廣東省肇慶市高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.7.1定積分在幾何中的應用教學設計理新人教A版選修2-2主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：定積分在幾何中的應用

2.教學年級和班級：廣東省肇慶市高中二年級理科班

3.授課時間：第1學期第14周，星期三第2節(jié)

4.教學時數(shù)：45分鐘

課程設計：

【教學目標】

1.理解定積分的定義及其在幾何中的應用。

2.學會使用定積分求解平面圖形的面積。

3.培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

【教學內(nèi)容】

1.定積分的基本概念復習

-引導學生回顧定積分的定義及性質(zhì)。

2.定積分在幾何中的應用

-利用定積分求解曲邊梯形的面積。

-利用定積分求解旋轉體的體積。

3.例題講解

-求解實際問題中的面積和體積問題，如不規(guī)則圖形的面積等。

4.課堂練習

-讓學生獨立完成一些有關定積分在幾何應用方面的練習題。

5.知識拓展

-引導學生思考定積分在其他領域（如物理學、經(jīng)濟學）的應用。

【教學方法】

1.講授法：講解定積分的基本概念及其在幾何中的應用。

2.案例分析法：通過具體的例題，引導學生掌握定積分在實際問題中的應用。

3.互動討論法：課堂練習過程中，鼓勵學生進行討論，互相交流解題思路。

【教學評估】

1.課堂練習完成情況。

2.學生對定積分在幾何應用中的理解程度。

3.學生在課堂上的參與度和互動情況。

【課后作業(yè)】

1.完成課本習題1.7.1中第1、2、3題。

2.思考題：定積分在生活中的其他應用場景。教學目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，特別是數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)。通過定積分在幾何中的應用的學習，學生能夠：

1.數(shù)學抽象：理解定積分的概念，將其應用于幾何圖形的面積和體積計算，從而提高從具體問題中抽象出數(shù)學模型的能力。

2.邏輯推理：通過分析曲邊圖形和旋轉體體積的計算過程，培養(yǎng)學生邏輯推理和論證能力，使學生能夠運用嚴密的數(shù)學語言和符號表達幾何問題的解決方案。

3.數(shù)學建模：學會構建數(shù)學模型來解決實際問題，特別是在幾何領域中的應用，使學生能夠?qū)?shù)學知識與現(xiàn)實世界的問題聯(lián)系起來，形成數(shù)學與現(xiàn)實世界相互作用的意識。

4.數(shù)據(jù)分析：通過對實際問題的探討，學生能夠運用定積分方法處理數(shù)據(jù)，估算不規(guī)則圖形的面積，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與處理的能力。

5.數(shù)學應用：拓展學生對定積分應用的認識，不僅僅局限于幾何領域，還包括物理、經(jīng)濟等其他領域，激發(fā)學生探索數(shù)學在跨學科中的應用興趣。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了相關知識：學生在前面的學習中，已經(jīng)對導數(shù)及其應用有了一定的理解，特別是在計算函數(shù)在某一點的導數(shù)及其幾何意義方面。此外，學生也已經(jīng)學習了定積分的基本概念，包括定積分的定義、性質(zhì)以及基本的計算方法。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：高中二年級的學生通常對數(shù)學的應用性有較高的興趣，他們喜歡通過具體的例子來理解抽象的數(shù)學概念。學生在邏輯推理和數(shù)學計算方面具有一定的能力，但個別學生在將理論應用到具體問題解決時可能存在困難。學生的學習風格多樣，有的擅長視覺學習，有的則更喜歡通過實際操作來加深理解。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在定積分的幾何應用方面，學生可能會在以下幾個方面遇到困難：（1）將實際問題轉化為數(shù)學模型的能力不足，特別是在圖形不規(guī)則或邊界條件復雜時；（2）對于定積分公式的選擇和運用不夠熟練，可能會導致計算錯誤；（3）在解決實際問題時，可能會忽略對問題的全面分析，導致解題思路不完整；（4）對于定積分在物理、經(jīng)濟等跨學科領域的應用感到困惑，需要更多的引導和實際例子的支撐。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：

-確保每位學生都準備了新人教A版選修2-2的教材，特別是第一章“導數(shù)及其應用”的1.7.1節(jié)“定積分在幾何中的應用”部分。

-教師應提前備課，熟悉教材內(nèi)容，準備相關的教學講義，以便學生能夠在課堂學習中及時鞏固知識點。

2.輔助材料：

-準備與定積分在幾何應用相關的圖片和圖表，例如曲邊梯形、旋轉體等幾何圖形的示意圖，以幫助學生直觀理解抽象的數(shù)學概念。

-制作或收集一些與定積分相關的動畫或視頻資源，如定積分在幾何圖形面積計算中的應用過程動畫，以便在課堂上展示，增強學生的學習興趣和理解力。

-準備一些實際問題的案例，如計算不規(guī)則土地的面積、不規(guī)則物體體積等，以便學生通過具體的實例學習如何將定積分應用于解決實際問題。

3.實驗器材：

-雖然本節(jié)課不涉及物理實驗，但如果條件允許，可以準備一些幾何模型或教具，如梯形、圓形等，讓學生通過實際操作來驗證定積分在幾何中的應用。

-確保教具的完整性和安全性，以便學生在課堂互動中使用。

4.教室布置：

-根據(jù)教學需要，將教室布置成便于小組討論的形式。將學生分為幾個小組，每組配有一張桌子，以便進行小組討論和合作學習。

-在教室前部或側部設置一個演示區(qū)域，用于教師展示多媒體資源或進行實物演示。

-如果教室空間允許，可以設置一個實驗操作臺，供學生進行幾何模型的觀察和測量。

-確保教室內(nèi)的投影儀、計算機和其他多媒體設備正常工作，以便在課堂上順利展示輔助教學材料。

5.其他資源：

-準備一些額外的練習題和思考題，以便學生在課堂上進行即時練習，鞏固所學知識。

-準備一些評估工具，如課堂練習評分標準，以便對學生的學習成果進行有效評估。教學流程【課前準備】（5分鐘）

1.教師提前布置預習任務，要求學生復習定積分的基本概念及其性質(zhì)，并預習教材中關于定積分在幾何中的應用部分。

2.準備教學資源和課堂活動材料，如多媒體課件、幾何模型、小組討論題目等。

【課中教學】（40分鐘）

1.導入新課（5分鐘）

-教師通過一個簡單的實際問題，如計算一塊不規(guī)則形狀土地的面積，引出本節(jié)課的主題——定積分在幾何中的應用。

-學生分享預習中的發(fā)現(xiàn)和疑問，教師進行簡要點評，激發(fā)學生的學習興趣。

2.知識回顧（5分鐘）

-教師引導學生回顧定積分的定義、性質(zhì)和基本計算方法。

-通過提問方式檢查學生對定積分知識點的掌握情況。

3.新知講解（10分鐘）

-教師利用多媒體課件和實物模型，講解定積分在幾何中的應用，特別是求解曲邊梯形和旋轉體的面積和體積。

-以例題形式，詳細講解求解過程，強調(diào)定積分在實際問題中的建模方法。

4.小組討論與互動（10分鐘）

-學生分組討論，共同完成幾個與定積分在幾何應用相關的題目。

-教師巡回指導，解答學生疑問，引導學生掌握解題思路和技巧。

5.課堂練習（10分鐘）

-學生獨立完成教師提供的課堂練習題，鞏固所學知識。

-教師對學生的完成情況進行評價，及時給予反饋。

6.知識拓展（5分鐘）

-教師簡要介紹定積分在物理、經(jīng)濟等其他領域的應用，激發(fā)學生的探究興趣。

-學生分享自己對定積分應用的理解和想法。

【課后鞏固】（10分鐘）

1.課后作業(yè)（5分鐘）

-教師布置課后作業(yè)，要求學生完成課本習題1.7.1中第1、2、3題，鞏固定積分在幾何中的應用。

-布置思考題，讓學生思考定積分在生活中的其他應用場景。

2.反思與總結（5分鐘）

-學生總結本節(jié)課所學內(nèi)容，反思自己在學習過程中的收獲和不足。

-教師總結課堂教學，強調(diào)重難點，提醒學生注意課后復習。

【用時總計】45分鐘

本節(jié)課的重難點：

1.定積分在幾何中的應用，特別是求解曲邊梯形和旋轉體的面積和體積。

2.將實際問題轉化為數(shù)學模型的能力，運用定積分進行求解。

3.對定積分在跨學科領域中的應用有所了解。知識點梳理1.定積分的定義與性質(zhì)

-定積分的概念：定積分是求解函數(shù)在區(qū)間[a,b]上與x軸之間圖形面積的一種方法。

-定積分的性質(zhì)：線性性、保號性、可加性、絕對可積性等。

2.定積分的計算方法

-定積分的基本計算公式：牛頓-萊布尼茨公式。

-定積分的換元積分法：求解復合函數(shù)的定積分。

-定積分的分部積分法：求解乘積型函數(shù)的定積分。

3.定積分在幾何中的應用

-求解曲邊梯形的面積：將曲邊梯形分割成小梯形，利用定積分求解。

-求解旋轉體的體積：利用定積分求解由曲線旋轉形成的立體體積。

-不規(guī)則圖形的面積計算：將不規(guī)則圖形分割成若干個簡單圖形，運用定積分求解。

4.定積分在物理、經(jīng)濟等領域的應用

-物理中的應用：求解物體運動過程中的位移、速度、加速度等。

-經(jīng)濟中的應用：求解消費者剩余、生產(chǎn)者剩余等經(jīng)濟指標。

5.定積分的近似計算

-梯形法則：利用梯形面積公式對定積分進行近似計算。

-辛普森法則：利用二次曲線擬合曲線，對定積分進行近似計算。

6.定積分的誤差估計

-誤差估計：利用定積分的性質(zhì)和近似計算方法，估計積分誤差。

7.定積分與微積分基本定理的關系

-定積分與導數(shù)的關系：定積分是導數(shù)的逆運算。

-微積分基本定理：定積分與原函數(shù)的導數(shù)之間存在關系。典型例題講解例題1：計算由曲線y=x^2在區(qū)間[0,1]上旋轉形成的立體體積。

解答：

V=∫(0to1)π(x^2)^2dx

=π∫(0to1)x^4dx

=π[(1/5)x^5]from0to1

=π(1/5)

=π/5

例題2：計算由直線y=2x+1、x軸和直線x=1所圍成的曲邊梯形的面積。

解答：

S=∫(0to1)(2x+1)dx

=[(x^2)+x]from0to1

=(1+1)-(0+0)

=2

例題3：計算由曲線y=√x在區(qū)間[1,4]上旋轉形成的立體體積。

解答：

V=∫(1to4)π(√x)^2dx

=π∫(1to4)xdx

=π[(1/2)x^2]from1to4

=π(8-1/2)

=7π/2

例題4：計算由曲線y=e^x在區(qū)間[0,ln2]上旋轉形成的立體體積。

解答：

V=∫(0toln2)π(e^x)^2dx

=π∫(0toln2)e^(2x)dx

=π[e^(2x)/2]from0toln2

=π(e^2-1/2)

例題5：計算由雙曲線y=1/x在區(qū)間[1,2]上旋轉形成的立體體積。

解答：

V=∫(1to2)π(1/x)^2dx

=π∫(1to2)1/x^2dx

=π[-(1/x)]from1to2

=π(1-1/2)

=π/2

補充說明：

1.例題1展示了如何計算由曲線旋轉形成的立體體積，關鍵在于找到旋轉體的半徑函數(shù)。

2.例題2是計算曲邊梯形面積的基本題型，關鍵在于確定被積函數(shù)和積分區(qū)間。

3.例題3、例題4和例題5分別展示了不同曲線旋轉形成立體體積的計算方法，需要注意積分公式的選擇和運用。

4.在解答過程中，注意積分上下限的代入，以及積分結果的計算。

5.這些例題可以幫助學生掌握定積分在幾何中的應用，特別是旋轉體體積的計算方法。課堂小結，當堂檢測一、課堂小結

1.定積分在幾何中的應用

-求解曲邊梯形和旋轉體的面積和體積。

-將實際問題轉化為數(shù)學模型，運用定積分求解。

2.定積分的性質(zhì)和計算方法

-定積分的定義和性質(zhì)，如線性性、保號性、可加性等。

-定積分的基本計算公式，如牛頓-萊布尼茨公式。

-定積分的換元積分法和分部積分法。

3.定積分在實際問題中的應用

-在物理、經(jīng)濟等領域的應用，如計算位移、速度、加速度等。

-不規(guī)則圖形的面積計算，如土地面積、物體體積等。

二、當堂檢測

1.定積分在幾何中的應用

-計算由曲線y=x^2在區(qū)間[0,1]上旋轉形成的立體體積。

-計算由直線y=2x+1、x軸和直線x=1所圍成的曲邊梯形的面積。

-計算由曲線y=√x在區(qū)間[1,4]上旋轉形成的立體體積。

-計算由曲線y=e^x在區(qū)間[0,ln2]上旋轉形成的立體體積。

-計算由雙曲線y=1/x在區(qū)間[1,2]上旋轉形成的立體體積。

2.定積分的性質(zhì)和計算方法

-計算定積分∫(0to1)x^2dx。

-計算定積分∫(1toe)lnxdx。

-計算定積分∫(0toπ/2)cosxdx。

3.定積分在實際問題中的應用

-計算不規(guī)則圖形的面積，如一個半圓和一個矩形的組合圖形。

-計算不規(guī)則物體的體積，如一個圓柱和一個圓錐的組合體。教學反思與改進在進行本節(jié)課的教學后，我進行了以下反思活動，以便評估教學效果并識別需要改進的地方。

首先，我觀察了學生的學習情況和課堂參與度。我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生能夠積極參與課堂討論和練習，但有些學生在將定積分應用于實際問題解決時遇到了困難。這可能是因為他們對定積分的概念和應用方法理解不夠深入。因此，我計劃在未來的教學中加強對定積分基本概念和性質(zhì)的講解，并提供更多的實際例子來幫助學生更好地理解。

其次，我收集了學生的課堂練習和作業(yè)，以評估他們對定積分在幾何應用中的掌握程度。我發(fā)現(xiàn)一些學生在解題過程中出現(xiàn)了錯誤，特別是在選擇和運用定積分公式時。這可能是因為他們對定積分的計算方法不夠熟練。因此，我計劃在未來的教學中加強定積分的計算練習，并提供更多的例題和練習題來幫助學生鞏固計算技巧。

此外，我還與學生進行了個別交流和小組討論，以了解他們對本節(jié)課內(nèi)容的理解和感受。一些學生表示對定積分在跨學科領域的