專項26反比例函數圖像和性質（3大類型）【考點1反比例函數性質】1．若反比例函數y＝的圖象經過點（2，﹣3），則k＝．2．若反比例函數的圖象在第二、四象限，m的值為．3．已知反比例函數y＝圖象位于一、三象限，則m的取值范圍是．4．在反比例函數y＝的圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．5．已知點A（2，a）、B（b，﹣3）都在函數的圖象y＝上，若將這個函數圖象向左平行3個單位長度，則曲線AB所掃過的圖形的面積是．【考點2反比例大小比較】6．若點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系為．7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1＝kx+b的圖象與反比例函數y2＝的圖象交于點A（﹣2，2），B（n，﹣1）．當y1＜y2時，x的取值范圍是．8．如圖，正比例函數y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數y2＝（k2≠0）的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為1．當k1x＜時，x的取值范圍是．【考點3反比例函數與其他綜合運用】9．在一個不透明的紙箱內裝有形狀、質地、大小、顏色完全相同的5張卡片，卡片上分別標有數字﹣3，﹣1，0，1，2，將它們洗勻后，背面朝上，從中隨機抽取1張，把抽得的數字記作a，再從剩下的卡片中隨機抽取1張，把抽得的數字記作b，則使得反比例函數的圖象經過第一、三象限的概率為．10．反比例函數y＝（k為整數，且k≠0）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點A的坐標為（2，1），則k的值是．11．當≤x≤2時，函數y＝的圖象為曲線段CD，y＝﹣2x﹣b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，若曲線段CD在△AOB的內部（且與三條邊無交點），則b的取值范圍為．12．當1≤x≤2時，反比例函數y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值與最小值之差是1，則k的值是．13．如圖，曲線AB是拋物線y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點，B是頂點），曲線BC是雙曲線y＝（k≠0）的一部分．曲線AB與BC組成圖形W．由點C開始不斷重復圖形W形成一組“波浪線”．若點P（2020，m），Q（x，n），在該“波浪線”上，則m的值為，n的最大值為．14．如圖，在△ABO中，∠ABO＝90°，點A的坐標為（3，4）．寫出一個反比例函數y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個不同的交點，這個函數的表達式為．15．如圖，點P（4a，a）是反比例函數y＝（k＞0）與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為17π，則反比例函數的解析式為．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC，OA＝2，OC＝1，寫出一個函數y＝，使它的圖象與矩形OABC的邊有兩個公共點，這個函數的表達式可以為（答案不唯一）．17．給定函數y＝，下列說法正確的有．①不等式y＞0的解為：x＜或x＞1；②無論t為何值，方程y＝t一定有解；③若點（x1、y1），（x2，y2）在該函數圖象上而且x1＜x2，則y1＞y2；④經過原點的直線和該函數的圖象一定有交點；⑤該函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．18．函數y1＝x與y2＝的圖象如圖所示，下列關于函數y＝y1+y2的結論：①函數的圖象關于原點中心對稱；②當x＜2時，y隨x的增大而減小；③當x＞0時，函數的圖象最低點的坐標是（2，4），其中所有正確結論的序號是．19．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點A，B，與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點C，若AB＝BC，則k的值為．20．已知點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為．21．已知點A為直線y＝﹣2x上一點，過點A作AB∥x軸，交雙曲線y＝于點B．若點A與點B關于y軸對稱，則點A的坐標為．22．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x與函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，直線y＝x﹣1與函數y＝（x＞0）的圖象交于點B，與x軸交于點C．若點B的橫坐標是點A的橫坐標的2倍，則k的值為．23．已知點A是反比例函數y＝﹣（x＜0）的圖象上的一個動點，連接OA，若將線段OA繞點O順時針旋轉90°得到線段OB，則點B所在圖象的函數關系式是．24．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分別以A1，A2，A3…為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點C1，C2，C3…均在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，則點A2021的坐標為．專項26反比例函數圖像和性質（3大類型）【考點1反比例函數性質】1．若反比例函數y＝的圖象經過點（2，﹣3），則k＝．【答案】﹣6【解答】解：∵反比例函數y＝的圖象經過點（2，﹣3），∴﹣3＝，解得，k＝﹣6，故答案為：﹣6．2．若反比例函數的圖象在第二、四象限，m的值為．【答案】-2【解答】解：∵是反比例函數，∴3﹣m2＝﹣1．解得：m＝±2．∵函數圖象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．3．已知反比例函數y＝圖象位于一、三象限，則m的取值范圍是．【答案】m＜6【解答】解：∵反比例函數y＝圖象位于一、三象限，∴﹣（m﹣6）＞0，解得m＜6．故答案是：m＜6．4．在反比例函數y＝的圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．【答案】m＜2【解答】解：依題意得：m﹣2＜0，解得m＜2故答案是：m＜2．5．已知點A（2，a）、B（b，﹣3）都在函數的圖象y＝上，若將這個函數圖象向左平行3個單位長度，則曲線AB所掃過的圖形的面積是．【答案】9【解答】解：將A、B兩點代入函數解析式，得：a＝﹣6，b＝4，∴A（2、﹣6）、B（4，﹣3），∴向左平行3個單位長度后A的對應點A'（﹣1，﹣6），B的對應點B'（1，﹣3）．∴平行四邊形ABB'A'的底＝3，高＝﹣3﹣（﹣6）＝3，∴平行四邊形ABB'A'的面積＝3×3＝9，∴曲線AB所掃過的圖形的面積＝平行四邊形ABB'A'的面積＝9．故答案為：9．【考點2反比例大小比較】6．若點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系為．【答案】y2＜y1＜y3【解答】解：∵反比例函數y＝（k為常數），k2+1＞0，∴該函數圖象在第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，∵點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，﹣1＜﹣，點A、B在第三象限，點C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1＝kx+b的圖象與反比例函數y2＝的圖象交于點A（﹣2，2），B（n，﹣1）．當y1＜y2時，x的取值范圍是．【答案】﹣2＜x＜0或x＞4【解答】解：∵反比例函數y2＝的圖象經過點A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由圖象可知：第二象限中點A的右側部分和第四象限中點B右側的部分滿足y1＜y2，∴當y1＜y2時，x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞4．故答案為：﹣2＜x＜0或x＞4．8．如圖，正比例函數y1＝k1x（k1≠0）與反比例函數y2＝（k2≠0）的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為1．當k1x＜時，x的取值范圍是．【答案】0＜x＜1或x＜﹣1【解答】解：由正比例函數與反比例函數的對稱性可得點B橫坐標為﹣1，由圖象可得當k1x＜時，x的取值范圍是0＜x＜1或x＜﹣1．故答案為：0＜x＜1或x＜﹣1．【考點3反比例函數與其他綜合運用】9．在一個不透明的紙箱內裝有形狀、質地、大小、顏色完全相同的5張卡片，卡片上分別標有數字﹣3，﹣1，0，1，2，將它們洗勻后，背面朝上，從中隨機抽取1張，把抽得的數字記作a，再從剩下的卡片中隨機抽取1張，把抽得的數字記作b，則使得反比例函數的圖象經過第一、三象限的概率為．【答案】【解答】解：∵反比例函數的圖象經過第一、三象限，∴ab＞0，畫樹狀圖得：則共有20種等可能的結果，ab為正數的所有可能值為：3，3，2，2；∴使得反比例函數的圖象經過第一、三象限的概率為＝．故答案為：．10．反比例函數y＝（k為整數，且k≠0）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點A的坐標為（2，1），則k的值是．【答案】1【解答】解：假設點A（2，1）在反比例函數y＝（k為正整數）第一象限的圖象上，則1＝，∴k＝2，但是點A在反比例函數y＝（k為正整數）第一象限的圖象的上方，∴k＜2，∵k為整數，且k≠0，k＞0，∴k＝1，故答案為：1．11．當≤x≤2時，函數y＝的圖象為曲線段CD，y＝﹣2x﹣b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，若曲線段CD在△AOB的內部（且與三條邊無交點），則b的取值范圍為．【答案】b＜﹣【解答】解：反比例函數y＝，當≤x≤2時，≤y≤2，∵曲線段CD在△AOB的內部（且與三條邊無交點），∴當x＝，﹣2×﹣b＞2①，當x＝2時，﹣2×2﹣b＞②，解①得b＜﹣3，解②得b＜﹣，因此，b的取值范圍為b＜﹣．故答案為：b＜﹣．12．當1≤x≤2時，反比例函數y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值與最小值之差是1，則k的值是．【答案】±2【解答】解：當k＞0時，在其每一象限內，反比例函數y隨x的增大而減小．∴，解得k＝2，當﹣3＜k＜0時，在其每一象限內，反比例函數y隨x的增大而增大．，解得k＝﹣2，綜上所述，k＝±2．答案：±2．13．如圖，曲線AB是拋物線y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點，B是頂點），曲線BC是雙曲線y＝（k≠0）的一部分．曲線AB與BC組成圖形W．由點C開始不斷重復圖形W形成一組“波浪線”．若點P（2020，m），Q（x，n），在該“波浪線”上，則m的值為，n的最大值為．【答案】1，5【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴當x＝0時，y＝1，∴點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，5），∵點B（1，5）在y＝的圖象上，∴k＝5，∵點C在y＝的圖象上，點C的橫坐標為5，∴點C的縱坐標是1，∴點C的坐標為（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在拋物線y＝﹣4x2+8x+1的圖象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵點Q（x，n）在該“波浪線”上，∴n的最大值是5，故答案為：1，5．14．如圖，在△ABO中，∠ABO＝90°，點A的坐標為（3，4）．寫出一個反比例函數y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個不同的交點，這個函數的表達式為．【答案】y＝（答案不唯一）【解答】解：∵∠ABO＝90°，點A的坐標為（3，4），反比例函數y＝（k≠0），使它的圖象與△ABO有兩個不同的交點，∴這個函數的表達式為：y＝（答案不唯一）．故答案為：y＝（答案不唯一）．15．如圖，點P（4a，a）是反比例函數y＝（k＞0）與⊙O的一個交點，圖中陰影部分的面積為17π，則反比例函數的解析式為．【答案】y＝【解答】解：∵圖中陰影部分的面積為17π，∴圓的面積＝4×17π＝68π，∴圓的半徑＝2，∵P（4a，a）在圓上，∴16a2+a2＝（2）2，解得a＝2或﹣2（舍去），∴P點坐標為（8，2），把P（8，2）代入y＝得k＝8×2＝16，∴反比例函數的解析式為y＝．故答案為y＝．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC，OA＝2，OC＝1，寫出一個函數y＝，使它的圖象與矩形OABC的邊有兩個公共點，這個函數的表達式可以為（答案不唯一）．【答案】y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一個數）【解答】解：∵矩形OABC，OA＝2，OC＝1，∴B點坐標為（2，1），當函數y＝（k≠0）過B點時，k＝2×1＝2，∴滿足條件的一個反比例函數解析式為y＝．故答案為：y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一個數）；17．給定函數y＝，下列說法正確的有．①不等式y＞0的解為：x＜或x＞1；②無論t為何值，方程y＝t一定有解；③若點（x1、y1），（x2，y2）在該函數圖象上而且x1＜x2，則y1＞y2；④經過原點的直線和該函數的圖象一定有交點；⑤該函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【答案】①④⑤【解答】解：函數y＝可化為：y＝＝3+①當y＞0時，或解得：x＞1或x＜故①正確；②∵y＝3+∴y≠3∴當t＝3時，y＝3，方程無解；故②錯誤；③若取x＝0，則y＝1；x＝3，y＝40＜3，1＜4，故③錯誤；④∵y＝3+可看作由y＝向右平移一個單位，再向上平移三個單位∴經過原點的直線和該函數的圖象一定有交點故④正確；⑤∵y＝既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，y＝3+是y＝平移之后的圖形，故其既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形故⑤正確綜上，正確的選項有：①④⑤故答案為：①④⑤．18．函數y1＝x與y2＝的圖象如圖所示，下列關于函數y＝y1+y2的結論：①函數的圖象關于原點中心對稱；②當x＜2時，y隨x的增大而減小；③當x＞0時，函數的圖象最低點的坐標是（2，4），其中所有正確結論的序號是．【答案】①③【解答】解：①由圖象可以看出函數圖象上的每一個點都可以找到關于原點對稱的點，故正確；②在每個象限內，不同自變量的取值，函數值的變化是不同的，故錯誤；③y＝x+＝（﹣）2+4≥4，當且僅當x＝2時取“＝”．即在第一象限內，最低點的坐標為（2，4），故正確；∴正確的有①③．故答案為：①③．19．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點A，B，與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點C，若AB＝BC，則k的值為．【答案】2【解答】解：過點C作CH⊥x軸于點H．∵直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點A，B，∴A（﹣1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（1，2），∵點C在y＝的圖象上，∴k＝2，故答案為：2．20．已知點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為．【答案】5或2或【解答】解：當AO＝AB時，AB＝5；當AB＝BO時，AB＝5；當OA＝OB時，設A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；綜上所述，AB的長為5或2或．故答案為：5或2或．21．已知點A為直線y＝﹣2x上一點，過點A作AB∥x軸，交雙曲線y＝于點B．若點A與點B關于y軸對稱，則點A的坐標為．【答案】（，﹣2）或（﹣，2）【解答】解：因為點A為直線y＝﹣2x上，因此可設A（a，﹣2a），則點A關于y軸對稱的點B（﹣a，﹣2a），由點B在反比例函數y＝的圖象上可得2a2＝4，解得a＝±所以A（，﹣2）或（﹣，2），故答案為：（，﹣2）或（﹣，2）．22．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x與函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，直線y＝x﹣1與函數y＝（x＞0）的圖象交于點B，與x軸交于點C．若點B的橫坐標是點A的橫坐標的2倍，則k的值為．【答案】【解答】解：直線y＝x與函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，∴k＞0，設A（a，a），則B（2a，2a﹣1），代入y＝，，即a＝2a﹣1，解得，a＝，把a＝，代入a＝，得k＝，故答案為：．23．已知點A是反比例函數y＝﹣（x＜0）的圖象上的一個動點，連接OA，若將線段OA繞點O順時針旋轉90°得到線段OB，則點B所在圖象的函數關系式是．【答案】y＝（x＞0）【解答】解：如圖，∵點A是反比例函數y＝﹣（x＜0）的圖象上∴