期中培優測試（A卷）范圍：一元二次方程、二次函數、旋轉時間：100分鐘滿分：120分學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、單選題（共30分）1．（本題3分）一元二次方程配方后可變形為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．【詳解】解：∵x28x+1=0，∴x28x=1，∴x28x+16=15，∴（x4）2=15．故選A．【點睛】本題考查了解一元二次方程配方法，當二次項系數為1時，配一次項系數一半的平方是關鍵．2．（本題3分）如圖中的各車標圖案，是中心對稱圖形的共有（

）個．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據中心對稱圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，第1，4，5個圖形是中心對稱圖形，符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別．解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．3．（本題3分）將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據拋物線平移變化規律左加右減，上加下減求解即可．【詳解】解：拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為，即，故選：A．【點睛】本題考查了拋物線的平移，解題關鍵是明確平移變化規律左加右減自變量，上加下減常數項．4．（本題3分）如果代數式x2+4x+4的值是16，則x的值一定是（）A．2 B． C．2，6 D．30，34【答案】C【詳解】試題分析：由原題可列方程x2+4x+4=16，∴x2+4x12=0，∴（x2）（x+6）=0，∴x=2或x=6，故本題選C.考點：一元二次方程的解法5．（本題3分）如圖，在中，，將在平面內繞點A逆時針旋轉到的位置，使，則旋轉角的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩直線平行，內錯角相等可得，根據旋轉的性質可得，然后利用等腰三角形的性質求得，再根據是旋轉角即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵在平面內繞點A旋轉到，∴，∴，∴，∴旋轉角的度數為．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質、平行線的性質、等腰三角形的性質，求得的度數是解題的關鍵．6．（本題3分）某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是（

）A．20% B．25% C．50% D．62.5%【答案】C【詳解】設該店銷售額平均每月的增長率為x，則二月份銷售額為2（1+x）萬元，三月份銷售額為2（1+x）2萬元，由題意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合題意舍去），答即該店銷售額平均每月的增長率為50%；故選C．7．（本題3分）在同一坐標系中，一次函數與二次函數的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由直線與y軸的交點在y軸的負半軸上可知，與事實矛盾，不符合題意；B、由拋物線的開口向下可知與事實矛盾，不符合題意；C、由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，，由直線可知，，符合題意；D、由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，，由直線可知，，錯誤，故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數與二次函數圖象的綜合判斷，熟知一次函數、二次函數圖象與其系數的關系是解題的關鍵．8．（本題3分）定義表示不超過實數的最大整數，如，，．函數的圖象如圖所示，則方程的解為（）

A．0或 B．0或3 C．0或 D．或【答案】A【分析】根據題目給的新定義，結合函數圖象分段討論.【詳解】解：當時，，該方程無解；當，，該方程無解；當，，解得；當，，解得，.綜上，方程的解為或.故選：A.【點睛】本題結合了定義新運算與分段函數，理解題意，分段討論是解答關鍵.9．（本題3分）如圖，邊長為1的正方形繞點A逆時針旋轉45度后得到正方形，邊與交于點，則四邊形的周長是（）．A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由邊長為1的正方形繞點A順時針旋轉得到正方形，利用勾股定理的知識求出的長，再根據等腰直角三角形的性質，勾股定理可求，，從而可求四邊形的周長．【詳解】解：連接，∵旋轉角，，∴B在對角線上，∵，在中，，∴，在等腰中，，在中，，∴，∴四邊形的周長是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，掌握旋轉的性質，正方形的性質是解題的關鍵．10．（本題3分）已知二次函數的圖象經過點、，，圖象與y軸的負半軸相交，且交點在的上方，有下列結論：；；；其中正確結論的個數是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由時，得，而，解不等式即可得到，故錯誤；由圖象開口向上知，由與x軸的另一個交點坐標為，且，則該拋物線的對稱軸為，由可得，于是得到，所以正確；把代入得：，即因為，等量代換得到，故正確；由可知，根據，可得，利用不等式的性質得出，故正確．【詳解】解：如圖：由時，，得，，，，故錯誤；由圖象開口向上知，由與x軸的另一個交點坐標為，且，該拋物線的對稱軸為，由于，即，，所以，故正確；把代入得：，因為，當時，，，，即，故正確；由可知，．，，，，故正確；故選C．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，主要考查學生根據圖形進行推理和辨析的能力，用了數形結合思想，題目比較好，但是難度偏大．評卷人得分二、填空題（共15分）11．（本題3分）方程的解是．【答案】，【分析】先移項，使方程右邊為0，再提公因式，然后根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”進行求解．【詳解】解：原方程可化為：，因式分解得：，所以或，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法．12．（本題3分）點與點關于原點對稱，則的值為．【答案】【分析】關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．【詳解】解：由題意，得，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．13．（本題3分）關于的一元二次方程的一個根是0，則的值是．【答案】0【分析】將代入方程，結合一元二次方程的二次項的系數不為0，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴或，∵是一元二次方程，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程．熟練掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知數的值，是解題的關鍵．注意合一元二次方程的二次項的系數不為0．14．（本題3分）“水幕電影”的工作原理是把影像打在拋物線狀的水幕上，通過光學原理折射出圖象，水幕是由若干個水嘴噴出的水柱組成的（如圖），水柱的最高點為，，，水嘴高，則水柱落地點到水嘴所在墻的距離是．

【答案】6【分析】以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，易得點和點的坐標，設拋物線的解析式為：，代入點的坐標求得函數的解析式，再求出點的坐標即可得到的長度．【詳解】解：以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

則，，，∵點是最高點，∴設拋物線的解析式為：，將點坐標代入，可得：，解得：，∴，令，解得：，，∴點，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，建立適當的坐標系，設出頂點式是解題的關鍵．15．（本題3分）已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一拋物線y＝(x+1)2向下平移m個單位(m＞0)與正方形ABCD的邊(包括四個頂點)有交點，則m的取值范圍是．【答案】2≤m≤8【詳解】設平移后的解析式為y=y=（x+1）2﹣m，將B點坐標代入，得4﹣m=2，解得m=2，將D點坐標代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的取值范圍是2≤m≤8.點睛：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用了矩形性質和二次函數圖象上點的坐標特征，平移的性質的應用，把B，D的坐標代入是解題關鍵．評卷人得分三、解答題（共75分）16．（本題8分）用適當的方法解方程：(1)，(2)，【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據公式法解一元二次方程，即可求解；（2）根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，．（2）解：，∴，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．17．（本題8分）在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．線段DE的端點坐標是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)試說明如何平移線段AC，使其與線段ED重合；(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉，使AC的對應邊為DE，請直接寫出點B的對應點F的坐標；(3)畫出(2)中的△DEF，并和△ABC同時繞坐標原點O逆時針旋轉90°.畫出旋轉后的圖形．

【答案】（1）將線段AC先向右平移6個單位；（2）F（－1,－1）.【詳解】試題分析：（1）將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位即可得出符合要求的答案；（2）根據A，C對應點的坐標特點，即可得出F點的坐標；（3）分別將D，E，F，A，B，C繞坐標原點O逆時針旋轉90°，畫出圖象即可．試題解析：（1）將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位．（其它平移方式也可以）；（2）根據A，C對應點的坐標即可得出F（﹣l，﹣1）；（3）畫出如圖所示的正確圖形．

考點：1.作圖旋轉變換；2.作圖平移變換．18．（本題8分）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍，(2)如果該方程的兩個實數根為，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據一元二次方程的判別式進行求解即可；（2）根據根與系數的關系得到，再由得到關于m的方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，∴；（2）解：∵該方程的兩個實數根為，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，若是該方程的兩個實數根，則．19．（本題9分）如圖，有長為34米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為22米）圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，園主在花圃的前端各設計了兩個寬1米的小門，設花圃的寬為x米．(1)若圍成的花圃面積為96平方米，求此時的寬；(2)能圍成面積為120平方米的花圃嗎？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)寬為8米(2)不能圍成面積為120平方米的花圃【分析】（1）由籬笆的總長度可得出花圃的長為米，根據花圃面積為96平方米，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合墻的最大可用長度為22米，即可得出結論；（2）不能圍成面積為120平方米的花圃，根據花圃面積為120平方米，即可得出關于的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程無實數根，即不能圍成面積為120平方米的花圃．【詳解】（1）花圃的寬為米，花圃的長為米．依題意得：，解得：，．當時，，不合題意，舍去；當時，，符合題意．答：此時寬為8米；（2）不能圍成面積為120平方米的花圃，理由如下：依題意得：，整理得：，，該方程無實數根，即不能圍成面積為120平方米的花圃．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當時，方程無實數根”．20．（本題10分）九年級數學興趣小組經過市場調查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表：售價（元/件）100110120130…月銷量（件）200180160140…已知該運動服的進價為每件60元，設售價為元．（1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是元；②月銷量是件；（直接寫出結果）（2）設銷售該運動服的月利潤為元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】（1）（x60）；﹣2x+400；（2）售價為130元時，當月的利潤最大，最大利潤是9800元．【分析】（1）根據利潤=售價進價求出利潤，運用待定系數法求出月銷量；（2）根據月利潤=每件的利潤×月銷量列出函數關系式，根據二次函數的性質求出最大利潤．【詳解】解：（1）①銷售該運動服每件的利潤是（x﹣60）元；故答案為：（x60）；②設月銷量W與x的關系式為W=kx+b，由題意得，，解得，，∴W=﹣2x+400；故答案為：（﹣2x+400）；（2）由題意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售價為130元時，當月的利潤最大，最大利潤是9800元．21．（本題10分）如圖二次函數的圖象與軸交于點A(－3，0)，B(1，0)兩點，與軸交于點C(0，3)，點C，D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象經過B，D(1)求二次函數的解析式；(2)寫出使一次函數值大于二次函數值的的取值范圍；(3)若直線與軸的交點為點，連結，，求的面積【答案】(1)(2)或(3)4【分析】（1）根據題意可以設出二次函數解析式，根據函數過點A、B、C，即可解答本題；（2）根據題意可以求得點D的坐標，再根據函數圖象即可解答本題；（3）根據題意作出輔助線，即可求得△ADE的面積．【詳解】（1）∵二次函數過，∴解得所以解析式為：（2）∴該函數的對稱軸是直線x=1，∵點C（0，3），點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，∴點D（2，3），∴一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍是x＜2或x＞1（3）連結AE，設直線BD：y＝mx＋n，代入B（1，0），D（?2，3）得，解得：，故直線BD的解析式為：y＝?x＋1把x＝0代入y＝?x＋1得，y=1，所以E（0，1），∴OE＝1，又∵AB＝4

【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質解答．22．（本題10分）請閱讀下列材料：

問題：如圖1，在等邊三角形內有一點P，且，，，求度數的大小和等邊三角形的邊長．李明同學的思路是：將繞點B逆時針旋轉，畫出旋轉后的圖形（如圖2），連接，可得是等邊三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而，進而求出等邊的邊長為，問題得到解決．請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：問題：如圖3，在正方形內有一點P，且，，．求(1)度數的大?。?2)正方形的邊長．【答案】(1)(2)【分析】（1）將繞點B逆時針旋轉，得到，連接，根據旋轉的性質，易證是等腰直角三角形，進而得到，，再利用勾股定理的逆定理，證得是直角三角形，得到，進而得到，即可求出度數；（2）過點B作交的延長線于點E，易證是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，進而得到，再利用勾股定理，求出，即可得到正方形的邊長．【詳解】（1）解：將繞點B逆時針旋轉，得到，連接由旋轉的性質可知，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，是直角三角形，，，；

（2）解：過點B作交的延長線于點E，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理得：，，,在中，，正方形的邊長為．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理及其逆定理等知識，利用旋轉的性質作輔助線是解題關鍵．23．（本題12分）在平面直角坐標系中，O為原點，直線與y軸交于點A，與直線交