四川省成都龍泉第二中學2025屆高二數學第一學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.2．為了解義務教育階段學校對雙減政策的落實程度，某市教育局從全市義務教育階段學校中隨機抽取了6所學校進行問卷調查，其中有4所小學和2所初級中學，若從這6所學校中再隨機抽取兩所學校作進一步調查，則抽取的這兩所學校中恰有一所小學的概率是（）A. B.C. D.3．集合，，則（）A. B.C. D.4．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.15．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.6．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.7．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要8．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.9．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.210．用數學歸納法證明“”的過程中，從到時，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.11．（）A.-2 B.0C.2 D.312．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是拋物線的準線與x軸的交點，F為拋物線的焦點，P是拋物線上的動點，則最小值為_____14．若不等式的解集是，則的值是___________.15．若函數，則在點處切線的斜率為______16．已知實數，滿足，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點為，上頂點為，直線與橢圓的另一個交點為A（1）求點A的坐標；（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點（均與A，不重合），過點與軸垂直的直線分別交直線，于點，，證明：點，關于軸對稱18．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍19．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是邊AB上的點，，求的面積的最小值20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程21．（12分）已知等比數列的前n項和為，，（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個等差數列，記插入的這n個數之和為，求數列的前n項和22．（10分）已知橢圓的焦距為4，點在G上.（1）求橢圓G的方程；（2）過橢圓G右焦點的直線l與橢圓G交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先根據垂直關系設切線方程，再根據圓心到切線距離等于半徑列式解得結果.【詳解】因為切線與直線平行，所以切線方程可設為因為切線過點P(2，2)，所以因為與圓相切，所以故選：C2、A【解析】由組合知識結合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學校中隨機抽取兩所學校的情況共有種，這兩所學校中恰有一所小學的情況共有種，則其概率為.故選：A3、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【詳解】解不等式得：，則有，解不等式，解得或，則有或，所以為.故選：A.4、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過點時，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點時，.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規劃問題，屬于中檔題.5、D【解析】根據條件設，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D6、B【解析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.7、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B8、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點睛】本題考查求球的表面積，解題關鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上9、D【解析】設，構建空間直角坐標系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標表示列方程，結合點P的唯一性有求參數a，即可得結果.【詳解】由題設，構建如下圖空間直角坐標系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D10、B【解析】依題意，由遞推到時，不等式左邊為，與時不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數學歸納法證明等式的過程中，假設時不等式成立，左邊，則當時，左邊，∴從到時，不等式的左邊增加了故選：B11、C【解析】根據定積分公式直接計算即可求得結果【詳解】由故選：C12、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點為的中點，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用已知條件求出p，設出P的坐標，然后求解的表達式，利用基本不等式即可得出結論【詳解】解：由題意可知：，設點，P到直線的距離為d，則，所以，當且僅當x時，的最小值為，此時，故答案為：【點睛】本題考查拋物線的簡單性質的應用，基本不等式的應用，屬于中檔題14、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數的關系可得：，所以，所以，故答案為：15、【解析】根據條件求出，，再求即答案.【詳解】∵，∴，則和，得，，∴，，∴，所以在點處切線的斜率為.故答案為：16、【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組得到最優解的坐標，代入目標函數得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，化目標函數為，由圖可知，當直線過點時，直線在y軸上的截距最大，z最大，聯立方程組，解得點，則取得最大值為.故答案為：【點睛】本題考查的是線性規劃問題，解決線性規劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想，需要注意的是：一，準確無誤作出可行域；二，畫目標函數所對應直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率比較；三，一般情況下，目標函數的最值會在可行域的端點或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯立直線與橢圓，求出A點坐標；（2）設出直線方程，聯立橢圓方程，用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點的縱坐標，證明出，即可證明關于軸對稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯立得解得或，當時，，所以【小問2詳解】設，，的方程為，聯立消去得，則，直線的方程為，設，則，直線的方程為，設，則，因為，即，所以點，關于軸對稱18、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數m的取值范圍是19、（1），（2）【解析】利用正余弦定理化簡即求解A和B的大小利用正弦定理把CN、CM表示出來，結合三角函數的性質，即可求解的面積的最小值【詳解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,由由余弦定理可得：，，如圖所示:設，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此時故的面積的最小值為【點睛】本題考查了正余弦定理的應用，三角函數的有界限求解最值范圍，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯立可得，得，結合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據坐標之間關系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現多余的點.21、（1）；（2）【解析】(1)設等比數列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據等差數列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數，這個數組成以為首項的等差數列，∴，設{