2023-2024學年第一學期高二（理科）

數學期末考試卷

一、選擇題（本大題共11小題，每題3分，共33分）

1、與向量。=（1,-3,2）平行的一個向量的坐標是（）

A.(一，191)B.(—1,—3,2)

3

C.D.(V2,-3>—2V2)

2rr

2、設命題p：方程f+3x-l=O的兩根符號不同；命題〃：方程Y+3x7=0的兩根之

和為3,推斷命題一、"4pyq"為假命題的個數為（）

A.0B.IC.2D.3

2,2

、是

3"a>b>0”“ab〈匕—"的（)

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

4、橢圓---卜=1的焦距為2,那么m的值等于).

m4

A.5B.8C.5或3D.5或8

5、空間四邊形OABC中，04=qQB="OC=c,點M在OA上，且OM=2MA,N

為BC中點，那么MN=（)

1■*2T]-2-1r]-

A.—a——b+—cB.ciH—bH—c

232322

[-1T1一2-2-1-

C.—a+—b——cD.—a+—b——c

222332

6、拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,那么點M的縱坐標為（）

17157

A.—B.—C.一D.0

16168

7、對稱軸為坐標軸的雙曲線有一條漸近線平行于直線x+2y—3=0,那么該雙曲線的離心

率為(）

5B.石或手c.G或走-

423

8、假設不等式|x—成立的充分條件是0<x<4,那么實數。的取值范圍是（)

A.a<\B.a<3C.a>]D.a>3

9、tz=(1—f,l—t,t),b—(2,f),那么|a—的最小值為()

V?,V55c3加11

AA.-----B.C.D.—

5555

10、動點P(x、y)滿意10j(x-l)2+(y-2)2=|3x+4y+2],那么動點P的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.無法確定

x~y2

11、P是橢圓一+匚=1上的一點，O是坐標原點，F是橢圓的左焦點且

259

OQ^^(OP+OF),\~OQ\=4,那么點P到該橢圓左準線的距離為()

5

A.6B.4C.3D.-

2

第一學期高二1理科）

數學期末考試卷

一、選擇題（本大題共11小題，每題3分，共33分）

題號1234567891011

答案

二、填空題（本大題共4小題，每題3分，共12分）

12、命題：316凡》2一%+1=0的否認是

13、假設雙曲線/一4y2=4的左、右焦點是工、入，過耳的直線交左支于A、B兩點,

假設|AB|=5,那么4AF2B的周長是L

14、假設3=（2,3,-1）,B=（—2,1,3）,那么［3為鄰邊的平行四邊形的面積

為-

15、以下四個關于圓錐曲線的命題中：

①設A、8為兩個定點，%為正常數，|PA|+|PB|=左，那么動點P的軌跡為橢圓；

222

②雙曲線會—三=1與橢圓卷+:/=1有一樣的焦點；

③方程2/—5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

255x2V2

④和定點A（5,0）及定直線/：x=7的距離之比為1的點的軌跡方程為記-乙=1.

其中真命題的序號為.

三、解答題（本大題共6小題，共55分）

X1y2

16、（此題總分值8分）命題p：方程-------0二1表示焦點在y軸上的橢圓，命題g

2mm-1

22

雙曲線之一——=1的離心率ee（1,2），假設只有一個為真，求實數相的取值范圍.

5m

17、(此題總分值8分)棱長為1的正方體ABCD-48GDi，試用向量法求平面48cl

與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值。

18、(此題總分值8分)

(1)雙曲線的一條漸近線方程是y=-』x,焦距為2疝，求此雙曲線的標準方程;

222

(2)求以雙曲線2-—二=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓標準方程。

169

19、(此題總分值10分)如下圖，直三棱柱ABC—481cl中，CA=CB=\,/8C4=90°,

棱A4i=2,M、N分別是ABi、的中點.

(1)求麗的長；

(2)求cos<3A|,CB]>的值；

(3)求證：AiBlCiM

第19題圖

20、[此題總分值10分)如下圖，在直角梯形A2CZ)中，\AD\=3,用=4,由。=小，

曲線段DE上任一點到A、B兩點的距離之和都相等.

(1)建立適當的直角坐標系，求曲線段DE的方程；

(2)過C能否作一條直線與曲線段。E相交，且所

得弦以C為中點，假如能，求該弦所在的直線

的方程；假設不能，說明理由.

21、(此題總分值11分)假設直線/：工+桃)+，=0與拋物線：/=2；1交于人、B兩點，

0點是坐標原點。

(1)當m=-l,c=—2時，求證：OA_LOB；

(2)假設OALOB,求證：直線/恒過定點；并求出這個定點坐標。

(3)當OA1.OB時，試問aOAB的外接圓與拋物線的準線位置關系如何？證明你的結論。

高二數學（理科）參考答案:

1、C2、C3、A4、C5、B6、B7、B8、D9、C10、A

11、D

12、VxeR,--X+1R013、1814、67515、②③

16、p:0<m<g^:0<m<15〃真q假，那么空集;p假q真,那么(

故m的取值范圍為'W//J<15

3

17、如圖建立空間直角坐標系，而=(-1,1,0),港=(0,1,-1)

設%、內分別是平面4BJ與平面ABCD的法向量,

由fn}-AiB=O可解得〃i=(1,

[〃1-4G-o

易知〃2=io，o,1)，

所以平面A1BC1與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為大-。

2222

/、xV[ayX1/、/+V-

18、(1)-----------=1或---------=1；(2)

4994925

19、如圖，建立空間直角坐標系O—QZ

(1)依題意得B(0,1,0)、N(1,0,1)

：.\BN|=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=V3.

(2)依題意得Al(1,0,2)、B(0,1,0)、C[0,0,0)、B\(0,1,2)

??.BA,=(L-1,2),CB,=[0,1,2),%?CB]=3,

IBA}|=V6,\CB{|=V5

BA,CB

.??cos<84]，CB>="——,?——J30.

118AHe即10

11—

(3)證明：依題意，得Ci(0,0,2)、M2),A.B=[-1,1,-2),

22,

--11-----11—.----

C,M=(—,—,0).A,B,C.M-I-----1*0=0,A,BA.C.M，

122112211

20、(1)以直線AB為x軸，線段A8的中點為原點建立直角坐標系，

那么A(-2,0),B(2,0),C(2,小)，D(一2,3).

依題意，曲線段。E是以A、8為焦點的橢圓的一局部.

1,

-a=-(\AD\+\BD\')=4,c=2,b2=12

2

22

???所求方程為—+^-=1(-2<x<4,0<y<2V3)

1612

(2)設這樣的弦存在，其方程為：

22

y—V3=攵(x—2),即y=攵(x—2)+百，將其代入二十匕=1

1612

得(3+4左2)1+(86上一16%2)犬+16左2―16括左一36=0

設弦的端點為M