2025屆北京市二十二中數學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.22．已知數列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.3．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得4．楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發現這一規律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數列中，第37項是A.153 B.171C.190 D.2105．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.6．對于圓上任意一點的值與x，y無關，有下列結論：①當時，r有最大值1；②在r取最大值時，則點的軌跡是一條直線；③當時，則.其中正確的個數是（）A.3 B.2C.1 D.07．若，，且，則（）A. B.C. D.8．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.29．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.10．若方程表示圓，則實數m的取值范圍為（）A B.C. D.11．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.3012．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數量積最大的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且，則拋物線C的準線方程為___________.14．若曲線在點處的切線斜率為，則___________.15．已知，且，則_____________16．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點，（1）求異面直線所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值18．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的極值；（2）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知圓C的圓心為，且圓C經過點（1）求圓C的一般方程；（2）若圓與圓C恰有兩條公切線，求實數m的取值范圍20．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.21．（12分）已知函數在處取得極值（1）若對任意正實數，恒成立，求實數的取值范圍；（2）討論函數的零點個數22．（10分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為棱BC，CD的中點（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.2、B【解析】根據等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數列，則.故選：B.3、B【解析】A選項，當一真一假時也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項，可以使用正弦定理和大邊對大角，大角對大邊進行證明；C選項，利用逆否命題的定義進行判斷，D選項，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結論否定，故可判斷D選項.【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯誤；命題，使得，則，使得，故D錯誤.故選：B4、C【解析】根據“楊輝三角”找出數列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關系即可。【詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數：，所以第行的第三個數為在該數列中，第37項為第21行第三個數，所以該數列的第37項為故選：C【點睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。5、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.6、B【解析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，圓在兩直線內部，則，的距離為，則，，對于①，當時，r有最大值1，得出結論；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，得出結論；對于③當時，則得出結論.【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，可知直線平移時，點與直線，的距離之和均為，的距離，即此時圓在兩直線內部，，的距離為，則，對于①，當時，r有最大值1，正確；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對于③當時，則即，解得或，故錯誤.故正確結論有2個，故選：B.7、A【解析】由于對數函數的存在，故需要對進行放縮，結合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進而得解.【詳解】令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，，故，即，當且僅當，等號成立．所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A8、A【解析】根據題意設圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.9、D【解析】根據互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D10、D【解析】根據，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數m的取值范圍為.故選：D11、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.12、B【解析】設，根據線面垂直的性質得，，，，根據向量數量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數量積最大的是，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將直線與拋物線聯立結合拋物線的定義即可求解.【詳解】解：直線與拋物線相交于A，B兩點設，直線與拋物線聯立得：所以所以即解得：所以拋物線C的準線方程為：.故答案為：.14、【解析】由導數的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：115、2【解析】由共線向量得，解方程即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：216、##【解析】根據給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關系即可計算作答.【詳解】設橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)建立空間直角坐標系,求出相關各點坐標,求出,利用向量的夾角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一個法向量,利用向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以，所以直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】設為平面的一個法向量，,則m?，同理,則,可取平面的一個法向量為，則,由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18、（1）函數在上遞增，在上遞減，極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求出函數的導函數，再根據導數的符號求得單調區間，再根據極值的定義即可得解；（2）若存在，使不等式成立，問題轉化為，令，，利用導數求出函數的最大值即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，，則，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以函數的極大值為，無極小值；【小問2詳解】解：若存在，使不等式成立，則，即，則問題轉化為，令，，，當時，，當時，，所以函數在遞增，在上遞減，所以，所以.19、（1）（2）【解析】（1）設圓C的一般方程為．由圓C的圓心和圓C經過點求解；（2）根據圓與圓C恰有兩條公切線，由圓O與圓C相交求解.【小問1詳解】解：設圓C的一般方程為∵圓C的圓心，∴即又圓C經過點，∴解得經檢驗得圓C的一般方程為；【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為5∵圓與圓C恰有兩條公切線，∴圓O與圓C相交∴∵，∴∴m的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）聯立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.21、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據極值點求出，再利用導數求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結果；（2）利用導數求出函數的極大、極小值，結合函數的圖象分類討論可得結果.【小問1詳解】函數的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當時，，為增函數；當時。，為減函數，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當大于0趨近于0時，趨近于負無窮，當趨近于正無窮時，趨近于正無