1.1等腰三角形的性質和判定

班級姓名學號

學習目標：

1、進一步掌握證明的基本步驟和書寫格式.

2、能用“基本事實”和“已經證明的定理”為依據，證明等腰三角形的性質定理和判定定理.

學習重點：等腰三角形的性質及其證明.

學習難點：等腰三角形的性質及其證明.

學習過程

一、知識回顧：

1、什么叫做等腰三角形？______________________________________________

2、等腰三角形有哪些性質？；

3、上述性質你是怎么得到的？你能否用從基本事實出發，對它們進行證明？（不妨動手操作做一

做）

二、新知教學：

（一）探索活動：

1、合作與討論：證明：等腰三角形的兩個底角相等.

2、思考：由上面的證明過程，你能否得出”等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的

高互相重合”的結論？請用符號語言表示.

3、通過上面兩個問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質定理.

定理,（簡稱：）

定理：,（簡稱：）

4、思考與探索

如何證明”等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是正確的?

（二）例題分析

1、已知：如圖NEAC是△回（：的外角，AD平分NEAC,且AD〃BC.求證：AB=AC

拓展：在上圖中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC嗎？為什么?

2、證明：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

（三）鞏固練習：

1、證明：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.

2、如圖，BO平分NCBA,CO平分NABC,且MN//BC,設AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周

三、總結反思

1、證明文字命題應注意什么？

2、等腰三角形的判定和性質分別是什么？如何證明?

3、一個常見的基本圖形.

1.1等腰三角形的性質和判定作業設計

班級姓名學號等第

1.等腰三角形中，如果底邊長為6,一腰長為8,那么周長是；如果等腰三角形有

一邊長是6,另一邊長是8,那么它的周長是；如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8,

那么它的周長是.

2.等腰三角形的一個內角為70。，它一腰上的高與底邊所夾的度數為.

3.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30度，腰長為2cm,則其腰上的高

為cm.

4.如圖，等腰ABC的周長為21,底邊BC=5,AB的

垂直平分線DE交AB于點D,交AC于點E,則△BEC的

周長為（）

A.13B.14

C.15D.16

5.△ABC中，AB=AC,中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的

底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

6.已知：如圖，AD平分NBAC,AB=AC.

求證益既是等腰三角形.

A

D

BC

7.如圖，在"BC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD、CE交于點0,給出下列四個條件

?ZEBO=ZDCO,?ZBEO=ZCDO,?BE=CD,?OB=OC.

（1）上述四個條件中哪兩個條件可以判定△械是等腰三角形（用序號寫出所有情況）

（2）選擇其中一種情況證明△械是等腰三角形.

選做習題

8.兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線

上，連結BD,取BD的中點M,連結ME、MC.試判斷Z\￡MC的形狀，并說明理由.

EA

12直角三角形全等的判定（一）

班級姓名學號

學習目標

1、用“斜邊、直角邊”法判定兩個直角三角形全等.

2、證明直角三角形全等的HL判定定理.

學習重點

直角三角形HL全等判定定理.

學習難點

通過HL全等判定定理來解決實際問題，體會數學的應用.

學習過程

一、預習與準備■:

操作與思考：如圖RtaABC,畫RtAA'B'C,使斜邊AB=AB，，直角邊AC=AC,這兩個三角形全

等嗎？

二、新課講解:

HL定理：

已知:

求證：

證明：

三、例題講解：

例1、證明:在直角三角形中，300所對的直角邊等于斜邊的一半。

例2、如圖，CD，AB,BE，AC,垂足分別是D、E,BE、CD相交于點0,如果AB=AC,哪么圖中有幾對

全等的直角三角形？取其中的一對予以證明。

例3、已知：如圖，ABCD,AE±BD,CF_LBD,垂足分別為E、F,且BF=DE.

求證：ZABD=ZCDB.

總結^

12直角三角形全等的判定(一)作業設計

班級姓名

1.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：(1)平行四邊形(不包含菱形、矩形、正方形)；(2)矩

形；(3)正方形；(4)等腰三角形，一定可以拼成的圖形是()

A、(1)(2)(5)B、(2)(3)(5)C、(1)(4)(5)D、(1)(2)(3)

2.兩個直角三角形全等的條件，

A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等B/

C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等

3.如圖，有一個直角△ABC,ZC=90°,AC=10,BC=5,一條線段PQ=AB,P.Q兩J---處

點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，當AP=時,才,

能使AABCgAPQA.

4.如圖，/ABC中，AC=BC,/ACB=120°,D是AB的中點，DE_LAC于點E,貝U

CE:AE=____________

5.如圖，在AABC和AABD中，ZC=ZD=90°,若利用“AAS”證明

△ABC^AABD,則需要加條件__________________或；若c

利用“HL”證明△ABC四△ABD,則需要加條件

?A—------------------------TB

6.在/ABC中，D是BC的中點，DE±AB,DF±AC,垂足分

別為E、F,且DE=DF.

求證：/ABC是等腰三角形.

7.如圖，A,F和B三點在一條直線上，CFLAB于

A

AF=FH,CF=FB.求證：BE±AC.

8.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,直線/經過點C,/\D±7,BELJ,垂足分別為D、E.

求證：AD=CE

1.2.2直角三角形全等的判定（二）

班級姓名學號

學習目標

1、運用直角三角形的全等判定定理和其它相關知識證明角平分線的性質和判定

2、從簡單的數學例子中了解反證法的含義

3.、逐步學會分析的思考方法，發展演繹推理的能力

學習重點

角平分線的性質和判定

學習難點

角平分線的性質和判定的證明和運用

學習過程

一、知識回顧

回憶并寫出直角三角形全等的判定方法：

二、典例分析

1、證明：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

已知：

求證：

證明：

2、證明：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

已知

A

求證

證明

0

EB

三、思考與交流

1、''如果一個點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點不在這個角的平分線上。”

你認為這個結論正確嗎？如果正確，你能證明嗎？

2、如圖，AABC的角平分線AD、BE相交于點。，點0到4ABC各邊的距離相等嗎？點。在

ZC的平分線上嗎？為什么?

四、隨堂練習

2、如圖，在aABC中，NC=90度，點D在BC上，DE垂直平分AB,且A

DE=DCo求NB的度數。

E

C

B

總結反思:

1.2.2直角三角形全等的判定（二）作業

班級姓名學號等第

1、三角形中到三邊距離相等的點是（）

A、三條邊的垂直平分線的交點B、三條高的交點

C、三條中線的交點D、三條角平分線的交點

2、如圖，直。、/2、A表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條

公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A、1處B、2處C、3處D、4處

3、如圖，已知點C是NAOB平分線上一點，點P、P分別在邊OA、0B上。如果要得到PO=OP1,

需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能結果的序

號o

①Z0弟ZOCP'；②ZOPC=ZOP'C；

③PC=PC'；④PP10C

OP'B

4、如圖，在△ABC中，已知AC=BC,ZC=90°,AD是AABC的角平分線JDELAB,垂足為E。

求證：AB=AC+CDo

5、已知，如圖，P是NAOB平分線上的一點，PC±OA,PD±OB,垂足分別C、D,

求證：OP是CD的垂直平分線。

A

習題

6、已知：如圖，D是BC上一點，AD平分/BAC,AB=3cm,AC=2cm

求：①S/ABD：SzADC

②BD：CD

1.3.1平行四邊形的性質

班級姓名學號_______等第_________

學習目標1、能證明平行四邊形的三個性質①對邊相等②對角相等③對角線互相平分

2、進一步培養的分析、綜合的思考方法，及表達書寫能力.發展學生演繹推理能力.

3、掌握命題的題設、結論

重點：平行四邊形的性質證明

難點：分析、綜合思考的方法

過程：

一、知識回顧：

我們曾經探索得到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質，在下表相應的空格內打“（課

本13頁）

二、探究新知：

1、證明：平行四邊形對邊相等、對角相等.

2、證明：平行四邊形對角線互相平分

三、例題講解：

1、在。ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點.

求證：BE=DF

拓展思考：在上述條件下，當點E、F分別在AD、BC上滿足什么條件時使BE=DF?

2、如圖，在UABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE=CF.請你以點F為一個端點，和圖中已標

明字母的某一點連成一條線段，猜想并證明它和圖中已有的某一線段相等(只需證明一組線段

DC

相等即可).A

(1)連結.

AB

(2)猜想：=.

(3)證明：

四、課堂演練：

1.判斷題(對的在括號內填“V"，錯的填“X”)

(1)平行四邊形兩組對邊分別平行；()

(2)平行四邊形的四個內角都相等；()

(3)平行四邊形的相鄰兩個內角的和等于180°；()

(4)如果平行四邊形相鄰兩邊長分別是2cm和3cm,那么周長是10cm；()

(5)在平行四邊形ABCD中，如果NA=35°,那么NB=55°；()

2.平行四邊形的周長為30,兩鄰邊的差為5,則其較長邊是.

X3.在UABCD中，AC=10,BD=6,則邊長AB,AD的可能取值為().

(A)AB=4,AD=4(B)AB=4,AD=7(C)AB=9,AD=2(D)AB=6,AD=2

※c平行四邊形一邊長為12cm,那么它的兩條對角線的長度可能是().

(A)8cm和14cm(B)10cm和14cm(C)18cm和20cm(D)10cm和34cm

3、證明：夾在兩條平行線之間的平行線段相等.

13.1平行四邊形的性質課后作業

班級姓名學號_______等第_________

1.已知。是UABCD的對角線交點，AC=10cm,BD=18cm,AD=12cm,則△BOC的周長是.

2.已知RBCD的對角線AC,BD交于點0,AAOB的面積為2,那么UABCD的面積為___.

3.如圖，在bBCD中，對角線AC,BD交于點0,EF/

是過點0的一條直線，交AB于點E,交DC于點F.則0E與

AEB

OF有什么數量關系，答

4.已知平行四邊形的兩鄰邊之比為2：3,周長為20cm,則這個平行四邊形的兩條鄰邊長分別為

5.如圖，在二ABCD中，AE平分NBAD交DC于點E,AD=5cm,AB=8cm,求EC的長.

6.如圖，在bBCD中，AC±AB,AB=6,BC=10,求：（1）AB與CD的距離；（2）AD與BC的距離.

7.用三種不同的方法把二ABCD的面積四等分，并簡要說明分法.

8.已知：如圖，在4BCD中，AC,BD交于點0,EF過點0,分別交CB,AD的延長線于點E,F,

求證：AE=CF.

9.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，NBCD的平分線CF交AB于點F,

ZADC的平分線DG交邊AB于點G.

(1)求證：AF=GB；

(2)請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得4EFG為等腰直角三角形，并說明理由.

13.2矩形的性質

班級姓名學號

學習目標：

1、能用“基本事實"和''已經證明的定理”為依據，證明矩形的性質以及直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半.

2、進一步培養學生的分析、綜合的思考方法，及表達書寫能力.發展學生演繹推理能力.

學習重點：矩形的性質及其證明.

學習難點：分析、綜合思考的方法.

學習過程

一、知識回顧：

1、叫矩形，由此可見矩形是特殊的

，因而它且有平行四邊形的所有性質.

2、矩形有哪些平行四邊形不具有的特殊性質？

3、證明：矩形的四個角都是直角

已知：如圖_____________________________________________圖形：畫在下面

求證：_____________________________________

證明：

4、證明：矩形對角線相等

已知：如圖_____________________________________________圖形：畫在下面

求證：__________________________________________

證明：

二、新知教學：

(-)：觀察能力訓練

如圖矩形458,對角線相交于。，圖中全等三角形有哪些？

將目光鎖定在RtAA5C中，你能看到并想到它有什么特殊的性質嗎?

證明：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”

已知:

求證:

證明:

（二）例題分析

如圖：矩形ABCD的兩條對角線相交于點。，月.AC=2AB,求證：AA08為正三角形.（注意

表達格式完整性與邏輯性）

證明：

（三）鞏固練習:

1、如圖BD,CE是AABC的兩條高，M是8c的中點，求證:

BMC

1.3.2矩形的性質作業

班^姓名學^等^_______

1.如圖，歷過矩形對角線的交點。，且分別交ABCD于ER

那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（）

A.-B.-C.-D.—

54310

2.在矩形ABCD中,44。8=120。4￡）=3,則AC為（）

4.15B.3C.6D.9

3.直角三角形斜邊上的高與中線分別是5和6,則它的面積是______________.

4.已知，如圖，矩形ABCD中,AC與BD相交于點O￡EJ_AC于E,CFLBD于F.

求證:5E=CE

5.已知，如圖.△ABC中60L4C于。,。石，48于瓦點知、N分別是BC、OE的中點.

求證:MNLDE

B

6.如圖在矩形ABC。中，BE平分NA8C,交CD于點E,點尸在邊比上

①如果求證：FE=AE.

②如果FE=AE，你能證明FE1.AE嗎？請證明.

選做題:

派7.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,4）=4,點P在AO上PEUC于￡PFLBD于F,則PE+PE

等于（)

7121314

A.B."C.—D—

5555

X8.（2009年牡丹江市）矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點、O,4后，5。于￡,若

OE：ED,=13AE=6則80=

134平行四邊形的判定

班級姓名學號等第

學習目標

1、理解平行四邊形的判定法則，學會用于判斷一個四邊形是平行四邊形；

2、理解、體會反證法的思想，能利用反證法用于生活及數學的一些推理，養成從反面思考的習慣。

學習重點難點：平行四邊形的判定方法；反證法思想。

學習過程

問題1、何準確地畫出一個平行四邊形？什么樣的四邊形才是平行四邊形？回憶我們曾探索得到的

一個四邊形是平行四邊形的條件，填寫下表：

條件結論

四邊形

ABCD,對角

線AC、BD

相交于點O

定理1、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

定理2、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

問題2、你認為“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”這個結論正確嗎？為什

么？

問題3、在四邊形ABCD中，如果OA=OC,OB#）D,那么四邊形ABCD不是平行四邊形”這個

結論正確嗎？為什么？

例1、證明：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

例2、已知：在DABCD中，對角線AC、BD相交于點O,AE±BD,CF1BD,垂足分別為E、

Fo求證：四邊形AECF是平行四邊形。

A組練習：

1.四邊形A3。中，AD〃BC,要使它平行四邊形，需要增加條件（只需

填一個條件即可）.

2.已知：DXBCD的周長是30cm,對角線AC,BD相交于點O,/AOB的周長比/BOC的

周長為5cm,則這個平行四邊形的各邊長為.

G

3.如圖，在OKBCD中，EF〃BC,GH〃AB,EF、GH的交點P在BD上，~I~~

則圖中打對四邊形面積相等；它們是。

4、證明：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。Eyx

BH

B組練習：

1.如圖，平行四邊形ABCD中，EF為邊AD、BC上的點，且AE=CF,

連結AF、EC、BE、DF交于M、N,試說明：MFNE是平行四邊形.

2.如圖：已知在Z^ABC中，AB=AC,D為BC上任意一點，DE〃AC交AB于

E,DF〃AB交AC于E求證：DE+DF=AC.

總結反思：

哪些條件可以得到平行四邊形?

作業設計

班級姓名.學號.等第

1.下面幾組條件中，不一定能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）.

A.兩組對邊相等；B.兩條對角線互相平分C.兩組組對邊平行；D.兩組對角相等

E.一組對邊平行，一組對角相等F.一組對邊平行，一組對邊相等

2.BD是平行四邊形ABCD的對角線，點E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，可以添加

的一個條件是一

3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，Pi、P2是對角線BD的三等分點，求證：四邊形APQP2是

平行四邊形.

4.如圖，平行四邊形ABCD中，EF為邊AD、BC上的點，且AE=CF,連結AF、EC、BE、DF交于M、N,

求證：線段MN、EF互相平分.

5、如圖，點E、F、G、H分別在UABCD的各邊上，且AE=CG,BF=DH,求證：EF〃GF.

6.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,EF經過點。并且分別和AB、

CD相交于點E、F,又知G、H分別為0A、0C的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.

Ap

選砥習

7、在CABCD中，ZDAB=60°,點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD,CF=CB.

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形.D

⑵若去掉已知條件的NDAB=60。，上述的結論還成立嗎?若成立，

請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定⑴

教學目標

1、會證明平行四邊形的性質定理及其相關結論

2、能運用平行四邊形的性質定理進行計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發展推理論證的能力

教學重、難點

重點：平行四邊形的性質證明表達格式的邏輯性完整性精煉性

難點：分析綜合思考的方法

教學過程：

一、情境創設

根據我們曾經探索得到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質，填寫下表：

平行四邊形矩形菱形正方形

對邊平行

對邊相等

四邊相等

對角相等

4個角是直角

對角線互相平分

對角線相等

對角線互相垂直

兩條對角線平分兩組對角

從上面的幾種特殊四邊形的性質中，你能說說它們之間有什么聯系與區別嗎？

如圖A8〃A8,8C〃8'C',C4〃C'A，圖中有_____個平行四邊形。

二、合作交流

活動1、上表中平行四邊形的性質中，你能證明哪些性質？

活動2、你認為平行四邊形性質中，可以先證明哪一個？為什么？

活動3、證明定理“平行四邊形對角線互相平分”。

由此證明過程，同時也證明了定理“平行四邊形對邊相等”、“平行四邊形對角相等“，這樣我

們可得平行四邊形的三條性質定理：

平行四邊形對邊相等。

平行四邊形對角相等。

平行四邊形對角線互相平分。

例1:已知：如圖，DABCD中，E、F分別是AD、BC的中點。

求證：BE=DF

分析：可根據證明△ABEgZkCDF得到結論。

若將例1中的“E、F分別是AD、BC的中點”改為"AE=』AD,CF.BC"，是否還能得到同樣

33

的結論?

練習：P151、2

例2、證明“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”

分析：根據命題先畫出相應圖形，再由命題與所畫圖形寫出已知、求證，最后根據已知條件

寫出證明過程。

例3（廣東省）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連結CF交于AD

點E.

求證：（1）Z\CDES^FAE

⑵當E是AD的中點，且BC=2CD時，求證：ZF=ZBCF

證明：（1）?四邊形ABCD為平行四邊形D___________C

，AB〃CD,

.*.ZD=ZEAF

ZDEC=ZAEF,

/.△CDE^AFAE

(2)?.,△CDESAFAE

???D__C___D__E

AF-AE

???E是AD的中點

.*.AF=DC

,.?AD=BC,BC=2CD

.*.AD=2AF

.*.AE=AF

二ZF=ZAEF

VAD^CB,

，ZAEF=ZBCF

，NF=/BCF

說明平行四邊形能帶來平行線、等角，從而為得到比例線段、相彳以三角形創造了條件，也

就為利用相似解決問題帶來了方便.

練習：1、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm,

BC-lOcm,ZC=120°,

求BC邊上的高AH的長；

求平行四邊形ABCD的面積

2、如圖，平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=5,AC的垂直平分線交AD于E,則ACDE的周長是（B）

A.6B.8C.9D.10

三、分層訓練",

1.ZZABCD的周長為50cm,且AB:BC=3:2,則AB=cm,BC=cm.；

2.已知UABCD中，AB=8,BC=10,ZB=45°,UMCD的面積為.

3.在AABC中,AB=AG=5,〃是比上的點龍〃四交"'于點￡DFHAC交AB于點、F,那么四邊形

必宏的周長是()

A.5B.10C.15D.20

4.延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E,使BE=BD,連結DE交BC于F,

若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,貝l」AC的長為()

(A)1(B)1.2(C)(D)1.5

5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交

于點0,邊AB可以看成由平移得來的，AABC可以看成由.繞點0旋

轉_______________得來；/

6、平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于O,已知AB=8,BC=6,

△AOB的周長為18,求△AOD的周長。

7、已知：如圖，DABCD中，BD是對角線，AELBD于E,CFLBD于F.

求證：BE=DF.

四、小結

引導學生自我歸納總結

1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分。

2、是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心。

3、平行線之間的距離處處相等。

五、課堂檢測

六、教后感

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定（2）

教學目標

1、認識幾種特殊的四邊形的性質的聯系與區別

2、會證明矩形的性質定理及直角三角形斜邊上中線的有關性質定理

3、能運用矩形的性質定理或有關定理進行簡單的計算與證明

4、在進行探索、猜想、證明的過程中，能將命題由文字語言轉化為圖形與符號語言，進一步

發展推理論證的能力

教學重、難點

重點：矩形的本質屬性

難點：矩形性質定理的綜合應用

教學過程：

一、情境創設

矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質。結合下圖說說矩形有哪些平行四

邊形不具有的特殊性質？

你能證明這些性質嗎？

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和矩形的對角線把它們所分成的三角形，你有何發現？（引導學

生不斷地學會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發現和獲得新的數學結論，不斷地積累數學活

動的經驗）

問題二證明：矩形的4個角都是直角。

矩形的對角線相等。

問題三你能證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”嗎？說說你的證明思路。

已知：如圖，在△回（：中，ZACB=90°.

1

求證：邊AB上的中線等于5AB.

證明：在NACB內作NBCD=NB,CD交AB于點D

VZACB=90°

，ACD與BCD互余，NA與NB互余

,?ZBCD=ZB

/.ZACD=ZA

；.DA=DC=DB,即CD是邊AB上的中線，且CD=5AB

問題四你對上面的結論還有更多的思考和猜想嗎？（引導學生不斷學會思考和猜想：由

結論進一步能得到什么結論？這個結論的逆命題是否正確。不斷發展學生數學思考的能力）

例1、已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,

且AC=2AB.

求證：AAOB是等邊三角形

分析：利用矩形的性質：矩形的對角線相等且互相平分，結合“AC=2AB”即可證得。

本題若將"AC=2AB”改為“NBOC=120°”，你能獲得有關這個矩形的哪些結論?

練習：P16頁1、2

例2、如圖在矩形ABCD中，BE平分NABC,交CD于點E,點F在邊BC上,

②如果FELAE,求證FE=AE。

②如果FE=AE你能證明FE1AE嗎?

練習：

思考△.如圖①所示，Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點M在邊AB上，且AM=6.

（1）動點D在邊AC上運動，且與點A、C均不重合，設CD=x.

①設ZW：與aADM的面積之比為y,求y與x之間的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）；

②當x取何值時，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由.

（2）如圖②，以圖①中的BC、CA為一組鄰邊的矩形ACBE中，動點D在矩形邊上運動一周,

能使4DM是以NAMD為頂角的等腰三角形共有多少個？（直接寫出結果，不要求說明理由）

例3、（吉林省）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3V3,BC=6,沿EF折疊后，點C落在

AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H,ZBPE=30°.

（1）求BE、QF的長.（2）求四邊形PEFH的面積.

【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折

疊的角與邊不發生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際折疊一下幫助理解.

四、分層訓練

1、已知，在矩形ABCD中，AE±BD,E是垂足,

ZDAE：ZEAB=2：1,求NCAE的度數。

2、在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對角線AC=10cm,邊BC=8cm,則△ABO的周

長為.

3、如圖1,周長為68的矩形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABCD的面積為（）.

(A)98(B)196(C)280(D)284

4、如圖2,根據實際需要，要在矩形實驗田里修一條公路(小路任何地方水平寬度都相等)，則

剩余實驗田的面積為_

5、如圖3,在矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA_LMD.若矩形ABCD的周長為48cm,則矩形

ABCD的面積為cm2.

6、已知，如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,E,F分別是0A,0B的中點.

(1)求證：AADE^ABCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的長.

7、如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,折疊矩形的一邊AD,使點D落在BC邊的中點

F處，折痕為AE,求CE的長.

8、閱讀下列過程：

如圖①，小肖過AB，CD的中點畫直線EF,把矩形ABCD分割成甲、乙兩部分.

如圖②，小徐過A,C兩點畫直線AC,把矩形ABCD分割成丙、丁兩部分.

回答下列問題：

(1)填空：S甲_____S乙，S丙Sr(填“〉”或或“=”)；

(2)根據小肖、小徐的分割原理，你還能探索出其他的分割方法嗎？請在圖③中任意給出

一種；

(3)由本題的操作過程，你發現了什么規律？

A-]DA--------------------D

甲—〃\丙

BBC

①

9、（2006年煙臺市）如圖4,先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合,

邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖①所示），再將此矩形在坐標平面內按逆時針方向繞原

點旋轉30°（如圖②所示），若AB=4,BC=3,則圖①和圖②中，點B的坐標為，點C

的坐標為

五、小結

從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四邊形、矩形的對角線把它們分成的三

角形的異同，發現并應用直角三角形的判定證明矩形的特殊性質；反過來，我們又利用矩形的性

質證明“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”。

六、課堂檢測

七、教后感

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定（3）

教學目標

1、會歸納菱形的特性并進行證明

2、能運用菱形的性質定理進行簡單的計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發展推理論證的能力，進一步體會證明的必要

性

教學重、難點

重點：菱形的性質定理證明

難點：性質定理的運用生活數學與理論數學的相互轉化

教學過程：

一、情境創設

1.將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發

現這是一個什么樣的圖形?（同桌互相幫助。）l，x|

2.探索。

請你作該菱形的對角線，探索菱形有哪些特征，并填空。——口

（從邊、對角線入手。）

（1）邊：都相等；（2）對角線：互相垂直。

（學生通過自己的操作、觀察、猜想，完全可以得出菱形的特征，這對學生來說是富有意義的

活動，學生對此也很感興趣。）

問題：你怎樣發現的?又是怎樣驗證的？

（可以指名學生到講臺上講解一下他的結果。）

3.概括。

菱形特征1：菱形的四條邊都相等。

菱形特征2：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。

引導學生剖析矩形與菱形的區別。

矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線相等且互相平分；菱形的四條邊都相等，

對邊平行，對角相等，對角線互相垂直平分，每條對角線平分它的一組對角。

4.請你折一折，觀察并填空。（引導學生歸納。）

（1）菱形是不是中心對稱圖形?對稱中心是_______。

（2）是不是軸對稱圖形?對稱軸有幾條?_______。

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和菱形的對角線把它們所分成的三角形，你有何發現？（引導學

生不斷地學會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發現和獲得新的數學結論，不斷地積累數學活

動的經驗）

問題二證明：菱形的4條邊都相等。

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一M對角。

分析：第一條定理可先用“兩組對邊分別相等”證明平行四邊形，再利用一組鄰邊相等得證;

第二條定理可利用“三線合一”證得。

問題三已知菱形的兩條對角線長分別為6和8,由此你能獲得有關這個菱形的哪些結論？

（可得到邊長為5；面積為24）你認為菱形的面積與菱形的兩條對角線的長有關嗎？如果有關，

怎樣根據菱形的對角線的計算它的面積？

由此可得：菱形的面積等于它的兩條對角線長的積的面積。

例1、如圖3個全等的菱形構成的活動衣帽架，頂點A、E、F、C、G、H是上、下兩排掛

鉤，根據需要可以改變掛鉤之間的距離（比如AC兩點可以自由上下活動），若菱形的邊長為13厘

米，要使兩排掛鉤之間的距離為24厘米，并在點B、M處固定，則B、M之間的距離是多少？

直平分利用勾股定理求出BDo

練習P181、2

例2已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，G是AB上任一點,

DF交AC于點E。

求證：ZAGD=ZCBE

分析：結合“全等三角形對應角相等”和“兩直線平行,內錯角相等”即可得證。

練習：

1、如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點,

如果EF=2,那么ABCD的周長是（D）

A.4B.8

C

C.12D.16

2、如圖，已知菱形的兩條對角線長為a,

b,你能將菱形沿對角線分割后拼接成矩形嗎？畫圖說明

（拼出一種圖形即可）；在此過程中，你能發現菱形的面

積與a,6的關系嗎？

1

-

2

拼法（1）拼法（2）

cc（11^1,1,

S菱形=S矩形⑴=不a+”\x-b=-ab,

或S菱形二S矩形⑵=15人+不/?卜不。=、ab.

結論：菱形的面積等于兩對角線乘積的一半.

3、己知：如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周

長為.

四、分層訓練

1.已知菱形的周長為16cm,則菱形的邊長為___cm.

2.已知四邊形ABCD是菱形,0是兩條對角線的交點，AC=8cm,DB=6cm,菱形的邊長是cm.

3.已知菱形的邊長是5cm,一條對角線長為8cm,則另一條對角線長為____cm.

4.菱形ABCD的周長為40cm,兩條對角線AC：BD=4：3,那么對角線AC=cm,BD=cm.

D