第04講指數與指數函數

目錄

模擬基礎練......................................................................2

題型一：指數幕的運算..........................................................................2

題型二：指數函數的圖象及應用..................................................................2

題型三：指數函數過定點問題....................................................................3

題型四：比較指數式的大小......................................................................3

題型五：解指數方程或不等式....................................................................4

題型六：指數函數的最值與值域問題..............................................................4

題型七：指數函數中的恒成立問題................................................................4

題型八：指數函數的綜合問題....................................................................5

重難創新練......................................................................6

真題實戰練......................................................................9

梢陽建礎饗

//

題型一：指數幕的運算

x2+%-2-7

1.已知人YWI人—一J3，計算:1~?

x+X~1+X2+X2

?

2.42+(72-1)°-8i-43-(A/2)=

3.化簡求值：

za4a4a

⑴nE")；

(2)(?+^^+2.(e-l)°-8；x蚯.

題型二：指數函數的圖象及應用

4.若函數g(x)與函數〃x)=2，+l的圖象關于直線y=x對稱，則g(x)的大致圖象是()

A.B.C.--,+oojD.(-oo,-l]

6.當尤>2時，函數y=401(4>0,且“片1)的圖象恒在函數丫=3彳-4的圖象下方,則4的取值范圍為.

7.設。、6分另！J是方程2*+尤+2=0與1睢彳+彳+2=0的根，則a+6=.

題型三：指數函數過定點問題

8.已知函數/5)=4+"+1(〃>0,。*1)的圖象經過定點2，則點P的坐標是.

9.對。>0且awl的所有正實數，函數y=的圖象一定經過一定點，則該定點的坐標是.

10.已知函數/(x)=a*+5+4(a>0,awl)恒過定點MQ","),則函數g(x)=機+“、的圖像不經過第象

限.

11.已知常數。>0且。片1,假設無論。取何值，函數y=log,(x+8)-2的圖像恒過定點A,且點A的橫坐

標為％.又已知常數6>0且>W1,假設無論b取何值，函數、="-'。+1的圖像恒過定點B,則點8的坐標

為.

題型四：比較指數式的大小

12.若〃=2",6=2",。="9,貝|J()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

13.(2024?全國?模擬預測)已知q=4e；,b=9^9c=6f則b,c()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

_L2

14.已知a=1|j,6=g『，c=2""T，則()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

題型五：解指數方程或不等式

15.方程5,+5㈤+5"2=3,+3同+3?2的解為.

16.方程3'/57二*+5乒=2的解為.

17.不等式8>3一"的解集是.

18.設則關于X的不等式/幺+3>々6的解集是.

題型六：指數函數的最值與值域問題

19.函數>=3g(04x44)的最大值是

20.函數/(x)=4'-2x2*—3,尤e[0,2]的最小值是.

ex+e-x-2,x>0

21.(2024?四川綿陽?模擬預測)已知函數f(x)=<則〃力的值域為.

x2+2x,x<0

22.設函數/⑺是定義域為R的偶函數，g(x)是定義域為R的奇函數，且“尤)+g(x)=2叫

⑴求〃力與g(x)的解析式；

⑵若/?(x)=〃2x)-2/ng(x)在[1,+co)上的最小值為一2,求加的值.

題型七：指數函數中的恒成立問題

23.不等式4，-27+°>0對任意xeR都成立，則實數。的取值范圍________.

24.若實數be[-l,2],使得2〃(a+。)“恒成立，則實數a的取值范圍是.

25.已知指數函數〃到=(3。2-10“+4片(。>0且"1)在其定義域內單調遞增.設函數

g(x)=/(2x)-(m-4)/(x)-3,當/ne[2,6]時,函數g(x)N0恒成立,則x的取值范圍是

26.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，/(x)=^—+1.

⑴求函數“X)的解析式；

⑵若對于任意實數無，不等式f(e2，)+2W(e')20恒成立，求實數。的取值范圍.

題型八：指數函數的綜合問題

出—11x<l

27.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(力=1'"，若方程2「/⑴丫_伍+2)"(耳+〃=0有

x-6x+8,x>l

7個不同的實數根，則實數。的取值范圍是.

28.已知函數==

(1)若存在xe(O,y),使得/(x)=r-2*+g成立，求實數f的取值范圍；

⑵若不等式〃2X)+2Z8(X”0,對任意的xe[l，4恒成立，求實數6的取值范圍.

29.已知函數"x)=Q、y_2x2T

(1)求不等式/(x)Z0的解集；

(2)求的值域;

(3)當xeR時，不等式〃龍)>機-2*-12恒成立，求加的取值范圍.

30.(2024?河南?模擬預測)已知/⑺為定義在R上的偶函數，g(x)=qg,且f(x)+g(x)=2用.

⑴求函數“X),g(x)的解析式;

(2)求不等式2"⑺丁_3g(尤)V8的解集.

31.設函數=(0>0且"1)是定義域為R的奇函數.

（1）若/⑴>0,試求不等式/（/+2；0+/。-4）>0的解集；

3

（2）若了⑴后，且g（x）-a-4/（x）,求g（x）在［1,+8）上的最小值及取得最小值時的x的值.

1.（2024?廣東茂名?模擬預測）自“ChatGPT”橫空出世，全球科技企業掀起一場研發AI大模型的熱潮，

隨著AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大規模應用成為可能，尤其在圖文創意、虛擬數字人以及工業軟

件領域已出現較為成熟的落地應用.Sigmoid函數和Tanh函數是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經

v_-%3

網絡的激活函數，Tanh函數的解析式為tanhx=ee經過某次測試得知tanhx。==,則當把變量減半

e'+e-x5

時，tanh—=()

2

；或

A.—B.3C.1D.3

3

2

2.（2024?山東-二模）已知〃:1<2"<4,q,.x-ax—1<0f若"是q的充分不必要條件，則（)

33

A.〃2—B.0<a<-C.a>2D.0<a<2

22

3.已知實數也〃滿足機+lnm=4,幾In幾+〃=e25，則機〃的值為（)

345

A./B.eC.eD.e

2v+1-8,x<l

4.(2024?山東泰安?二模)已知函數〃x)=4bgC+i),x>i且〃"z)=—12,則“6)=()

、2

A.—1B.—3C.—5D.—7

flY

?/\—|,x<0

5.（2024?江西景德鎮?三模）已知函數〃力=（2）是奇函數，則1>0時，g（x）的解析式為（）

g（x）,x〉0

B.C.-2XD.2,

e-a

6.（2024?貴州畢節?三模）已知函數，（x）=是奇函數，若/（2023）>/（2024），則實數。的值為（）

e+a

A.1B.-1C.±1D.0

7.（2024?福建南平?二模）對任意非零實數a,當國充分小時，（1+x）"。1+改兀如：

V5=7471=2^1Z1?2x^l+lx^=2.25,用這個方法計算近的近似值為（）

A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919

8.（2024?廣東廣州?二模）若馬是方程〃g（x））=g（〃x））的實數解，則稱%是函數y=/（x）與y=g（x）

的“復合穩定點”.若函數“力="（。>0且。彳1）與g（x）=2x-2有且僅有兩個不同的“復合穩定點”，則a的

取值范圍為（）

,x>0,

9.（2024?山東濰坊?二模）已知函數〃x）=則圖象上關于原點對稱的點有（）

-|x2+2x|,x<0,

A.1對B.2對C.3對D.4對

10.（多選題）（2024?吉林長春?模擬預測）已知函數/（耳=m］，則下列說法正確的是（）

A.函數/（x）單調遞增

B.函數“X）值域為（0,2）

C.函數的圖象關于（0,1）對稱

D.函數“X）的圖象關于（1』）對稱

11.（多選題）（2024?福建廈門?三模）若a<b<0,則（）

a4b

A.a2>b~B.ab<b2C.2">2*D.-+一>4

ba

12.（多選題）（2024?云南曲靖?二模）己知集合S,T,定義57={爐U€5?€7},則下列命題正確的

是（）

A.若5={1921,1949},T={0,1},則。與的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示實數集，R+表示正實數集，則$R=R+

C.若5={2024}4表示實數集，則RS=R

D.若5={2049}4+表示正實數集，函數〃x）=log2024X,無e（R+『，則2049屬于函數的值域

3Q_________1

13.(2024?四川?模擬預測)已知實數，%”滿足下列等式8向+■("=?,log4痂1+根=，貝U

883

4m+〃=.

14.(2024?全國?模擬預測)已知機，”為均不等于1且不相等的正實數.若函數〃x)=3*(*-叫是奇

函數，則切孔二.

15.(2024?北京房山?一模)若對任意wwR,函數了(%)滿足人》/(幾)=/(根+幾)，且當根〉〃時，都有

/(m)</(?),則函數/(x)的一個解析式是.

16.(2024?上海黃浦?二模)設awR,函數

2-1

⑴求。的值，使得y=/(x)為奇函數；

(2)若/(2)=a,求滿足的實數x的取值范圍.

17.已知函數了(0=/、+一且〃lg2)+〃lg5)=3.

⑴求a的值；

⑵當無目-1,1］時，/(“24'+加恒成立，求機的取值范圍.

7

18.已知關于x的不等式4、+4一“<2、+2-"+:的解集為M.

⑴求集合M;

(2)若用,〃￡“，且機>0,n>0,Vm+2Vn=1,求」—+-嬴的最小值.

4mnn

19.已知函數""=3"xeR

⑴若小)一32

求x的值;

⑵若方程/(?2-4尤)=9在［1,2］上有實數解，求實數a的取值范圍.

1.(2023年新課標全國I卷數學真題)設函數/(X)=2QY)在區間(0,1)上單調遞減，則。的取值范圍是()

A.2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

2.(2022年高考全國甲卷數學(文)真題)已矢口9-=10,。=10"-11,6=8"-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

3.(2022年新高考北京數學高考真題)已知函數/(*)=$,則對任意實數x,有()

1+2

A./(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0

C.-(x)=lD.=1

4.(2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(四川卷))函數y=。*-1(。>0,。*1)的圖像可能

42

5.（2016年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（新課標3卷精編版））已知Q=2§，*公

則（