3、垂徑定理與圓周角定理結合的中點模型如圖，AB是直徑，點P是中點，過點P作PH⊥AB交AB于點H，則△ADP∽△APC．以下作圖可證明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·湖南長沙·長沙市統考一模）如圖，已知是的直徑，與相切于點，與相交于點，是弧的中點，現有如下幾個結論：，，，，其中正確的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個例2．（2023·浙江金華·校聯考二模）如圖，是的直徑，C是上一點，點D是弧的中點，于點E，交于點F，已知，的半徑為2，則的長為．例3．（2023·河南信陽·統考一模）如圖，是的直徑，點是圓上一點，點是的中點，，過點作的切線交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，的半徑是3，求的長．例4．（2023·四川成都·統考二模）如圖，是的一條弦，點是中點，連接，，交于點．過點作的切線交的延長線于點，延長交于點，連接交于點，連接．(1)求證：；(2)已知，求的值．

模型4、與托勒密定理相關的中點模型圖1圖21）同側型:條件：如圖5，A為弧BC中點，D為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD+CD=2AD×cosθ；特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即θ=60°）；結論：BD+CD=AD2）當三角形為等腰直角三角形時（即θ=90°）；結論：BD+CD=AD3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即θ=120°）；結論：BD+CD=AD2）異側型:條件：如圖5，A為弧BC中點，D為圓上等腰三角形底邊下方一點，結論：BD-CD=2AD×cosθ；特別地：1）當三角形為等邊三角形時（即θ=60°）；結論：BD-CD=AD2）當三角形為等腰直角三角形時（即θ=90°）；結論：BD-CD=AD3）當三角形為120°的等腰直角三角形時（即θ=120°）；結論：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年級期中）如圖，為圓內接四邊形的對角線，且點D為的中點；(1)如圖1，若、直接寫出與的數量關系；(2)如圖2、若、平分，，求的長度．例2．（2023·云南紅河·統考二模）如圖，在中，為的直徑，過點C作射線，，點B為弧的中點，連接，，．點P為弧上的一個動點（不與B，C重合），連接，，，．(1)若，判斷射線與的位置關系；(2)求證：．

例3．（2023·山西陽泉·九年級統考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.任務：（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別指什么？依據1：

依據2：（2）當圓內接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：（請寫出定理名稱）.（3）如圖（3），四邊形ABCD內接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C是弧BD的中點，求AC的長.課后專項訓練1．（2023·陜西寶雞·統考三模）如圖，，是的兩條直徑，點是劣弧的中點，連接，．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．2．（2023·重慶·三模）如圖，是半徑為6的的直徑，是弦，是弧的中點，與相交于點，若為的中點，則的長為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江溫州·校考二模）如圖，點A，B在以為直徑的半圓上，B是的中點，連接交于點E，若，則的度數是（

）A． B． C． D．4．（2023·山東德州·統考一模）如圖，是的直徑，點E，C在上，點A是的中點，過點A作的切線，交的延長線于點D，連接．若，則的度數（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·校考三模）如圖，圓內接四邊形的邊過圓心O，過點C的切線與邊的延長線交于點E，若點D是的中點，，則的度數為（

）

A． B． C． D．6．（2023·重慶·校考二模）如圖，在中，是圓的直徑，過點B作的切線，連接交于點D，點E為弧中點，連接，若，，則的長為（

）A．2 B． C． D．7．（2023·湖北十堰·統考模擬預測）如圖，⊙O的內接四邊形中，，，，點C為弧的中點，則的長是（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇鹽城·景山中學校考三模）如圖，四邊形內接于，A為中點，，則等于（）

A． B． C． D．9．（2023·河南三門峽·統考二模）如圖，在扇形中，，，點是中點，點分別為線段上的點，連接，當的值最小時，圖中陰影部分的面積為．

10．（2022·廣東東莞·九年級校考期末）如圖，A，B，C，D是圓上的四個點，點是弧的中點，如果，那么．

11．（2023·安徽安慶·校考二模）已知，如圖，點是優弧的中點，，，則的半徑是．

12．（2023·黑龍江哈爾濱·校考二模）如圖，是的內接三角形，點D是弧的中點，已知，，則度．13．（2023·湖南岳陽·統考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．（1）若，則的長是（結果保留）；（2）若，則．

14．（2023·遼寧鞍山·統考三模）如圖，是的直徑，是中點，若，則．15．（2023·四川南充·統考中考真題）如圖，是的直徑，點D，M分別是弦，弧的中點，，則的長是．

16．（2023春·浙江金華·九年級校聯考期中）如圖，是的切線，為切點，直線交于兩點，連接，．過圓心作的平行線，分別交的延長線、及于點．(1)求證：是的中點；(2)求證：；(3)若是的中點，的半徑為6，求陰影部分的面積．

17．（2023春·廣東東莞·九年級校考開學考試）如圖，是的直徑，是半圓上的一點，平分，垂足為，交于，連接．(1)求出：是的切線；(2)若，求的長；(3)若是弧的中點，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．18．（2023·河南周口·校考三模）如圖，為的直徑，點C、D為上兩點，且點D為的中點，連接．過點D作于點F，過點D作的切線，交的延長線于點E．(1)求