湖北省荊州市松滋第四中學2025屆數學高二上期末復習檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創作的長篇小說，書中有這樣一個情節：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.2．根據如下樣本數據，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.3．當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.4．某學生2021年共參加10次數學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數； D.，，，…，的眾數；5．如圖，在平行六面體中，設，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.6．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是（）A. B.C. D.7．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．某機構通過抽樣調查，利用列聯表和統計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得，經查對臨界值表知，，現給出四個結論，其中正確的是（）A.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關"B.因為，故有95%把握認為“患肺病與吸煙有關”C.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙無關”D.因為，故有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”9．若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知數列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.11．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.812．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數單位，復數______14．函數單調增區間為______.15．直線的一個法向量________.16．已知數列的前n項和為，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的前n項和為，，（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，求數列的前n項和18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線(t為參數).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.19．（12分）已知數列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.20．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個零點，，證明：21．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.（1）求該拋物線的標準方程和的值；（2）若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.22．（10分）已知函數（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據題意可得，解得，則燈球的總數為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據題意列出方程組，求得兩種燈球的數量是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題2、B【解析】作出散點圖，由散點圖得出回歸直線中的的符號【詳解】作出散點圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當x＝0時，＝＞0.故選B【點睛】本題考查了散點圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點圖，再由數據計算的值3、A【解析】設，對實數的取值進行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】設，其中.①當時，即當時，函數在區間上單調遞增，則，解得，此時不存在；②當時，，解得；③當時，即當時，函數在區間上單調遞減，則，解得，此時不存在.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.4、B【解析】根據平均數、標準差、中位數及眾數的概念即得.【詳解】根據平均數、中位數、眾數的概念可知，平均數、中位數、眾數描述數據的集中趨勢，標準差描述數據的波動大小估計數據的穩定程度.故選：B.5、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因為在平行六面體中，，，，所以，故選：B6、D【解析】根據橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據關于縱軸成對稱分布，得到結果詳解】設橢圓右焦點為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關于軸成對稱分布，又，故所求的值為故選：D7、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角8、A【解析】根據給定條件利用獨立性檢驗的知識直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，也不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”，即B，D都不正確.故選：A9、D【解析】求出函數的導數，問題轉化為在有解，進而求函數的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區間內存在單調遞增區間，則有解，故，令，則在單調遞增，，故.故選：D.10、D【解析】由，轉化為，再由求解.【詳解】因為數列滿足，所以，即，因為，所以，所以，故選：D11、B【解析】設等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準線方程為設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選12、D【解析】根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡求解即可.【詳解】故答案為：.14、【解析】利用導數法求解.【詳解】因為函數，所以，當時，，所以的單調增區間是，故答案為：15、（答案不唯一）【解析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：16、【解析】先通過裂項相消求出，再代入計算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)設等比數列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據等差數列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數，這個數組成以為首項的等差數列，∴，設{}前n項和為，①①×3：②①－②：18、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標公式得曲線的直角坐標方程.（2）將代入曲線C的直角坐標方程得，再利用直線參數方程t的幾何意義和韋達定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標方程為②（2）將代入②式，得，點M的直角坐標為（0，3），設這個方程的兩個實數根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數t的幾何意義即得.【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的互化、直線參數方程t的幾何意義，屬于基礎題.19、（1）（2）【解析】(1)根據所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數列加上一個等比數列得到，要求其前項和，采用分組求和法結合公式法可求出前項和【小問1詳解】當時，，解得；當時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數列，∴，因此的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴20、（1）函數的單調性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數的導數，按a值分類討論判斷的正負作答.(2)將分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構造函數，借助函數導數推理作答.【小問1詳解】已知函數的定義域為，，當時，恒成立，所以在區間上單調遞增；當時，由，解得，由，解得，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，所以，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】依題意，不妨設，則，，于是得，即，亦有，即，因此，，要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，則有在上單調遞增，，，即成立，所以.【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數，再借助導數探討函數的單調性、極(最)值問題處理.21、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據點到焦點的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進而得到拋物線方程，然后將點代入拋物線求解；（2）方法一：設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用數量積的運算求解；方法二：根據直線過點，分直線的斜率不存在時，檢驗即可；當直線的斜率存在時，設直線方程為：，與拋物線方程聯立，結合韋達定理，利用向量的數量積運算求解.【小問1詳解】解：∵拋物線焦點在軸上，且過點，∴設拋物線方程為，由拋物線定義知，點到焦點的距離等于5，即點到準線的距離等于5，則，，∴拋物線方程為，又點在拋物線上，，，∴所求拋物線方程為，.【小問2詳解】方法一：由于直線過點，可設直線方程為：，由得，設，，則，，所以