專題02全等模型--一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內角和為180°，證得兩個三角形全等。【常見模型及證法】同側型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等例1．（2023·浙江·八年級假期作業）（1）如圖1，已知：在中，，直線m經過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D、E．證明：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．例2．（2023春·上海·七年級專題練習）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．例3．（2022春·廣東梅州·七年級校考階段練習）如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；（2）在（1）的前提條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．例4．（2022·貴州銅仁·三模）（1）探索發現：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內，已知點N的坐標為，求點M的坐標．（3）拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系內，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內角和為180°，證得兩個三角形全等。【常見模型及證法】異側型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等例1．（2022·浙江杭州·一模）老師在上課時，在黑板上寫了一道題：“如圖，ABCD是正方形，點E在BC上，DF⊥AE于F，請問圖中是否存在一組全等三角形？”小杰同學經過思考發現：△ADF≌△EAB．理由如下：因為ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因為DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）所以∠DFA＝∠B（等量代換）又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖卻說這題是錯誤的，這兩個三角形根本不全等．你知道小杰的錯誤原因是什么嗎？我們再添加一條線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請能說出此線段的做法嗎？并說明理由．例2．（2022·山東·九年級課時練習）（1）課本習題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內部的射線上，且．求證：．（3）拓展應用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結果，不需要寫解答過程）例3．（2023·貴州遵義·八年級統考期末）過正方形（四邊都相等，四個角都是直角）的頂點作一條直線．

（1）當不與正方形任何一邊相交時，過點作于點，過點作于點如圖（1），請寫出，，之間的數量關系，并證明你的結論．（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關系會發生變化，請直接寫出，，的數量關系，不必證明；（3）若繼續改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關系又會發生變化，請直接寫出，，的數量關系，不必證明．課后專項訓練1．（2022·貴州·凱里一模）如圖，在平面直角坐標系中、，軸，存在第一象限的一點使得是以為斜邊的等腰直角三角形，則點的坐標（

）．A．或 B． C．或 D．2．（2023·浙江·八年級假期作業）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．3．（2022·河北保定·模擬預測）如圖，桌面上豎直放置著一個等腰直角三角板，若測得斜邊的兩端點到桌面的距離分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長．4．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，點C在上，．求證：．5．（2023春·陜西西安·七年級校聯考期末）（1）【問題發現】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．6．（2022·河南·八年級校聯考期中）在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角平分線于點．請你探究與存在怎樣的數量關系，并證明你的結論正確．經過探究，小明得出的結論是，而要證明結論，就需要證明和所在的兩個三角形全等，但和顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點是邊的中點，小明想到的方法是如圖2，取的中點，連接，證明．從而得到．請你參考小明的方法解決下列問題．（1）如圖3，若把條件“點是邊的中點”改為“點是邊上的任意一點”，其余條件不變，證明結論仍然成立；（2）如圖4，若把條件“點是邊的中點”改為：“點是邊延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，請說明理由．

7．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．8．（2022·黑龍江·樺南縣九年級期中）如圖1，在中，，，直線經過點，且于，于．(1)由圖1，證明：；(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，請猜想出，，的等量關系并說明理由；(3)當直線繞點旋轉到圖3的位置時，試問，，又具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不必說明理由）．9．（2022·山西陽泉·八年級期中）我們在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質和判定，在一些探究題中經常用以上知識轉化角和邊，進而解決問題．例如：我們在解決：“如圖1，在中，，，線段經過點C，且于點D，于點E．求證：，”這個問題時，只要證明，即可得到解決，積累經驗：（1）請寫出證明過程；類比應用：（2）如圖2，在平面直角坐標系中，中，，，點A的坐標為，點C的坐標為，求點B與x軸的距離．拓展提升：（3）如圖3，在平面直角坐標系中，，，點A的坐標為，點C的坐標為，求點B的坐標．10．（2023春·浙江·八年級期中）【初步探究】（1）如圖1，在四邊形中，，E是邊上一點，，連接．請判斷的形狀，并說明理由．【問題解決】（2）若設，試利用圖1驗證勾股定理．【拓展應用】（3）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，點，點C在第一象限內，若為等腰直角三角形，求點C的坐標．11．（2022秋·河南信陽·八年級校考階段練習）通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現】(1)如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進而得到___________，___________．我們把這個數學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應用】(2)①如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；②如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點為平面內任一點．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標．12．（2023春·上海·七年級專題練習）通過對數學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．13．（2022·黑龍江佳木斯·三模）在中，，，為直線上一點，連接，過點作交于點，交于點，在直線上截取，連接．（1）當點，都在線段上時，如圖①，求證：；（2）當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖②；當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖③，直接寫出線段，，之間的數量關系，不需要證明．14．（2022·安徽·合肥市廬陽中學二模）（1）如圖，等腰直角中，，，線段經過點，過A作于點，過作于求證：≌．（2）如圖，已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點是平面直角坐標系中的一點，若是以為直角邊的等腰直角三角形，求點的坐標；（3）如圖，已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，在等腰直角中，，，點在線段上從向運動運動到點停止，以點為直角頂點向右上方做等腰直角，求點移動的距離．15．（2022秋·廣東廣州·八年級校考階段練習）已知：CD是經過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經過∠BCA的內部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數量關系，能使①中的結論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數量關系．（2）如圖3．若直線CD經過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結論并進行證明．16．（2022秋·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA＝105°時，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點D從點B向點C運動時，∠BDA逐漸變．（填“大”或“小”）。（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE？請說明理由．（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．17．（2023春·浙江·八年級專題練習）在中，，，直線MN經過點C，且于D點，于E點．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖①的位置時，求證：；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、