學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共8頁2025屆北京市昌平區名校數學九上開學統考試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）下列函數中，自變量x的取值范圍是x≥3的是（）A． B． C． D．2、（4分）已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，則ab2+a2b的值為（）A．10 B．20 C．40 D．803、（4分）如圖，下圖是汽車行駛速度（千米/時）和時間（分）的關系圖，下列說法其中正確的個數為（）（1）汽車行駛時間為40分鐘；（2）AB表示汽車勻速行駛；（3）在第30分鐘時，汽車的速度是90千米/時；（4）第40分鐘時，汽車停下來了.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4、（4分）自駕游是當今社會一種重要的旅游方式，五一放假期間小明一家人自駕去靈山游玩，下圖描述了小明爸爸駕駛的汽車在一段時間內路程s（千米）與時間t（小時）的函數關系，下列說法中正確的是（）A．汽車在0～1小時的速度是60千米/時B．汽車在2～3小時的速度比0～0.5小時的速度快C．汽車從0.5小時到1.5小時的速度是80千米/時D．汽車行駛的平均速度為60千米/時5、（4分）爺爺在離家900米的公園鍛煉后回家，離開公園20分鐘后，爺爺停下來與朋友聊天10分鐘，接著又走了15分鐘回到家中．下面圖形中表示爺爺離家的距離y（米）與爺爺離開公園的時間x（分）之間的函數關系是（）A． B．C． D．6、（4分）下列根式中是最簡二次根式的是A． B． C． D．7、（4分）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當時，它是菱形 B．當時，它是菱形C．當時，它是矩形 D．當時，它是正方形8、（4分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，現將矩形ABCD折疊使點C與點A重合，則折痕EF的長是（）A．25 B．5 C．23二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，AB＝5，點E是邊AB上的動點（不與A，B點重合），連接DE，過點D作DF⊥DE交AC于點F，連接EF，點H在線段AD上，且DH＝AD，連接EH，HF，記圖中陰影部分的面積為S1，△EHF的面積記為S2，則S1＝_____，S2的取值范圍是_____．10、（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，則△BDE的周長等于_.11、（4分）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是_____．12、（4分）如圖，在等邊三角形ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上的一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，則AP的長是________．13、（4分）關于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有實根，則m的最大整數解是__．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作.交于點，以、為鄰邊作矩形，連接.（1）求證：矩形是正方形；（2）探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.15、（8分）如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，∠OBC＝∠OCB．（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；（2）請添加一個條件使矩形ABCD為正方形．16、（8分）已知,利用因式分解求的值．17、（10分）一分鐘投籃測試規定，得6分以上為合格，得9分以上為優秀，甲、乙兩組同學的一次測試成績如下：成績（分）456789甲組（人）125214乙組（人）114522（1）請你根據上述統計數據，把下面的圖和表補充完整；一分鐘投籃成績統計分析表：統計量平均分方差中位數合格率優秀率甲組2.56680.0%26.7%乙組6.81.7686.7%13.3%（2）下面是小明和小聰的一段對話，請你根據（1）中的表，寫出兩條支持小聰的觀點的理由．18、（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為_____.20、（4分）一次函數與軸的交點坐標為__________．21、（4分）如圖，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，將△ABC繞著點A逆時針旋轉，得到△AMN，使得點B落在BC邊上的點M處，過點N的直線l∥BC，則∠1＝______．22、（4分）對于任意非零實數a，b，定義“☆”運算為：a☆b＝，若（x+1）☆x+（x+2）☆（x+1）+（x+3）☆（x+2）+…+（x+2018）☆（x+2017）＝，則x＝_____．23、（4分）隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數關系．當x=36（kPa）時，y=108（g/m3），請寫出y與x的函數關系式．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，在中，的角平分線交于點，交的延長線于點，連接.(1)請判斷的形狀，并說明理由；(2)已知，，求的面積.25、（10分）在平面直角坐標系中，原點為O，已知一次函數的圖象過點A（0，5），點B（-1，4）和點P（m，n）．（1）求這個一次函數的解析式；（2）當n=2時，求直線

AB，直線

OP與

x軸圍成的圖形的面積；（3）當的面積等于的面積的2倍時，求n的值．26、（12分）如圖，在中，點，是直線上的兩點，，連結，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，，，四邊形是矩形，求的長．

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、D【解析】求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件，根據二次根式被開方數必須是非負數和分式分母不為0的條件，要使各函數在實數范圍內有意義，必須：A、分式有意義，x﹣1≠0，解得：x≠1；B、二次根式和分式有意義，x﹣1＞0，解得x＞1；C、函數式為整式，x是任意實數；D、二次根式有意義，x﹣1≥0，解得x≥1．故選D．2、B【解析】

直接利用矩形周長和面積公式得出ab，a+b，進而利用提取公因式法分解因式得出答案.【詳解】解：由邊長分別為a、b的長方形的周長為10，面積4，.則2（a+b）=10，ab=4，則a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故選：B.本題主要考查了提取公因式法以及矩形的性質應用，正確分解因式是解題關鍵.3、C【解析】

仔細分析圖象特征，根據橫軸和縱軸的意義依次分析各小題即可作出判斷.【詳解】解：由圖可得，在x=40時，速度為0，故（1）（4）正確；AB段，y的值相等，故速度不變，故（2）正確；x=30時，y=80，即在第30分鐘時，汽車的速度是80千米/時；故（3）錯誤；故選C．本題考查實際問題的函數圖象.實際問題的函數圖象是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.4、C【解析】由圖像可得：0到0.5小時行駛路程為30千米，所以速度為60km/h;0.5到1.5小時行駛路程為90千米，所以速度為80km/h；之后休息了0.5小時；2到3小時行駛路程為40千米，所以速度為40km/h；路程為150千米，用時3小時，所以平均速度為50km/h;故A、B、D選項是錯誤的，C選項正確.故選C.5、B【解析】

由題意，爺爺在公園回家，則當時，；從公園回家一共用了45分鐘，則當時，；【詳解】解：由題意，爺爺在公園回家，則當時，；從公園回家一共用了分鐘，則當時，；結合選項可知答案B．故選：B．本題考查函數圖象；能夠從題中獲取信息，分析運動時間與距離之間的關系是解題的關鍵．6、B【解析】

A．=，故此選項錯誤；B．是最簡二次根式，故此選項正確；C．=3，故此選項錯誤；D．=，故此選項錯誤；故選B．考點：最簡二次根式．7、D【解析】

根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷；根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行判斷；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判斷；根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行判斷．【詳解】A、根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當AB=BC時，它是菱形，故A選項正確；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項正確；C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；D、根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD時，它是矩形，不是菱形，故D選項錯誤；綜上所述，符合題意是D選項；故選D．此題主要考查學生對正方形的判定、平行四邊形的性質、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，學生答題時容易出錯．8、A【解析】

設BE=x，表示出CE=8-x，根據翻折的性質可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據翻折的性質可得∠AEF=∠CEF，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根據等角對等邊可得AE=AF，過點E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，根據矩形的性質求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】設BE=x，則CE=BC-BE=8-x，∵沿EF翻折后點C與點A重合，∴AE=CE=8-x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即42+x2=（8-x）2解得x=3，∴AE=8-3=5，由翻折的性質得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，過點E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF-AH=5-3=2，在Rt△EFH中，EF=42+2故選A．本題考查了翻折變換的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，熟記各性質并作利用勾股定理列方程求出BE的長度是解題的關鍵，也是本題的突破口．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、【解析】

作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，根據題意可證△ADF≌△BDE，可得△DFE是等腰直角三角形．可證△BME≌△ANF，可得NF=BM．所以S1=HD×BD，

代入可求S1．由點E是邊AB上的動點（不與A，B點重合），可得DE垂直AB時DE最小，即,且S2=S△DEF-S1，代入可求S2的取值范圍【詳解】作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，∵EM⊥BD，AD⊥BC∴EM∥AD∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，AB＝5∴∠B＝∠C＝45°＝∠BAD＝∠DAC，BD＝CD＝AD＝∵DF⊥DE∴∠ADF+∠ADE＝90°且∠ADE+∠BDE＝90°∴∠ADF＝∠BDE且AD＝BD，∠B＝∠DAF＝45°∴△ADF≌△BDE，∴AF＝BE，DE＝DF∴△DEF是等腰直角三角形，∵AF＝BE，∠B＝∠DAF＝45°，∠EMB＝∠ANF＝90°∴△BME≌△ANF∴NF＝BM∵∵點E是邊AB上的動點∴∵∴本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，關鍵是證△DEF是等腰直角三角形．10、1【解析】

由題中條件可得Rt△ACD≌Rt△AED，進而得出AC=AE，然后把△BDE的邊長通過等量轉化即可得出結論．【詳解】解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于點C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．又∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周長為：DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=1．故答案為：1.本題主要考查了角平分線的性質以及全等三角形的判定及性質，能夠掌握并熟練運用．11、【解析】

根據菱形的性質得出BO、CO的長，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面積等于對角線乘積的一半，也等于BC×AE，可得出AE的長度【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，∴BC＝＝5cm，∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，∵S菱形ABCD＝BC×AE，∴BC×AE＝24，∴AE＝cm．故答案為：cm．此題考查了菱形的性質，也涉及了勾股定理，要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方法，及菱形的對角線互相垂直且平分．12、6【解析】

由題意得，∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD，在△AOP與△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO=AC﹣AO=9﹣3=6.故答案為6.13、m=1．【解析】分析：若一元二次方程有實根，則根的判別式△=b2﹣1ac≥2，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項系數不為2．詳解：∵關于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=2有實根，∴△=1﹣8（m﹣5）≥2，且m﹣5≠2，解得m≤5.5，且m≠5，則m的最大整數解是m=1．故答案為m=1．點睛：考查了根的判別式，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞2，方程有兩個不相等的實數根；（2）△=2，方程有兩個相等的實數根；（3）△＜2方程沒有實數根．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）見解析（2）是定值，8【解析】

（1）過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，即可得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE=EF即可；

（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=8即可．【詳解】（1）如圖所示，過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，

∵正方形ABCD，

∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，

∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，

∴四邊形EMCN為正方形，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，

∴∠DEN=∠MEF，

又∠DNE=∠FME=90°，

在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴ED=EF，

∴矩形DEFG為正方形，

（2）CE+CG的值為定值，理由如下：

∵矩形DEFG為正方形，

∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDG，

在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE=CG，

∴AC=AE+CE=AB=×4=8，

∴CE+CG=8是定值．此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的性質與判定，三角形的全等的性質和判定，勾股定理的綜合運用，解本題的關鍵是作出輔助線，構造三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等得出結論．15、（1）證明見解析；（2）AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，根據等角對等邊可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明；（2）根據正方形的判定方法添加即可．試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形．或：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形．16、75.【解析】

原式分解因式后，將已知等式代入計算即可求出值．【詳解】原式此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．17、(1)見解析；（2）乙組成績好于甲組，理由見解析【解析】

（1）根據測試成績表求出乙組成績為1分和9分的人數，補全統計圖，再根據平均數的計算方法和中位數的定義求出平均數和中位數，即可補全分析表；（2）根據平均分、方差、中位數、合格率的意義即可寫出支持小聰的觀點的理由．【詳解】（1）根據測試成績表即可補全統計圖（如圖）：補全分析表：甲組平均分（4×1+5×2+6×5+1×2+8×1+9×4）÷15＝6.8，乙組中位數是第8個數，是1．統計量平均分方差中位數合格率優秀率甲組6.82.56680.0%26.1%乙組6.81.16186.1%13.3%（2）甲乙兩組平均數一樣，乙組的方差低于甲組，說明乙組成績比甲組穩定，又乙組合格率比甲組高，所以乙組成績好于甲組．此題考查頻數（率）分布直方圖，方差，中位數，加權平均數，解題關鍵在于掌握中位數和方差的運算公式.18、（1）見解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.【解析】

（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明；（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值；（3）△DEF為直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°兩種情況討論.【詳解】解：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=AC=×60=30cm，∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；（2）能，∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴當t=10時，AEFD是菱形；（3）若△DEF為直角三角形，有兩種情況：①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=，②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，則AE=2AD，即，解得：t=12，綜上所述，當t=或12時，△DEF為直角三角形.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、10【解析】

易求AB=10，則CE=1．設CD=x，則ED=DB=6-x．根據勾股定理求解．【詳解】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10.根據題意，AE=AB=10，ED=BD.∴CE=1.設CD=x，則ED=6?x.根據勾股定理得x1+11=(6?x)1,解得x=83.即CD長為8BD=6-83=本題考查的知識點是翻折變換（折疊問題），解題的關鍵是熟練的掌握翻折變換（折疊問題）.20、【解析】

令y=0,即可求出交點坐標.【詳解】令y=0，得x=1,故一次函數與x軸的交點為故填此題主要考查一次函數的圖像，解題的關鍵是熟知一次函數的性質.21、30°【解析】試題分析：根據旋轉圖形的性質可得：AB=AM，∠AMN=∠B=60°，∠ANM=∠C=30°，根據∠B=60°可得：△ABM為等邊三角形，則∠NMC=60°，根據平行線的性質可得：∠1+∠ANM=∠NMC=60°，則∠1=60°-30°=30°．22、﹣1【解析】

已知等式左邊利用題中的新定義化簡，再利用拆項法變形，整理后即可求出解．【詳解】解：已知等式利用題中的新定義化簡得：+…+＝，整理得：（）＝，合并得：（）＝，即＝0，去分母得：x+2018+x＝0，解得：x＝﹣1，經檢驗x＝﹣1是分式方程的解，則x＝﹣1．故答案為：﹣1．本題考查了分式的混合運算，屬于新定義題型，將所求的式子變形之后利用進行拆項是解題的關鍵．23、y=3x．【解析】試題分析：設y=kx，然后根據題意列出關系式．依題意有：x=36（kPa）時，y=108（g/m3），∴k=3，故函數關系式為y=3x．考點：根據實際問題列一次函數關系式．二