第四部分三角形專題14全等三角形（5大考點）核心考點核心考點一全等三角形的判定核心考點二全等三角形的性質核心考點三全等三角形中的倍長中線模型核心考點四全等三角形中的旋轉模型核心考點五全等三角形綜合問題新題速遞核心考點一全等三角形的判定例1（2022·湖南湘西·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18例2（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且，連接EF交邊AD于點G．過點A作，垂足為點M，交邊CD于點N．若，，則線段AN的長為_________例3（2022·貴州貴陽·統考中考真題）如圖，在正方形中，為上一點，連接，的垂直平分線交于點，交于點，垂足為，點在上，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．知識點、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“邊邊邊”定理1：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.二、全等三角形判定2——“邊角邊”定理2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：1.這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角邊角”定理3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.四、全等三角形判定4——“角角邊”定理4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.要點三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.3.三角形證全等思路五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“HL”）.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【變式1】（2022·四川綿陽·東辰國際學校校考模擬預測）如圖，在中，，，，AE平分∠BAC，且于點E，點D為的中點，連接，則的長為（

）A．2 B． C． D．【變式2】（2022·重慶長壽·統考模擬預測）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A'恰好落在邊OC上，則OE的長為（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·河南鄭州·河南省實驗中學校考模擬預測）如圖，已知中，，以斜邊為邊向外作正方形，正方形的對角線交于點O，連接．已知，則________．【變式4】（2021·四川眉山·統考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CE＝2DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②G為BC的中點；③CF∥AG；④，其中正確結論的序號是_______．【變式5】（2023·陜西西安·統考一模）如圖①，在中，，是的中點，為內一點，連接并延長到，使得，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，探索當與滿足什么數量關系時，，并說明理由．核心考點二全等三角形的性質例1（2022·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，在中，，將以點為中心逆時針旋轉得到，點在邊上，交于點．下列結論：①；②平分；③，其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③例2（2021·山東日照·統考中考真題）如圖，在矩形中，，，點從點出發，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，規定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為_____時，與全等．例3（2022·江蘇常州·統考中考真題）在四邊形中，是邊上的一點．若，則點叫做該四邊形的“等形點”．(1)正方形_______“等形點”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形中，邊上的點是四邊形的“等形點”．已知，，，連接，求的長；(3)在四邊形中，EH//FG．若邊上的點是四邊形的“等形點”，求的值．知識點、全等三角形的性質①全等三角形的對應邊相等；②全等三角形的對應角相等；要點詮釋：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后研究其它全等圖形的重要工具.全等變換：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。【變式1】（2022·重慶·校聯考一模）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使B與C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，設△ABC的面積為S，△CEF的面積為S1，△ADF的面積為S2，則的值為（）A． B． C． D．【變式2】（2021·遼寧沈陽·統考一模）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，使點B的對應點E恰好落在邊上，點A的對應點為D，延長交于點F，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學校考模擬預測）如圖，△ABC中，AB=5，AC=4，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、AC于D和E，再分別以點D、E為圓心，大于二分之一DE為半徑作弧，兩弧交于點F，連接AF并延長交BC于點G，GH⊥AC于H，GH=2，則△ABG的面積為________．【變式4】（2022·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三條對應邊BC、CE、EF在同一條直線上，連接BH，分別交AC、DC、DE于點P、Q、K，其中S△PQC＝1，則圖中三個陰影部分的面積和為___________．【變式5】（2022·廣東梅州·統考一模）如圖，在四邊形中，，，，點A，，依次在同一直線上．(1)求證：；(2)當，時，求的長．核心考點三全等三角形中的倍長中線模型例1（2021·浙江湖州·統考二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3例2（2021·河南周口·統考二模）如圖，在中，，，為邊的中點，若，則的長度為______．例3（2021·山東東營·統考中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”OC和OD的數量關系是________．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”OC和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”OC和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數量關系．延長三角形的中線，使得延長后的線段是原中線的兩倍，這樣做的目的是構造一對對頂角，相等的全等三角形能夠把已知的邊或角轉移到同一個三角形當中進行求解相關的邊或角相等。也就是說倍長中線的模型是當題目當中出現中線或中點時，可嘗試利用倍長中線法來構造全等三角形，證明線段間的數量關系。該類型經常會與中位線定理一起進行綜合使用，所以在做遇到中線的題型時，我們考慮的方向主要有被長中線定理以及三角形的中位線定理，看在實際的運用當中符合哪種類型再做選擇。【變式1】（2022·浙江·九年級自主招生）如圖，在中，，D是的中點，則的長是（

）A．3 B． C．5 D．前三個答案都不對【變式2】（2021秋·廣東惠州·八年級校考階段練習）如圖，中，AD為中線，，，，則AC長（

）A．2.5 B．2 C．1 D．1.5【變式3】（2022秋·山東濟寧·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E是AD上一點，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，則∠EBD的度數為__________________．【變式4】（2022·湖北荊州·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，E，F分別為，的中點，．若，，則的長為________．【變式5】（2023秋·浙江湖州·八年級統考期末）【問題情境】在數學課上，老師出示了這樣一個問題：已知，如圖1，中，若，，點D為邊中點，求邊上的中線的取值范圍．經過小組合作交流，找到了解決方法：“倍長中線法”．(1)請按照上面的思維框圖，完成證明．【探究應用】(2)已知：如圖2，中，是邊上的中線，E在邊上，連接交于F，且．求證：；【拓展延伸】(3)如圖3，若，，，是邊上的中線，E是上一點，連接交于點F，且，求的長．核心考點四全等三角形中的旋轉模型例1（四川遂寧·中考真題）已知如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分別是CD，BC上的一點，且∠EAF=45°，EC=1，將△ADE繞點A沿順時針方向旋轉90°后與△ABG重合，連接EF，過點B作BM∥AG，交AF于點M，則以下結論：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MEF=中正確的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④例2（2021·四川綿陽·統考中考真題）如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點逆時針方向旋轉后得，當點恰好落在線段上時，則______．例3（2021·內蒙古赤峰·統考中考真題）數學課上，有這樣一道探究題．如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，，點P為平面內不與點A、C重合的任意一點，將線段CP繞點P順時針旋轉a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點，設直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數與m、n、α的關系，請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：（1）填空：【問題發現】小明研究了時，如圖1，求出了___________，___________；小紅研究了時，如圖2，求出了___________，___________；【類比探究】他們又共同研究了α=120°時，如圖3，也求出了；【歸納總結】最后他們終于共同探究得出規律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式子表示)．（2）求出時的值和的度數．模型不共頂點旋轉模型【模型特征】此模型是通過將三角形繞對稱中心旋轉180°后，再進行平移而得到，注意運用線段的和差找出相等線段.共頂點旋轉模型(手拉手模型)【模型特征】此模型可看成是將兩個三角形（或正方形等圖形）繞著某一個公共頂點旋轉一定的角度所構成的.在旋轉過程中，兩個三角形無重疊或有重疊，運用角的和差得到等角.【變式1】（2022·山東日照·校考二模）如圖，O是正內一點，，，．將線段以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段，下列結論錯誤的是（

）A．點O與的距離為4 B．C．S四邊形AOBO′ D．【變式2】（2021·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉一定的角度得到，使得點恰好落在上，則線段的長為（

）A． B．5 C． D．【變式3】（2022·湖北黃岡·校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），點P的坐標是（0，3），把線段AP繞點P逆時針旋轉90°后得到線段PQ，則點Q的坐標是__________．【變式4】（2022·遼寧沈陽·統考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若點M是AB的中點，點D在直線CB上，將MD繞點M順時針旋轉90°得到MN，連接AN，則AN+MN的最小值為_____．【變式5】（·吉林長春·統考二模）如圖1，在等腰Rt中，，點D、E分別在邊、上，，連接，點M、P、N分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數量關系是______，位置關系是______；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內自由旋轉，若，，求面積的最大值．核心考點五全等三角形的綜合問題例1（2021·廣西河池·統考中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F分別在CD，AC上，，，則AF的長是（

）A． B． C． D．例2（2022·海南·統考中考真題）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．例3（2021·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）已知四邊形是正方形，點在邊的延長線上，連接交于點，過點作，垂足為點，的延長線交于點，交的延長線于點．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若，連接，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（除外），使寫出的每個三角形都與全等，隨著素質教育不斷深入，新課程標準的全面實施，關于三角形全等問題的中考題，已不在是課本上的封閉的單一的證明題型一統天下了，出現了許多新題型，這類題更能考查同學們的靈活運用知識的能力和創新精神及實踐能力；全等三角形的綜合問題主要靈活運用全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三角形的輔助線添加方法：倍長中線模型、旋轉模型、垂線模型等，再結合其他知識點綜合運用，尤其是近幾年常考的類比探究題型，要循序漸進、由簡入難，不斷深入探究才能解決問題.【變式1】（2023·重慶·校考模擬預測）如圖，正方形的邊長為，點、分別為邊、上的點，點分別為邊、上的點，線段與的夾角為則（）A． B． C． D．【變式2】（2022·重慶銅梁·銅梁中學校校考模擬預測）如圖，在正方形紙片中，點為正方形邊上的一點不與點，點重合，將正方形紙片折疊，使點落在點處，點落在點處，交于點，折痕為，連接、，交于點下列結論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結論的個數是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·內蒙古包頭·包鋼第三中學校考三模）在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點，若，四邊形的面積為40．則______．【變式4】（2023·遼寧鞍山·統考一模）如圖，在正方形中,點G為邊上的動點,點H為邊上的動點,且滿足,連接,分別交正方形的對角線于F，E兩點,則下列結論中正確的有___________．（填序號即可）．①

②

③

④【變式5】（2023·山東泰安·校考模擬預測）感知：數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應用：(1)如圖2，中，，直線經過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F為邊上的一點．若，求的值．【新題速遞】1．（2022·貴州·模擬預測）在中，用尺規作圖，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N．作直線交于點D，交于點E，連接．則下列結論不一定正確的是（）A． B． C． D．2．（2022·浙江溫州·統考模擬預測）如圖，直線上有三個正方形，，，若，的邊長分別為和，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．無法確定3．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預測）如圖，在中，，平分交AC于D，是的垂直平分線，若，則等于（）A． B． C． D．4．（2022·四川綿陽·校考模擬預測）如圖，是的中線，交的延長線于點，，，則的取值不可能是（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶璧山·統考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點逆時針旋轉至點，若，，則線段的長度為（

）A．2 B． C． D．6．（2022·新疆烏魯木齊·校考三模）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．77．（2022·山東濟南·統考一模）如圖，中，，，分別以點B、C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線，在射線上任取一點D，連接．若，則的長為（）A．10 B．11 C．12 D．68．（2022·廣東揭陽·校考二模）如圖，已知點，，是軸上位于點上方的一點，平分，平分，直線交于點．若反比例函數的圖象經過點，則的值是（）A． B． C． D．9．（2023·湖南衡陽·校考一模）如圖所示，點O在一塊直角三角板上（其中），于點M，于點N，若，則_______度．10．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預測）已知，，，直線l過直角頂點A，分別過點B、C向直線l作垂線，垂足分別為E、F，，，則______．11．（2020·山東德州·統考三模）如圖，在△ABE中，AE的垂直平分線MN交BE于點C，∠E＝30°，且AB＝CE，則∠BAE的度數為_____．12．（2022·貴州銅仁·模