專題19正方形中“半角”模型解題思路解題思路【模型歸納】典例分析典例分析【典例1】（春?十堰期末）如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是（6，6），點E、F分別在邊BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，則F點的縱坐標是（）A．2 B． C． D．﹣1【變式1-1】（溧水區二模）如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是（4，4），點E、F分別在邊BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，則F點的縱坐標是（）A．1 B． C． D．﹣1【典例2】（羅湖區校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，則CF的長為（）A． B． C． D．【變式2-1】（防城區期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為．【典例3】（2021春?澄城縣期末）正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝CF+AE；（2）當AE＝2時，求EF的長．【變式3-1】（2020?饒平縣校級模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCM．（1）求證：EF＝MF；（2）當AE＝1時，求EF的長．【變式3-2】（春?越秀區校級期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE，求證：CE＝CF．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，求證：GE＝BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面積．夯實基礎夯實基礎1．（2022春?峽江縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．（1）△GAB≌△FAD嗎？說明理由．（2）猜想線段DF、BE、EF之間的數量關系并說明理由．2．（2022春?雁塔區校級期末）閱讀下列材料：問題：如圖（1），已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF＝45°．解決下列問題：（1）圖（1）中的線段BE、EF、FD之間的數量關系是．（2）圖（2），已知正方形ABCD的邊長為8，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于點G，求△EFC的周長．3．（2021秋?蘭州期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．①△GAB≌△FAD嗎？說明理由．②若線段DF＝4，BE＝8，求線段EF的長度．③若DF＝4，CF＝8．求線段EF的長度．4．（2021秋?伊通縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的長．5．（2021秋?啟東市校級月考）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數量關系，直接寫出判斷結果：．（2）如圖2：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．點E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系．請說明理由（提示：延長FD到點C，使DG＝BE，連結AG．）6．（2021秋?宿豫區期中）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF＝45°，連接EF，探究BE、DF、EF之間的數量關系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF＝∠BAD，此時（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．7．（2021秋?龍巖校級期中）如圖，點E，F分別是正方形ABCD的對角線AC上的兩個動點，∠EBF＝45°．求證：EF2＝AE2+CF2．8．（2021春?阜南縣期末）如圖，已知正方形ABCD中，點M、N分別在邊BC、CD上，∠MAN＝45°．（1）求證：MN＝BM+DN；（2）當AB＝6，MN＝5時，求△CMN的面積．9．（2021春?合肥期末）如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．（1）求證：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的長．28．（2020秋?周村區期末）（1）如圖1的正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長．10．（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE＝45°，判斷線段GE、BE、GD之間的數量關系，并說明理由．能力提升能力提升11．（2021春?安陸市期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，∠ECG＝45°，那么EG與圖中兩條線段的和相等？證明你的結論．（2）請用（1）中所積累的經驗和知識完成此題，如圖2，在四邊形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的長？12．（2019秋?宿城區校級月考）閱讀分析過程，解決問題：如圖1，正方形ABCD（四條邊都相等，四個角都是90°）中，點E、F在CD、BC上，并且∠EAF＝45°．（1）求證：EF＝DE+BF．（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，D為△ABC外一點，且∠BDC＝120°．求證：AD＝BD+CD．13．（2019?夏津縣二模）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45度．則有結論EF＝BE+FD成立；（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請說明理由．（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數量關系并證明．專題19正方形中“半角”模型解題思路解題思路【模型歸納】典例分析典例分析【典例1】（春?十堰期末）如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是（6，6），點E、F分別在邊BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，則F點的縱坐標是（）A．2 B． C． D．﹣1【答案】A【解答】解：如圖，連接EF，延長BA，使得AM＝CE，在△OCE和△OAM中，，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，設AF＝x，∵CE＝＝＝3，∴EF＝3+x，EB＝3，FB＝6﹣x，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，∴x＝2，∴點F的縱坐標為2，故選：A．【變式1-1】（溧水區二模）如圖，在正方形OABC中，點B的坐標是（4，4），點E、F分別在邊BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，則F點的縱坐標是（）A．1 B． C． D．﹣1【答案】B【解答】解：如圖，連接EF，延長BA，使得AM＝CE，∵OA＝OC，∠OCE＝∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，設AF＝x，∵CE＝＝＝2，∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，∴x＝，∴點F的縱坐標為，故選：B【典例2】（羅湖區校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，則CF的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：把△FCD繞點C逆時針旋轉90°得△F′CB，此時E，B，F'三點共線，則△CBF'≌△CDF，連接EF．∴CF＝CF′，∵∠FCF′＝90°，∴∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECF′＝45°，∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEF'（SAS），∴EF＝EF'．在Rt△EBC中，，∴AE＝AB﹣BE＝2．設DF＝x，則AF＝4﹣x．∵DF＝BF′，∴EF＝EF'＝BE+BF'＝2+x，在Rt△FCD中，EF2＝AE2+AF2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得：．在Rt△CDF中，，∴，解得：．故選：A．【變式2-1】（防城區期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為．【答案】【解答】解：如圖，延長FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，設AF＝x，則DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x，∴EF＝＝，∴（7﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝，故答案為：．【典例3】（2021春?澄城縣期末）正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝CF+AE；（2）當AE＝2時，求EF的長．【答案】（1）略（2）EF＝5【解答】（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三點共線，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：設EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，則EF＝5．【變式3-1】（2020?饒平縣校級模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCM．（1）求證：EF＝MF；（2）當AE＝1時，求EF的長．【答案】（1）略（2）EF的長為．【解答】（1）證明：∵△DAE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，F，C，M三點共線，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，∴∠EDF＝∠FDM．又∵DF＝DF，DE＝DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF＝MF；（2）解：設EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，則EF的長為．【變式3-2】（春?越秀區校級期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE，求證：CE＝CF．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，求證：GE＝BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面積．【答案】（1）略（2）略（3）108．【解答】解：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）成立．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝GD+DF＝BE+GD；（3）如圖：過點C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四邊形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四邊形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF+BE，∴DE＝4+DF，在△ADE中，AE2+DA2＝DE2．∴（12﹣4）2+（12﹣DF）2＝（4+DF）2．∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四邊形ABCD＝＝＝108夯實基礎夯實基礎1．（2022春?峽江縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．（1）△GAB≌△FAD嗎？說明理由．（2）猜想線段DF、BE、EF之間的數量關系并說明理由．【解答】解：（1）△GAB≌△FAD，理由：過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，∴∠ABG＝∠D．在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）線段DF、BE、EF之間的數量關系為：DF+BE＝EF．理由：由（1）知：△GAB≌△FAD，∴BG＝DF，AG＝AF．∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，∴∠GAB+∠FAB＝90°，∴∠GAF＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°．在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BG+BE，∴DF+BE＝EF．2．（2022春?雁塔區校級期末）閱讀下列材料：問題：如圖（1），已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF＝45°．解決下列問題：（1）圖（1）中的線段BE、EF、FD之間的數量關系是BE+DF＝EF．（2）圖（2），已知正方形ABCD的邊長為8，E、F分別是BC、CD邊上的點，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于點G，求△EFC的周長．【解答】解：（1）如圖，延長CB至點H使BH等于DF，連接AH．在△ADF和△ABH中，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠HAB＝∠FAD，∵∠BAE+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAE+∠HAB＝∠HAE＝∠EAF＝45°，在△FAE和△HAE中，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BH+BE，∴EF＝FD+BE；故答案為：EF＝FD+BE．（2）由（1）可得：∠AEB＝∠AEG，∠AFE＝∠AFD，在△ABE和△AGE中：，∴△ABE≌AGE（AAS），∴BE＝EG，在△AGF和△ADF中：，∴△AGF≌ADF（AAS），∴GF＝DF，∴△EFC的周長＝EG+GF+EC+CF＝BE+EC+DF+CF＝BC+DC＝8+8＝16．3．（2021秋?蘭州期末）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．①△GAB≌△FAD嗎？說明理由．②若線段DF＝4，BE＝8，求線段EF的長度．③若DF＝4，CF＝8．求線段EF的長度．【解答】解：①全等．證明：∵四邊形ABCD為正方形∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D∴△GAB≌△FAD．②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠DAF+∠BAE＝45°∵△GAB≌△FAD∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF∴∠GAB+∠BAE＝45°∴∠GAE＝45°∴∠GAE＝∠EAF在△GAE和△FAE中∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE．∵△GAB≌△FAD∴GB＝DF∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．③設EF＝x，則BE＝GE﹣BG＝x﹣4．∵EC＝BC﹣BE，∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．在Rt△EFC中，依據勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10．∴EF＝10．4．（2021秋?伊通縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的長．【解答】解：（1）∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三點共線，∴DE＝DM，∠EDM＝90°．∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF．（2）設EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．即42+（8﹣x）2＝x2，∴解得：x＝5，即FM＝5．∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．5．（2021秋?啟東市校級月考）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數量關系，直接寫出判斷結果：．（2）如圖2：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．點E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系．請說明理由（提示：延長FD到點C，使DG＝BE，連結AG．）【解答】解：（1）結論：EF＝BE+DF．理由如下：如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF；（2）結論：EF＝BE+DF成立．理由如下：如圖2中，延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵AB＝AD，∴△ABE≌△△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝60°，∴∠FAG＝∠GAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠FAE＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF．6．（2021秋?宿豫區期中）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF＝45°，連接EF，探究BE、DF、EF之間的數量關系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、DC上的點，且∠EAF＝∠BAD，此時（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，EF＝BE+DF，理由如下：延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如圖2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．7．（2021秋?龍巖校級期中）如圖，點E，F分別是正方形ABCD的對角線AC上的兩個動點，∠EBF＝45°．求證：EF2＝AE2+CF2．【解答】證明：如圖，將△CBF繞點B逆時針旋轉90°，可得△ABN，連接EN，由旋轉的性質可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°，∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，在△EBF和△EBN中，，∴△EBF≌△EBN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．8．（2021春?阜南縣期末）如圖，已知正方形ABCD中，點M、N分別在邊BC、CD上，∠MAN＝45°．（1）求證：MN＝BM+DN；（2）當AB＝6，MN＝5時，求△CMN的面積．【解答】解：（1）延長CB到G，使BG＝DN，在△ADN和△ABG中，，∴△ADN≌△ABG（SAS），∴AN＝AG，∵∠MAN＝45°，∴∠MAB+∠NAD＝∠MAB+∠BAG＝45°，在△MAN和△MAG中，，∴△MAN≌△MAG（SAS），∴MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN；（2）由（1）得，，∵S△AMN＝S△ABM+S△ABG，∴S△AMN＝S△ABM+S△ADN＝15，∴S△CMN＝S正方形ABCD﹣2S△AMN＝36﹣30＝6．9．（2021春?合肥期末）如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．（1）求證：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的長．【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，DF＝BG，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，又∵AF＝AG，AE＝AE，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）解：由（1）可得：△AGE≌△AFE（SAS），∴∠AEB＝∠AEH，∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AH＝AB，設AB＝BC＝CD＝DA＝x，則FC＝x﹣3，EC＝x﹣2，EF＝GE＝BE+GB＝BE+DF＝5，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去），∴AH＝AB＝6．28．（2020秋?周村區期末）（1）如圖1的正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．10．（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE＝45°，判斷線段GE、BE、GD之間的數量關系，并說明理由．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，在△CBE與△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）解：GE＝BE+GD，理由：由（1）得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝45°，∴∠GCF＝∠DCF+∠DCG＝45°，在△ECG與△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝DF+GD＝BE+GD．能力提升能力提升11．（2021春?安陸市期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，∠ECG＝45°，那么EG與圖中兩條線段的和相等？證明你的結論．（2）請用（1）中所積累的經驗和知識完成此題，如圖2，在四邊形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的長？【解答】解：（1）EG＝BE+DG．如圖1，延長AD至F，使DF＝BE，連接CF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∵∠CDF＝180﹣∠ADC，∴∠CDF＝90°，∴∠ABC＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，∵∠ECG＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°，∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°，∴∠ECG＝∠FCG，∵GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG＝GF，∵GF＝GD+DF＝GD+BE，∴EG＝GD+BE．（2）如圖2，過點C作CD⊥AG，交AG的延長線于D．∵AG∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝