2025屆河南省周口市川匯區高二數學第一學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，為其前項和，若．則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.3．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.4．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若C為直線與y軸的交點，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.5．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等6．正方體的棱長為，為側面內動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.7．已知直線，，若，則實數的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-38．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結果是（）A.128 B.64C.16 D.329．等差數列中，若，，則等于（）A. B.C. D.10．設直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.11．一組樣本數據：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數m的值為（）A.5 B.6C.7 D.812．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4與16的等比中項是________.14．數學家歐拉年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.15．已知數列的前項和為，且滿足，則______.16．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程（1）中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，且它的一個頂點恰好是拋物線的焦點；（3）經過點拋物線18．（12分）函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）已知點，圓C：，l：.（1）若直線過點M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設P為已知直線l上的動點，過點P向圓C作一條切線，切點為Q，求的最小值.21．（12分）已知橢圓，直線.（1）若直線與橢圓相切，求實數的值；（2）若直線與橢圓相交于A、兩點，為線段的中點，為坐標原點，且，求實數的值.22．（10分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數列的性質和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數列的性質和求和公式可得.故選：C.2、B【解析】根據雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.3、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A4、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯立，求出A、B兩點的橫坐標，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當時，與聯立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D5、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.6、B【解析】建立空間直角坐標系如圖所示，設由，得出點的軌跡方程，由幾何性質求得，再根據垂直關系求出△面積的最小值【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，設所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B7、C【解析】由，結合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.8、C【解析】根據程序框圖的循環邏輯寫出執行步驟，即可確定輸出結果.【詳解】根據流程圖的執行邏輯，其執行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C9、C【解析】由等差數列下標和性質可得.【詳解】因為，，所以.故選：C10、A【解析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，即可解得實數的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.11、B【解析】求出樣本的中心點，再利用回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【詳解】依題意，，則這個樣本的中心點為，因此，，解得，所以實數m的值為6.故選：B12、D【解析】根據橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據關于縱軸成對稱分布，得到結果詳解】設橢圓右焦點為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關于軸成對稱分布，又，故所求的值為故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、±8【解析】解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.答案±814、【解析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯立，求出的外接圓圓心坐標，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數法：根據條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數，所以應該有三個獨立等式15、【解析】根據所給的通項公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【詳解】數列的前n項和，則，而，，∴，則，故答案為：.16、【解析】設（），，則，，，根據數量積的定義和余弦的二倍角公式結合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設（），，則，，，，當且僅當即時等號成立，∴的最小值是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點為，得出橢圓的，再根據橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設拋物線的標準方程為：或，代入點求解即可.【小問1詳解】解：對于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問2詳解】解：由得拋物線的焦點為，所以對于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問3詳解】解：因為點在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是：或，代入點得或，解得或，所以經過點的拋物線的方程為或18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，.（i）當時，，函數在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數在上單調遞增；②當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；綜上，可得，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數在上單調遞增，且.當時，，于是，函數在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求解函數的單調區間，同時也考查了利用導數研究函數不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.19、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據平行四邊形的判定定理和性質，結合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，，于是有：，則平面的法向量為：，設平面的法向量為：，所以，設平面與平面的夾角為，所以.20、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計算列方程計算；（2）由題意可知當最小時，連線與已知直線垂直，求出，再利用計算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當直線斜率不存在時，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當直線斜率存在時，設過的直線方程為：，即由點到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.【小問2詳解】由題意可知當最小時，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.21、（1）（2）m值為或.【解析】（1）利用