25概率

摸球不放回

題型4:列舉法求概率-不放回型

題型1:必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件選人問題

題型2:概率公式及計(jì)算

概率

題型6:利用頻率估計(jì)概率

數(shù)字

摸球題型3:列舉法求概率-放回型或獨(dú)立型

題型7:統(tǒng)計(jì)概率綜合

硬幣

選購方案

I1■.寶記必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件I

(1)必然事件

在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件.

(2)不可能事件

在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件.

(3)隨機(jī)事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

叵缸一

i1.必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機(jī)事件又稱為“不確定事件”；

i2.要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最i

!大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可1

|能性的大小有可能不同.

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

I題型1:必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件i

曬1.“對(duì)于二次函數(shù)y=(久一1)2+1,當(dāng)x21時(shí)，y隨x的增大而增大”，這一事件為()

A.必然事件B.隨機(jī)事件C.不確定事件D.不可能事件

【答案】

IAI

【解析】【解答】解：由題意知，該二次函數(shù)的圖象在對(duì)稱軸直線％=1的右側(cè)，y隨x的增大而增

卜！

!.??為必然事件

I故答案為：A.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，由題意可知，

ja=l,對(duì)稱軸直線久=1,故“當(dāng)工時(shí)，y隨x的增大而增大”為必然事件.

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

【變式1-1】下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

B.從一個(gè)只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球

C.班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天

D.經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈

【答案】B

【解析】【解答】解：A、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件；故A不符合題意；

：B、從一個(gè)只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球，是不可能事件，故B符合題意；

jc、班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天，是隨機(jī)事件；故C不符合題意；

|D、經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；

i故答案為：B.

【分析】隨機(jī)事件是在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；必然事件是在一定條件下，一:

!定發(fā)生的事件；不可能事件是在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；據(jù)此判斷即可.

I______________________________________________________________________________________________________________________________I

【變式1-2】事件①：任意畫一個(gè)多邊形，其外角和為360。；事件②：經(jīng)過一個(gè)有交通信號(hào)燈的十i

1字路口，遇到紅燈；則下列說法正確的是（）

A.事件①和②都是隨機(jī)事件

B.事件①是隨機(jī)事件，事件②是必然事件

C.事件①和②都是必然事件

D.事件①是必然事件，事件②是隨機(jī)事件

【答案】D

【解析】【解答】解：事件①：任意畫一個(gè)多邊形，其外角和為360。，這是必然事件；

|事件②：經(jīng)過一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口，可能遇見紅燈、綠燈或黃燈，所以遇到紅燈，這是

!隨機(jī)事件；

!故答案為：D.

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不會(huì)發(fā)生的事件就是隨機(jī)事件；在一定條件下，一定不j

「會(huì)爰王的事庫康是示而能事?lián)瘢晃逡槐弱沟t不，一兔會(huì)反軍的事許疑是宓荻富和；仄而藕外至運(yùn)效］

I外角和均為360。可判斷①；經(jīng)過一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口，可能遇到紅燈、黃燈、綠燈，據(jù)此1

i判斷②.

概率的意義注意：

⑴概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似

概率是從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生

值；

的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，

（2）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小；

如果事件A發(fā)生的頻率^會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)r

（3）事件A的概率是一個(gè)大于等于0,且小于等于

附近，那么這個(gè)常數(shù)廣就叫做事件A的概率，記

1的數(shù)，，即ILr.L1,其中P（必然事件）=1,

為"=1二

P（不可能事件）=0,0〈P（隨機(jī)事件）<1.

題型2:概率公式及計(jì)算

豳2.不透明袋中裝有3個(gè)紅球和5個(gè)綠球，這些球除顏色外無其他差別.從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是

紅球的概率為（）

A-iB-1c-iD-1

【答案】A

【解析】【解答】解：袋中裝有3個(gè)紅球和5個(gè)綠球共8個(gè)球，

從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率為1.

O

故答案為：A.

【分析】利用紅球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即可得到摸出1個(gè)球是紅球的概率.

【變式2-1］從-2,0,2,3中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)，是不等式2x-321的解的概率為（）

A-1B-1c-1D-1

【答案】c

【解析】【解答】解：解2%-321得：%>2,

所以滿足不等式的數(shù)有2和3兩個(gè)，

所以從-2,0,2,3中隨機(jī)選一個(gè)數(shù)，是2支一321的解的概率為：1=1

4Z

故答案為：C.

【分析】先求出滿足不等式的數(shù)有2和3兩個(gè)，再求概率即可。

【變式2-2］在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)Si、S2、S3中的兩個(gè)，能讓燈泡Li發(fā)光的概率是

【答案】B

【解析】【解答】解：隨機(jī)閉合開關(guān)Si、S2、S3中的兩個(gè)，即：S1+S2,S1+S3,S2+S3

I.??共3種情況

|根據(jù)題意，得能讓燈泡L1發(fā)光的組合為：S1+S2

I?.能讓燈泡Li發(fā)光的概率是

!故答案為：B.

【分析】列舉出所有可能出現(xiàn)的情況數(shù)，然后找出能讓燈泡L1發(fā)光的組合數(shù)，接下來利用概率公

|式進(jìn)行計(jì)算.

用列舉法求概率

列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可

i能的結(jié)果，通常采用列表法；列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以

I及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

樹狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用

|樹形圖；樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生

I的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

I注意:

(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；

(2)列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

(3)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；

I

(4)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.

題型3:列舉法求概率-放回型或獨(dú)立型

曬3（轉(zhuǎn)盤）.如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A.B,這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了表面顏色不同外，

其它構(gòu)造完全相同.游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色，那么

紅色和藍(lán)色在一起能配成紫色.請(qǐng)你用列表法或樹狀圖法，求游戲者不能配成紫色的概率.

【答案】解：A轉(zhuǎn)盤紅色區(qū)域是藍(lán)色區(qū)域的2倍，B轉(zhuǎn)盤藍(lán)色區(qū)域是紅色區(qū)域的2倍,

:.畫樹狀圖如下圖：

I共有9個(gè)等可能的結(jié)果，游戲者不能配成紫色的結(jié)果有4個(gè)，

|游戲者不能配成紫色的概率P=^.

【解析】【分析】觀察轉(zhuǎn)盤可知，A轉(zhuǎn)盤紅色區(qū)域是藍(lán)色區(qū)域的2倍，B轉(zhuǎn)盤藍(lán)色區(qū)域是紅色區(qū)域的2

1倍，由題意畫出樹狀圖，由樹狀圖的信息可得，共有9個(gè)等可能的結(jié)果，游戲者不能配成紫色的結(jié)果

1有4個(gè)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解.

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【變式3；】如圖，有一轉(zhuǎn)盤中有A、B兩個(gè)區(qū)域，A區(qū)域所對(duì)的圓心角為120。，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)

:兩次.利用樹狀圖或列表求出兩次指針都落在A區(qū)域的概率。

rn

開始

【答案】解：將B區(qū)域平分成兩部分，畫樹狀圖得：ABB???共有9種等

/T\/1\/1\

ABBABRABB

可能的結(jié)果，兩次指針都落在A區(qū)域的只有1種情況，.?.兩次指針都落在A區(qū)域的概率為：|.

【解析】【分析】觀察圖形A的圓心角是120。，而B的圓心角是240。，因此將B區(qū)域分成兩部分，

先列出樹狀圖，再求出所有等可能的結(jié)果數(shù)及兩次指針都落在A區(qū)域的可能數(shù)，再根據(jù)概率公式求

解即可。

曬4（數(shù)字）.一個(gè)紙箱內(nèi)裝有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字-4,6,4的卡片，卡片除正面數(shù)字外其他均

相同.將三張卡片攪勻后，從中隨機(jī)摸出一張卡片記下數(shù)字，放回后攪勻，再從中隨機(jī)摸出一張卡

片并記下數(shù)字.請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求兩次取得數(shù)字的絕對(duì)值相等的概率.

【答案】解：列樹狀圖如下所示:

第一次

第二次

由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù),

]-4|=4,|4|=4,|6|-6,

當(dāng)兩次摸到相同的數(shù)字，或者摸到一個(gè)4,一個(gè)-4,那么兩次摸到的數(shù)的絕對(duì)值就相等,

由樹狀圖可知兩次取得數(shù)字的絕對(duì)值相等的結(jié)果數(shù)有5種,

P兩次取得數(shù)學(xué)的絕時(shí)值相等—5

【解析】【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

【變式4-1】有四張大小、質(zhì)地都相同的不透明卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4（背面完全相

同），現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，洗勻后從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后再從中任

意抽取一張，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次抽取的卡片上的數(shù)字和等于5的概率.

【答案】解：根據(jù)題意畫圖如下:

開始

會(huì)4rfh介4

共有16種的可能的情況數(shù)，其中兩次數(shù)字和為5的有4種，

則兩次數(shù)字和為5的概率實(shí)數(shù)六=[

【解析】【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式4-2】桌面上放有不透明的四張卡片，每張卡片正面都寫有一個(gè)數(shù)字，分別是1,2,3,4,

它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻.隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字后放回，洗勻

后再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次數(shù)字和為4的概率.

【答案】解：根據(jù)題意畫圖圖下：

共有16種等可能的情況數(shù)，其中兩次數(shù)字之和為4的有3種，

則兩次數(shù)字之和為4的概率是：義.

16

【解析】【分析】畫出樹狀圖，找出總情況數(shù)以及兩次數(shù)字之和為4的情況數(shù)，然后利用概率公式

進(jìn)行計(jì)算.

豳5（摸球）.不透明的口袋里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球（除顏色不同外，其它都相同）.現(xiàn)進(jìn)行兩

次摸球活動(dòng)，第一次隨機(jī)摸出一個(gè)小球后不放回，第二次再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，請(qǐng)用樹狀圖或列表

法，求兩次摸出的都是紅球的概率.

【答案】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下:

第欠

紅

-紅I2

X\/

-——\

\-

、D

紅

欠

第

M幺

黃

黃

黃

-1黃

-122一1

共有12種結(jié)果，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，正確的結(jié)果有2種,

所以P（兩次摸出的都是紅球）=/=1.

126

【解析】【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果，得出每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，正

確的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可。

【變式5-1】口袋裝有3只形狀大小一樣的球，其中2個(gè)球是紅色，1個(gè)球是白色，規(guī)定游戲者一次

從口袋中摸出一個(gè)球，然后放回第二次再摸一個(gè)球，然后再放回.甲兩次摸到紅球獲勝，乙摸到一紅

一白或二白獲勝，你認(rèn)為游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說明理由

【答案】解：這個(gè)游戲?qū)﹄p方是不公平的.

/N/1\/N

?訂打白打纖白幻■打白

|?一共有9種情況，兩次摸到紅球的有4種，摸到一紅一白或二白的有5種，

iAP（兩個(gè)紅球）=為P（一紅一白）=I，概率不相同，那么游戲不公平.

【解析】【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，表示出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再分別找出兩次摸到紅

I球的結(jié)果數(shù)和摸到一紅一白或二白的結(jié)果數(shù)，最后分別計(jì)算求概率，再比較大小即可作答.

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【變式5-2】在一個(gè)不透明的紙箱里裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.小明和小亮

|做摸球游戲，游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放

|回，將小球搖勻，再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮

I贏.這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)你用樹狀圖或列表法說明理由.

【答案】解：如表所不：

IT2次d紅e

次

a（紅.紅）（紅，）(flL.B)

紅（a.n）（紅.白）

白（白,紅）（B.a）（白?白）

由上述表格可得：

P（小明贏）,p（小亮贏）=《

此游戲?qū)﹄p方不公平，小明贏的可能性大.

rn

【解析】【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率

是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.

豳6（硬幣）.連續(xù)兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面朝上的概率是（）

【答案】B

【解析】【解答】解：畫樹狀圖如圖所示:

第一次

第二^

共有4種情況，兩次都正面朝上的情況只有一種，所以兩次都是正面朝上的概率是

故答案選：B.

【分析】先利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式6-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)擲三次，出現(xiàn)“一次正面，兩次反面”的概率為（）

【答案】B

【解析】【解答】

正反正反T反正反

共8種情況，出現(xiàn)“一次正面，兩次反面”的情況有3種，所以概率=|,故答案選擇B.

O

【分析】利用樹狀圖分析，即可得出答案.

豳7（選購方案）.某公司有甲、乙兩種品牌的打印機(jī)，其中甲品牌有A、B兩種型號(hào)，乙品牌有

C、D、E三種型號(hào).某中學(xué)計(jì)劃從甲、乙兩種品牌中各選購一種型號(hào)的打印機(jī).

（1）利用樹狀圖或列表法寫出所有的選購方案；

r1

（2）如果各種型號(hào)的打印機(jī)被選購的可能性相同，那么C型號(hào)打印機(jī)被選購的概率是多少？

【答案】解：（1）所列樹狀圖或列表為:

B

CDEcADE

CDE

AA、CA、DA、E

選購方案：（A、C）、（A、D）、（A、E）、（B、C）、（B、D）、（B、E）.

（2）由（1）知，C型號(hào)打印機(jī)被選購的概率是

63

【解析】【分析】（1）用樹狀圖或列表法分2步列舉出所有情況即可;

（2）C型號(hào)打印機(jī)被選中的情況數(shù)除以總情況數(shù)即可.

【變式7-1】甲、乙、丙、丁4人聚會(huì)，每人帶了一件禮物，4件禮物外盒包裝完全相同，將4件禮|

!物放在一起.甲先從中隨機(jī)抽取一件，不放回，乙再從中隨機(jī)抽取一件，求甲、乙兩人抽到的都不

!是自己帶來的禮物的概率.

【答案】解：設(shè)甲、乙、丙、丁4人的禮物分別記為a、b、c、d,

|根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖：

開始

i甲abCd

II乙bAdcaAdcaAdbaAbcI

一共有12種等可能的結(jié)果，甲、乙2人抽到的都不是自己帶來的禮物的結(jié)果有7個(gè)，

!甲、乙兩人抽到的都不是自己帶來的禮物的概率為2.

【解析】【分析】利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

I---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

題型4:列舉法求概率-不放回型

豳8（摸球不放回）.一只不透明的箱子里共有3個(gè)球，其中2個(gè)白球.1個(gè)紅球，它們除顏色外均相

i同.從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個(gè)球.請(qǐng)你用列表S

1________________________________________________________________________________________I

I---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

,或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率.

【答案】解：樹狀圖如下所不：

開始

第一次白紅白

AAA

第二次白紅白紅白紅

由樹狀圖可知，一共有6種等可能性的結(jié)果，其中兩次摸到白球的結(jié)果數(shù)有2種

.?_2_1

?,r兩次摸到白球

【解析】【分析】利用樹狀圖求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式8-1】在一個(gè)不透明的盒子中，共有三顆白色和一顆黑色圍棋棋子，它們除了顏色之外沒有

其他區(qū)別.隨機(jī)地從盒子中取出一顆棋子后，不放回再取出第二顆棋子，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法

表示所有結(jié)果，并求出恰好取出“一白一黑”兩顆棋子的概率.

【答案】解：樹狀圖如下，

門2門3黑Hlri3黑臼1白2黑白1白2小

由樹狀圖可知，共有12種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，其中“一白一黑”有6種，所

以恰好取出“一白一黑”兩顆棋子的概率為P0.

【解析】【分析】根據(jù)樹狀圖列舉所有等可能的結(jié)果與“一白一黑”的情況，再利用概率公式即可求

解.

------------------------------------------------------------------------------------------------

豳9（選人問題）.某市準(zhǔn)備舉行初中生“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，學(xué)校通過初賽選出了2位男生A、B和2

位女生C、D共4位選手，準(zhǔn)備從4人中任選2人代表學(xué)校參加比賽.求所選代表都是女生的概

率.

【答案】解：畫樹狀圖如下：

;共有12種等可能的結(jié)果，其中所選2人都是女生的有2種，即C。、DC,

\-.P（所選代表都是女生）=/=[

Iz6

【解析】【分析】先畫樹狀圖求出共有12種等可能的結(jié)果，其中所選2人都是女生的有2種，再

!求概率即可。

【變式9-1】某中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)代表學(xué)校參加全市

|漢字聽寫大賽.

（1）請(qǐng)用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；

（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.

【答案】（1）解：畫樹狀圖得：

/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

（2）解：?.?恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，

.?.恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為：?=|.

【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）由（1）可求得恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，然后利用概率公式求解即可求

得答案.

利用頻率估計(jì)概率注意：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡

可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),

當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的

結(jié)果將較為精確.

可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概

題型5:游戲的公平性

豳10.現(xiàn)有A、B兩個(gè)不透明袋子，分別裝有3個(gè)除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有2個(gè)

白球，1個(gè)紅球；B袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球.小華和小林商定了一個(gè)游戲規(guī)則：從搖勻后的

A,B兩袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸出的這兩個(gè)小球，若顏色相同，則小華獲勝；若顏色不同，則

小林獲勝.請(qǐng)用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平，如果不公平，誰獲

勝的機(jī)會(huì)大.

【答案】解：列表如下：

紅1紅2白

白1（紅1,白1）（紅2,白1）（白，白1）

白2（紅1,白2）（紅2,白2）（白，白2）

紅（紅1,紅）（紅2,紅）（白，紅）

由上表或可知，一共有9種等可能的結(jié)果，其中顏色相同的結(jié)果有4種，顏色不同的結(jié)果有5種.

/.p（顏色相同）=4，p（顏色不同）=|,

??4/5

?尸婷

...這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平，小林獲勝的機(jī)會(huì)大.

【解析】【分析】先利用列表法求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式分別求出顏色相同和顏

色不同的概率，再比較即可。

【變式10-1】為落實(shí)“十個(gè)一”活動(dòng)，學(xué)校組建了多個(gè)志愿者服務(wù)隊(duì)，小蓋和小呂通過做游戲決定誰

優(yōu)先選擇服務(wù)隊(duì)，游戲規(guī)則：兩人各擲一次質(zhì)地均勻的骰子，如果擲出的點(diǎn)數(shù)之和是小于7的偶

數(shù)，由小蓋優(yōu)先選擇服務(wù)隊(duì)；如果擲出的點(diǎn)數(shù)之和是大于6的奇數(shù)，由小呂優(yōu)先選擇服務(wù)隊(duì)，請(qǐng)利

用畫樹狀圖或列表的方法，判斷這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平.

【答案】解：列表如下：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

???共有36種等可能結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和是小于7的偶數(shù)的有9種，點(diǎn)數(shù)之和是大于6的奇數(shù)的有

12種，

???小蓋優(yōu)先選擇服務(wù)隊(duì)的概率為裊

304

小呂優(yōu)先選擇服務(wù)隊(duì)的概率為11=1,

363

.??這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.

【解析】【分析】利用列表法求出所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可。

【變式10-2】甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲，現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌，正面分別標(biāo)有數(shù)字2,

3,5,將這些牌背面朝上，洗勻后放在桌子上.甲從中隨機(jī)抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙

再隨機(jī)抽取一張，若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù)，則甲獲勝；其余情況乙獲勝.這個(gè)游戲公平

嗎？請(qǐng)利用樹狀圖或列表法來解釋說明.

【答案】解：這個(gè)游戲不公平，理由如下：

根據(jù)題意列樹狀圖如下：

所有等可能的結(jié)果有：4,5,7,5,6,8,7,8,10共9種，

.p_5p_4

??尸1一弓'尸2-g，

即數(shù)字是2的倍數(shù)的概率為|,數(shù)字不是2的倍數(shù)的概率為1,

..5、4

甲獲勝的概率大，這個(gè)游戲不公平.

【解析】【分析】先畫樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果有：4,5,7,5,6,8,7,8,10共9種，

H4

再求出Pi=d，P-a,最后求解即可。

19z29

題型6:利用頻率估計(jì)概率

豳11.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個(gè)，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出一

個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個(gè)球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出

的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個(gè)數(shù)約為0

A.20個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.50個(gè)

【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)袋子中有n個(gè)黑球，

rn

77

根據(jù)題意得元=0.4,

解得：n=20,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)摸出的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近可得黑球的概率約為0.4,根據(jù)概率公式列方程求解

即可.

【變式11-1］下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果:

投籃次

50100150200250400500800

數(shù)

投中次

286387122148242301480

數(shù)

投中頻

0.5600.6300.5800.6100.5920.6050.6020.600

率

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名球員投籃一次投中的概率約是（）

A.0.560B.0.580C.0.600D.0.620

【答案】C

【解析】【解答】解：???由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)

0.600附近，

這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.600.

故答案為：C.

【變式11-2］小紅利用計(jì)算機(jī)模擬“投針試驗(yàn)”：在一個(gè)平面上畫一組間距為d=0.73cm的平行線，

將一根長(zhǎng)度為1=0.59cm的針任意投擲在這個(gè)平面上，針可能與某一直線相交，也可能與任一直線

都不相交.下圖顯示了小紅某次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，那么可以估計(jì)出針與直線相交的概率是

（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.

rn

f“針與直線相交“鏟瀕率

0500100015002000250030003500400045005000期;煩

【答案】0.51

【解析】【解答】解：由實(shí)驗(yàn)可得：針與直線相交的頻率穩(wěn)定在0.514附近，

i而0.514=0.51,

I所以估計(jì)出針與直線相交的概率是0.51

I故答案為：0.51

I__【__分__析__】__利__用__頻__率__估__算__概_(tái)_率__即__可__得__到__答__案__。_________________________________________________

題型7:統(tǒng)計(jì)概率綜合

豳12.為提升學(xué)生的藝術(shù)素養(yǎng)，學(xué)校計(jì)劃開設(shè)四門藝術(shù)選性課：A.書法：B.繪畫：C.樂器：D.舞蹈.

i為了解學(xué)生對(duì)四門功課的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查

|的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一門）.將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)

!結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校為舉辦2021年度校園文化藝術(shù)節(jié)，決定從A.書法；B.繪畫；C.樂器；D.舞蹈四項(xiàng)藝

術(shù)形式中選擇其中兩項(xiàng)組成一個(gè)新的節(jié)目形式，請(qǐng)用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂器組合在一

起的概率.

【答案】（1）40；108

（2）解：C科目人數(shù)為：40Xa-10%-20%-40%;=12（人），

補(bǔ)全圖形如下：

學(xué)生選修課程條形統(tǒng)計(jì)圖

16

12

8

4

0

(3)解：畫樹狀圖為：

ABCD

/K/1\/^\/N

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好是“書法”與“樂器”組合在一起的結(jié)果數(shù)為2,

所以書法與樂器組合在一起的概率為亮=|

Iz6

【解析】【解答】(1)解：本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：4-10%=40(人)，

zcr=360°xfl-10%-20%-40%;=108°

故答案為:40,108

【分析】(1)觀察兩統(tǒng)計(jì)圖可知，本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)=人科目的人數(shù)+A科目的人數(shù)所占的百

分比，列式計(jì)算可求出本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖中Na=36(rxC的人數(shù)所占的百分比，列

式計(jì)算可求出za的度數(shù).

(2)利用本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)xC科目的人數(shù)所占的百分比，列式計(jì)算可求出C科目的人數(shù)；再

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，利用樹狀圖可得到所有的可能的結(jié)果數(shù)及選

中書法與樂器組合在一起的情況數(shù)，然后利用概率公式可求出選中書法與樂器組合在一起的概率.

【變式12-11某中學(xué)舉行了“美育節(jié)”演講比賽活動(dòng)，根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A,B,C,D四個(gè)等

級(jí)，并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.

rn

上人數(shù)

16............................

----------1----------1------------------------------------------------------

ABCD等級(jí)

根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)參加演講比賽的學(xué)生共有▲人,并把條形圖補(bǔ)充完整；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m=；n=；C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為.

(3)學(xué)校欲從獲A等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，參加市舉辦的演講比賽，請(qǐng)利用列表法或樹形

!圖法，求獲A等級(jí)的小明參加市比賽的概率.

【答案】(1)解：40；作圖如下：

(2)10；40；144°

(3)解：設(shè)A等級(jí)的小明用a表示，其他的三個(gè)學(xué)生用b,c,d表示.

I畫樹狀圖為：

開始

由圖知，一共有12種等可能的結(jié)果，其中獲A等級(jí)的小明參加市比賽的有6種結(jié)果,

?D_1

??卜Q小明參加比賽）—亍

【解析】【解答】（1）解：12+30%=40（人），

B等級(jí)的人數(shù)是：40—4—16—12=8（人），

故答案為：40；

（2）解：4-40=10%,16-40=40%,

.?.m=10,n=40；

C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為=360。X40%=144°.

【分析】（1）利用兩統(tǒng)計(jì)圖可知參加演講比賽的學(xué)生的人數(shù)=D等級(jí)的人數(shù)+D等級(jí)的人數(shù)所占的

百分比，列式計(jì)算；再求出B等級(jí)的人數(shù)；然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）利用A的人數(shù)十參加比賽的學(xué)生人數(shù)，可求出m的值；利用C等級(jí)的人數(shù)+參加比賽的學(xué)生人

數(shù)，可求出n的值；C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角=36（TxC等級(jí)的人數(shù)所占的百分比，列式計(jì)算.

（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹狀圖，可得到所有等可能的結(jié)果數(shù)及獲A等級(jí)的小

明參加市比賽的情況數(shù)，然后利用概率公式進(jìn)行計(jì)算.

【變式12-2】為了引導(dǎo)青少年學(xué)黨史，某中學(xué)舉行了“獻(xiàn)禮建黨百年”黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，將成績(jī)劃

分為四個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀）、B（優(yōu)良）、C（合格）、D（不合格）.小李隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的競(jìng)

賽成績(jī)，繪制成了如下統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）：

（1）小李共抽取了名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“優(yōu)秀”等級(jí)對(duì)應(yīng)

的扇形圓心角度數(shù)為，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校競(jìng)賽成績(jī)“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；

（3）已知調(diào)查對(duì)象中只有兩位女生競(jìng)賽成績(jī)不合格，小李準(zhǔn)備隨機(jī)回訪兩位競(jìng)賽成績(jī)不合格的

同學(xué)，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率.

【答案】（1）100；

126°；

r

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下所示:

ABCD等級(jí)

（2）解：2000X蓋=700（名），

*該校競(jìng)賽成績(jī)“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為700名；

（3）解：?.?抽取不及格的人數(shù)有5名，其中有2名女生,

:.有3名男生，

設(shè)3名男生分別為b1,b2,b3,2名女生分別為,。2，列表格如下所示:

bi62力39192

bi@2,3⑸,瓦)（。1，3（。2，/）

力2(3場(chǎng)(如b2)（。1，力2）（。2，°2）

%（如既）(82,%)久）（92，%）

9\（如外）3,91)(391)(。2，91)

92（如。2）⑸,92)（砥，92）92)

???總的結(jié)果有20種，一男一女的有12種，

回訪到一男一女的概率為11=1.

【解析】【解答】解：（1）C等級(jí)的人數(shù)和所占比可得抽取的總?cè)藬?shù)為：25+25%=100

（名），

“優(yōu)秀”等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為：蓋x360。=126。，

B等級(jí)的人數(shù)為：100x35%=35（名），

D等級(jí)的人數(shù)為：100—35-35-25=5（名），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下所示:

【分析】（1）利用C等級(jí)的人數(shù)除以所占的比例可得總?cè)藬?shù)，利用優(yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘

以360。可得“優(yōu)秀”等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)，利用B等級(jí)的人數(shù)所占的比例乘以總?cè)藬?shù)可得對(duì)

應(yīng)的人數(shù)，進(jìn)而求出D等級(jí)的人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）利用優(yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以2000即可；

（3）設(shè)3名男生分別為加、b2、b3,2名女生分別為gi、g2,列出表格，找出總情況數(shù)以及一男一

女的情況數(shù)，然后利用概率公式進(jìn)行計(jì)算.

UF統(tǒng)習(xí)與提升

一、單選題

L“明年的11月8日是晴天”這個(gè)事件是（）

A.確定事件B.不可能事件C.必然事件D.不確定事件

【答案】D

【解析】【解答】“明年的11月8日是晴天”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，是不確定事件.

故答案為：D

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

2.如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成4個(gè)大小相同的扇形，顏色分為灰、白二種顏色.指

針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形

的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形），則指針指向白色區(qū)域的概率是（）

A.411B.43C.4D.1

424

【答案】B

【解析】【解答】解：???每個(gè)扇形大小相同

...灰色部分面積和空白部分的面積相等

，落在空白部分的概率為：7=1

故答案為：B.

【分析】利用幾何的概率公式求解即可。

3.一只小狗在如圖的方磚上走來走去，最終停在白色方磚上的概率是（）

A-1B-1c-1D-1

【答案】D

【解析】【解答】解：???地面被等分成15份，其中白色部分占10份，

.?.根據(jù)幾何概率的意義，落在白色區(qū)域的概率嘿=|.

故選：D.

【分析】首先確定在圖中白色區(qū)域的面積在整個(gè)面積中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出停在白色方

碗上的概率.

4.下列說法正確的是（）

A.要了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用普查的方式

B.若一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)率是1%,則做100次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的樣本容量與平均數(shù)分別相同，若方差S甲2=0.1,S乙2=0.2,則甲組數(shù)據(jù)比乙

組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

D.“擲一枚硬幣，正面朝上”是必然事件

【答案】C

【解析】，分析7由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到

的調(diào)查結(jié)果比較近似.

【解答】A、要了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、若一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)率是1%,則做100次這樣的游戲不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、若方差S甲2=0/，S乙2=0.2,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，說法正確，故本選項(xiàng)正確；

D、“擲一枚硬幣，正面朝上”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

，點(diǎn)7句本