2025年高考數學復習熱搜題速遞之一元函數導數及其應用(2024年7月)

選擇題(共10小題)

1.設函數/(無)是奇函數了(無)(xeR)的導函數，/(-1)=0,當x>0時，對7(%)-/(%)<0,

則使得了(尤)>0成立的光的取值范圍是()

A.(…，-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

2.若x=-2是函數/(x)=(/+辦-1)的極值點，則/(%)的極小值為()

A.-1B.-21C.D.1

3.若函數/(x)=x-3in2x+asiiix在(-8,+oo)單調遞增，則a的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[-1,-1]C.[-11,-1]D.[-1,-11]

4.設函數/(x)="(2x-l)-ax+a,其中a<l,若存在唯一的整數xo使得/(尤o)<0,則a的取值范

圍是()

5.設函數/⑴=/+(a-1)W+辦.若無)為奇函數，則曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方程

為()

A.y=-2xB.y=-xC.y~~2xD.y~~x

已知f(x)=alnx+^x2(a>0)若對任意兩個不等的正實數xi,

6.fxi,都有----------->2怛成山

Xi-X2

則〃的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,+8)C.(0,1)D.[1,4-oo)

7.已知。為函數/(%)=/-12%的極小值點，貝IJ4=()

A.-4B.-2C.4D.2

21

8.已知曲線y=r卷-3/加的一條切線的斜率為5,則切點的橫坐標為

1

A.3B.2C.1D.

2

9.函數/(%)=0?+"2+5+1的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()

A.a>0,6c0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0

10.設aWO,若x=a為函數/(x)=a(尤-a)2(x-b)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2'D.ab>a1

二.填空題(共5小題)

11.若直線是曲線y=加什2的切線，也是曲線(x+1)的切線，則b=.

12.已知函數/(x)=2sinx+sin2x,則7(x)的最小值是.

13.曲線y=3(?+x)/在點(0,0)處的切線方程為.

14.已知函數/Ct)"-2X+/->其中e是自然對數的底數.若/(a-1)夕2/)W0.則實數。的

取值范圍是.

15.曲線y=W+%在點(1,2)處的切線方程為.

三.解答題(共5小題)

1

16.已知函數/(元)=--x+alnx.

(1)討論了(工)的單調性；

(2)若/(無)存在兩個極值點XI,X2,證明：""1)一""2)<a-2.

X1-X2

17.已知函數/(%)=(x+1)Inx-a(x-1).

(I)當〃=4時，求曲線y=/(x)在(L/(D)處的切線方程；

(II)若當尤(1,+8)時，f(x)>0,求〃的取值范圍.

18.已知函數/(x)=aex-Inx-1.

(1)設x=2是/G)的極值點，求〃，并求/(x)的單調區間；

(2)證明：當心1時,/(%)20?

19.設函數/(x)=

(1)討論/G)的單調性;

(2)當x20時，f(x)Wox+1,求實數a的取值范圍.

20.已知函數/(x)=(%-2)e^+a(x-1)2.

(I)討論/(x)的單調性；

(II)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

2025年高考數學復習熱搜題速遞之一元函數導數及其應用(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.設函數/(x)是奇函數/(x)(xGR)的導函數，/(-1)=0,當x>0時，xf'(x)-f(x)<0,

則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【專題】創新題型；函數的性質及應用；導數的綜合應用.

【答案】A

【分析】由已知當尤>0時總有;^(尤)-/(x)<0成立，可判斷函數g(x)=壁為減函數，由已

知/(X)是定義在R上的奇函數，可證明g(x)為(-8,o)u(0,+8)上的偶函數，根據函數g

(x)在(0,+8)上的單調性和奇偶性，模擬g(x)的圖象，而不等式/(x)>0等價于(x)>0,

數形結合解不等式組即可.

【解答】解：設g(x)=寫，

則g(x)的導數為：g'(x)=支尸(?尸,

:當尤>0時總有對7(無)</(x)成立，

即當尤>0時，g'(x)恒小于0,

當尤>0時，函數g(無)=寫為減函數，

又,：g(-無)==3=g(x),

d—X—xXd

.,?函數g(無)為定義域上的偶函數

又飛(-1)=笛2=0,

二函數g(無)的圖象性質類似如圖：

數形結合可得，不等式/(%)>0ox?g(x)>0

(x>0dx<0

或〈，

Lg(x)>015(%)<0

?0<x<1或xV-1.

故選：A.

【點評】本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合

題.

2.若x=-2是函數f(x)=(/+ox-1)，一1的極值點，則f(x)的極小值為()

A.-1B.-C.5e-3D.1

【考點】利用導數求解函數的極值.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】A

【分析】求出函數的導數，利用極值點，求出。，然后判斷函數的單調性，求解函數的極小值即可.

【解答】解：函數/(x)=(f+ax-l)/I

可得(x)=(2x+a)e=l+C^+ax-1)1,

天=-2是函數/(彳)=(W+or-1)/一1的極值點，

可得：f(-2)=(-4+a)e~3+(4-2a-1)e~3=0,即-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得，(無)=(2x-1)(/-x-1)

=(7+尤-2)/I函數的極值點為：x=-2,x=l,

當x<-2或x>l時，(無)>0函數是增函數，無6(-2,1)時，函數是減函數，

x=l時，函數取得極小值：/(1)=(I2-1-1)

故選：A.

【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值的求法，考查計算能力.

3.若函數無)=x-/in2x+asin_r在(-+°°)單調遞增，則a的取值范圍是()

1111

A.[-1,1]B.[-1,-]C.[-1,-]D.[-1,-1]

【考點】由函數的單調性求解函數或參數.

【專題】轉化思想；分類法；導數的綜合應用.

【答案】C

【分析】求出尤)的導數，由題意可得了'(x)20恒成立，設/=cosx(-1WfWl),即有5-4尸+3加

20,對/討論，分f=0,0<fWl,分離參數，運用函數的單調性可得最值，解不等式即可

得到所求范圍.

17

【解答】解：函數/(x)=x—wsin2x+asinx的導數為/(x)=1--^cos2x+acosx,

由題意可得/(x)20恒成立，

即為1—gCOsZx+acosx》。，

54

即有———cos^x+acos%2。，

33

設t=cosx(-1WW1),即有5-4於+3成20,

當/=0時，不等式顯然成立；

當0V/W1時,3g4/一|,

由4—微在(0,1]遞增，可得r=l時，取得最大值-1,

可得3a2-1,即a>—:；

當-1WY0時,3aW4一,

由4/-|在[-1,0)遞增，可得f=-1時，取得最小值1,

可得3〃W1,即

綜上可得a的范圍是1].

另解：設kcosx(-1WW1),即有5-4金+3〃三0,

由題意可得5-4+3〃，0,且5-4-3〃，0,

解得a的范圍是[4,1].

J3

故選：c.

【點評】本題考查導數的運用：求單調性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和換元法,

考查函數的單調性的運用，屬于中檔題.

4.設函數/(x)=炭(2%-1)-ax+a,其中若存在唯一的整數刈使得/(刈)<0,則〃的取值范

圍是()

33

-)D.[——，1)

42e

【考點】利用導數研究函數的極值；函數的零點.

【專題】創新題型；導數的綜合應用.

【答案】D

【分析】設g(x)="(2x-1),y=ox-〃，問題轉化為存在唯一的整數xo使得g(xo)在直線y=ox

的下方，求導數可得函數的極值，數形結合可得-〃>g(0)=-1且8(-1)=-3/12-〃-〃，

解關于〃的不等式組可得.

【解答】解：設g(x)="(2%-1),y=ax-a,

由題意知存在唯一的整數xo使得g(xo)在直線-4的下方，

?「g'(x)(2x-1)+2/=厘(2x+l),

二.當％<—*時，g'(%)V0，當x>—*時，g'(X)>0,

i1

，當工=一2時，g(x)取最小值-2e2,

當x=0時，g(0)=-1,當x=l時，g(1)=e>0,

直線恒過定點(1,0)且斜率為〃，

故-a>g(0)=-1且g(-l)=-3el》-。-。，解得一<a<\

【點評】本題考查導數和極值，涉及數形結合和轉化的思想，屬中檔題.

5.設函數/（無）=/+（fl-1）/+以.若/（無）為奇函數，則曲線y=/（x）在點（0,0）處的切線方程

為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y—?2xD.y--x

【考點】利用導數求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】D

【分析】利用函數的奇偶性求出。，求出函數的導數，求出切線的斜率然后求解切線方程.

【解答】解：函數/（X）=/+（47-1）x1+ax,若/（X）為奇函數，/（-X）=_f（尤），

-x3+（67-1）x2-ax--（x3+（67-1）f+ox）=-f-（。-1）f-ax.

所以：（a-l））=-（（7-1）X2

可得0=1,所以函數=/+x,可得，（尤）=3x2+1,

曲線y=/（x）在點（0,0）處的切線的斜率為：1,

則曲線＞=/（無）在點（0,0）處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的切線方程的求法，考查計算能力.

6.已知無）=。加什%2（。＞0）,若對任意兩個不等的正實數尤1,尤2,都有八支1）一”久2）＞2恒成立,

2%i-x2

則a的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（1,+8）C.（0,1）D.[1,+8）

【考點】導數及其幾何意義；利用導數研究函數的單調性.

【專題】計算題；壓軸題；數學建模；數學運算.

【答案】D

【分析】先將條件“對任意兩個不等的正實數無1,X2,都有“久1）一”犯）＞2恒成立”轉換成于（XI）-

2XI＞/（X2）-2X2,構造函數/Z（X）=/（無）-2尤，根據增減性求出導函數，即可求出。的范圍.

【解答】解：對任意兩個不等的正實數XI,尤2,都有1（久1）二〃一）＞2恒成立,假設尤1＞尤2,

Xi-%2

f（XI）-f（X2）＞2x1-2x2,即/（XI）-2x1＞/（X2）-2%2對于任意Xl＞X2＞0成立，

令h（x）=f（x）-2x,h（x）在（0,+8）為增函數，

：.K(x)=(+x-220在(0,+8)上恒成立,

a…0

一+%-220,則〃2(2%-A)max=1

X

故選：D.

【點評】本題主要考查了導數的幾何意義，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化與化歸的數學思想,

屬于基礎題.

7.已知°為函數尤）=/-12%的極小值點，則a=（）

A.-4B.-2C.4D.2

【考點】利用導數研究函數的極值.

【專題】計算題；函數思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】D

【分析】可求導數得到/（無）=3/-12,可通過判斷導數符號從而得出f（x）的極小值點，從而得

出a的值.

【解答】解：/（無）=3/-12；

，x<-2時，f（x）>0,-2<x<2時，/（x）<0,尤>2時，f（x）>0；

；.x=2是無）的極小值點；

又。為了（無）的極小值點；

??cr==2.

故選：D,

【點評】考查函數極小值點的定義，以及根據導數符號判斷函數極值點的方法及過程，要熟悉二次函數

的圖象.

21

8.已知曲線丁r=卷-3歷X的一條切線的斜率為5,則切點的橫坐標為（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

【考點】導數及其幾何意義.

【答案】A

【分析】根據斜率，對已知函數求導，解出橫坐標，要注意自變量的取值區間.

【解答】解：設切點的坐標為（刈，3）

r21

曲線y=五一3的一條切線的斜率為a，

???=學一3解得的=3或刈=一2（舍去，不符合題意），即切點的橫坐標為3

故選：A.

【點評】考查導數的幾何意義，屬于基礎題，對于一個給定的函數來說，要考慮它的定義域.比如，該

題的定義域為{x>0}.

9.函數無)=依3+灰2+。天+］的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()

A.。>0,Z?<0,c>0,d>0B.〃>0,Z?<0,c<0,d>0

C.tz<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,/?>0,c>0,J<0

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【專題】開放型；函數的性質及應用.

【答案】A

【分析】根據函數的圖象和性質，利用排除法進行判斷即可.

【解答】解：f(0)=d>Q,排除D,

當X—+8時，y—+8,二々〉。，排除C,

函數的導數/(x)=3ax1+2bx+c,

則/(x)=0有兩個不同的正實根，

2hr

則且-，(。>

Xl+%2=-3a5>a0X1X2=Q>00),

.,.Z?<0,c>0,

方法2：f(x)=3OX2+2Z?X+C,

由圖象知當xVxi時函數遞增，當xiVxVX2時函數遞減，則/G)對應的圖象開口向上，

則〃>0,且％1+%2=—丁X)且X1X2=丁>0,(。>0),

：.b<0,c>0,

方法3：f(0)=d>0,排除￡),

函數的導數，(x)—3a^+2bx+c,

則，(0)=c>0,排除B,C,

故選：A.

【點評】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，根據函數圖象的信息，結合函數的極值及/(0)的符號

是解決本題的關鍵.

10.設aWO,若為函數/(x)—a(%-〃)2(x-Z?)的極大值點，貝!J()

,9

A.a<bB.a>bC.ab<~aD.ab>a

【考點】利用導數研究函數的極值.

【專題】數形結合；數形結合法；導數的綜合應用；數學運算.

【答案】D

【分析】分a>0及。<0,結合三次函數的性質及題意，通過圖象發現。，6的大小關系，進而得出答

案.

【解答】解：令/(無)=0,解得尤=。或尤=b,即無=。及x=6是/(%)的兩個零點，

當a>0時，由三次函數的性質可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數/(X)的大致圖象如下圖

所示，

則O〈a〈b；

當。<。時，由三次函數的性質可知，要使x=a是/(尤)的極大值點，則函數/(x)的大致圖象如下圖

所示，

則b<a<0；

綜上，ab>(T.

故選：D.

【點評】本題考查三次函數的圖象及性質，考查導數知識的運用，考查數形結合思想，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.若直線>=丘+6是曲線y=阮什2的切線，也是曲線y=/w(x+1)的切線，則b=1-歷2.

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程.

【專題】導數的綜合應用.

【答案】1-歷2.

【分析】先設切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯系，以及對應的函數值，綜合聯立求解即可

【解答】解：設y=fcr+b與y=/nx+2和y=/w(x+1)的切點分別為(xi,kxi+b)、(X2,kx2+b)；

由導數的幾何意義可得仁家壺，得處=皿+1

再由切點也在各自的曲線上，可得伊=熏W

ikx2+b=Zn(x2+1)

rk=2

聯立上述式子解得3；

〔犯=-2

從而to+/?=Znxi+2得出b—\-ln2.

法二：函數尸阮什2的導函數為=p函數尸歷(x+1)的導函數為y'=備，

設曲線y=/nx+2和曲線y=/〃(x+1)上的切點的橫坐標分別為m，n,

則該切線方程可以寫為y=五(x-m)+lnm+2,

也可以寫為>=元釘(x-〃)+ln(九+1),

4=—(7nm=-

整理后對比得］而一帝n,解得］

［Jnm+1=ln(n+1)-n=--

所以b=l-/〃2.

故答案為：

【點評】本題考查了導數的幾何意義，體現了方程思想，對學生綜合計算能力有一定要求，中檔題

12.已知函數/(x)=2sinx+sin2x,則/(x)的最小值是一^^.

【考點】利用導數研究函數的最值；三角函數的最值.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；導數的綜合應用；三角函數的求值.

【答案】一孥.

【分析】由題意可得T=2TT是/(x)的一個周期，問題轉化為/(x)在［0,2TT)上的最小值，求導數計

算極值和端點值，比較可得.

【解答】解：由題意可得T=2ir是/(x)=2sinx+sin2x的一個周期，

故只需考慮，(x)=2sinx+sin2x在［0,2K)上的值域，

先來求該函數在［0,2TT)上的極值點，

求導數可得/(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2COS2X-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

i

令，(x)=0可解得cosx=a或cos%=-1,

可得此時％=百，互或—;

.1.y=2siiw+sin2x的最小值只能在點x=梟豆或三和邊界點x=0中取到，

計算可得了(-)=孥，/(7t)=0,f(—)=—孥，f(0)=0,

??.函數的最小值為-竽，

故答案為：-竽.

【點評】本題考查三角函數恒等變換，涉及導數法求函數區間的最值，屬中檔題.

13.曲線y=3(/+x)/在點(0,0)處的切線方程為y=3x.

【考點】利用導數求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】計算題；導數的概念及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】對y=3(f+x)/求導，可將x=0代入導函數，求得斜率，即可得到切線方程.

【解答】解：,.3=3(f+x)

；.y=3/(/+3x+l),

當x—0時，y'=3,

；.y=3(x2+無)產在點(0,0)處的切線斜率左=3,

切線方程為：y=3尤.

故答案為：y=3x.

【點評】本題考查了利用導數研究函數上某點的切線方程，切點處的導數值為斜率是解題關鍵，屬基礎

題.

14.已知函數/(x)=尤3-2尤+/-3，其中e是自然對數的底數.若/Q-l)+f(2a2)W0.則實數°的

1

取值范圍是「1，3.

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【專題】轉化思想；分析法；函數的性質及應用；導數的綜合應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】求出f(X)的導數，由基本不等式和二次函數的性質，可得/(x)在R上遞增；再由奇偶性

的定義，可得了(無)為奇函數，原不等式即為2/W1-a,運用二次不等式的解法即可得到所求范圍.

【解答】解：函數/(x)=2-2無的導數為：

f'(x)=3/-2+N+妥——2+2Iex?=0,

可得/(無)在R上遞增；

又/'(-x)+f(x)=(-x)3+2x+ex--Ix+e^-=0,

可得了(尤)為奇函數，

則/(a-1)+f(2/)WO,

即有/(2a2)W(a-1)

由/'(-Ca-1))=-f(a-1),

f(2a2)W/(1-a),

即有2a2W1-a,

1

解得-IWaS],

1

故答案為：[-1,-].

【點評】本題考查函數的單調性和奇偶性的判斷和應用，注意運用導數和定義法，考查轉化思想的運用

和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題.

15.曲線在點(1,2)處的切線方程為x-v+l=O.

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】求出函數的導數，求出切線的斜率，利用點斜式求解切線方程即可.

【解答】解：曲線y=/+g可得y=2x—J,

切線的斜率為：左=2-1=1.

切線方程為：y-2=x-1,即：x-y+l=O.

故答案為：x->1=0.

【點評】本題考查切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力.

三.解答題（共5小題）

16.已知函數/（x）=—x+alnx.

（1）討論/（x）的單調性；

（2）若/（無）存在兩個極值點尤1,X2,證明：<?-2.

xr-x2

【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值.

【專題】分類討論；轉化法；導數的綜合應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）求出函數的定義域和導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可.

（2）將不等式進行等價轉化，構造新函數，研究函數的單調性和最值即可得到結論.

【解答】解：（1）函數的定義域為（0,+8）,

函數的導數/（X）=-4-1+?=-%2-7+1>

X乙xX乙

設g（X）=/-1,

當aWO時，g（無）>0恒成立，即,（無）<0恒成立，此時函數/（%）在（0,+8）上是減函數，

當a>0時，判別式A—a2-4,

①當0<aW2時，AWO,即g（x）20,即/（無）W0恒成立，此時函數/（無）在（0,+8）上是減

函數，

②當a>2時，%,/（尤），f（x）的變化如下表：

Xa-Va2-4a-Va2-4a-Va2-4a+Va2-4a+Va2-4

(0---------)(--------,---------(，+

22222

a+Va2-4oo)

2

f'（X）-0+0-

f(x)遞減遞增遞減

綜上當時，f(x)在(0,+8)上是減函數，

當a>2時，在(0,J)和(a+Vq2-4,+8)上是減函數，

22

a—Va2—4a+Va2—4

則(--------，---------)上是增函數.

22

(2)由(1)知〃>2,不妨設X1〈X2,則0Vxi〈lVx2,XLX2=1,

則/(xi)-f(x2)=(x2-xi)(H-----)+a(bm-bm)=2(%2-xi)+〃Clnxi-lnx2),

xlx2

.1/(xi)-/(x2)c?a(Znx-Znx)

則m=—2H----------1--------2--，

x±-x2巧_%2

則問題轉為證明處1二”這VI即可，

Xr-x2

即證明lnx\-lnx2>x\-X2,

1i

則Inxi-In—>x\-----,

xr

1

BPlnxi+lnxi>xi-----，

X1

i

即證2歷xi>xi-----在(0,1)上恒成立，

X1

1

設/?(x)=2lnx-x+^,(0<x<l),其中力(1)=0,

求導得〃⑴=2-1—=一.它+1=—魚簍<o.

X**X乙

則/7(X)在(0,1)上單調遞減，

1

：'h⑴>h⑴，即2仆x+L

1

故21nx>x—，

x

口，(右)一/(第2)1c寸一

則-----------<a-2成乂.

Xi-%2

,11

(2)另解：注意到/(嚏)=x---alnx=-f(x),

1

即/(x)+f(-)=0,

不妨設X\<X2,

、1

由韋達定理得XLX2=1,Xl+X2=a>l,得0<%l〈lVx2,xi=—，

x2

1

可得了(%2)+/(一)=0,即/(XI)4/(X2)=0,

要證"3'2)Va-2,只要證,J、衛Vaf

Xl-%2Xr-X2

即證2alnx2-0X2+—<0,(X2>1),

x2

ax

構造函數力(x)=2alnx-ax+-,(x>l),h'(x)=^<Q>

xx乙

:?h(x)在(1,+8)上單調遞減，

：?h(x)<h(1)=0,

.??2〃/〃x-<0成立，BP2alnx2-axi+—<0,(X2>1)成立.

日"01)-/(久2),.十一

即-----------<a-2成工.

Xr-x2

【點評】本題主要考查函數的單調性的判斷，以及函數與不等式的綜合，求函數的導數，利用導數的應

用是解決本題的關鍵.綜合性較強，難度較大.

17.已知函數/(x)=(尤+1)Inx-a(x-1).

(I)當。=4時，求曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(II)若當xe(1,+8)時，f(x)>0,求a的取值范圍.

【考點】簡單復合函數的導數.

【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】(/)當。=4時，求出曲線y=f(x)在(1,/(D)處的切線的斜率，即可求出切線方程；

(〃)先求出，(x)>f'(1)=2-a,再結合條件，分類討論，即可求。的取值范圍.

【解答】解：⑺當a=4時，f(x)=(x+1)Inx-4(x-1).

f(1)=0,即點為(1,0),

1

函數的導數/(x)—lnx+(%+1),--4,

則，(1)=加1+2-4=2-4=-2,

即函數的切線斜率左=f(1)=-2,

則曲線y=/(x)在(1,0)處的切線方程為y=-2(x-1)=-2x+2；

(〃)(x)=(x+1)Inx-a(x-1),

.1

.'.f(x)=H---\-lnx-a,

Jx

"(x)=9，

Vx>l,：.f"(x)>0,

：.f(x)在(1,+8)上單調遞增，

：.f'(x)>f(1)=2-a.

①aW2,f'(x)>f'(1)20,

：.f(x)在(1,+8)上單調遞增，

：.f(x)>/(1)=0,滿足題意；

②a>2,存在xo€(1,+8),f(xo)=0,函數/'(x)在(1,xo)上單調遞減，在(無o,+°°)上單

調遞增，

由/(I)=0,可得存在xoE(1,+8),f(xo)<0,不合題意.

綜上所述，〃W2.

【點評】本題主要考查了導數的應用，函數的導數與函數的單調性的關系的應用，導數的幾何意義，考

查參數范圍的求解，考查學生分析解決問題的能力，有難度.

18.已知函數/(x)=aex-lnx-1.

(1)設％=2是/(x)的極值點，求〃，并求/(%)的單調區間；

(2)證明：當aN的寸，/(無)20.

【考點】利用導數研究函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值.

【專題】證明題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)推導出尤〉0,(x)由x=2是/(X)的極值點，解得。=5，從而"X)=表產

-lnx-1,進而/(x)=^ex-p由此能求出了(無)的單調區間.

(2)法一：當a>工時，f(x)>--Inx-1,設g(x)=--Inx-1,x>0,則gz(x)=-——,由此

利用導數性質能證明當。2：時，f(x)》0.

法二：f(x)三0,即aN伍:qI,x>0,令g(x)=x>0,則g'(久)=彳,利用導數性

質得g(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+8)單調遞減，g(x)Wg(1)=1,由此能證明當寸，

f(x)20.

法三：當〃之?時，f(x)>--Inx-1,即只需證明~一"％-1之0,再通過構造函數，利用導數

eJee

研究函數的單調性，即可求解.

【解答】解：(1);?函數/(%)=ae)c-Inx-\.

.*.x>0,f(x)=aeK——,

Jx

,?"=2是/(%)的極值點，

**?f'(2)—ci^—?1=0,解得°?，

zZe乙

i11

(x)=^^/-/依-1,:?f(x)—彳

當0VxV2時，f(x)<0,當x>2時，f(x)>0,

：.f(x)的單調遞減區間是(0,2),單調遞增區間是(2,+8).

(2)證法一：當a>、時，f(x)>3—Inx-1,

設g(x)=3—Inx-1,x>0,則g，(%)=:一

pX1

由g/(%)="一]=。，得了=1，

當OVxVl時，g'(x)<0,

當x>l時,gf(x)>0,

???%=1是g(x)的最小值點，

故當x>0時，g(x)2g(1)=0,

當a>工時，f(x)=aex-lnx-120.

證法二：)?函數/(x)—a^-Inx-1,/./(x)20,即〃之>[Lx>0,

1

令g(x)=x>0,則g/(%)=^~—,x>0,.'.gr(1)=0,

,1

當OVxVl時，一―1>0,-lnx>0,g'(x)>0,

x

1

當x>l時，―一1V0,-lnx<Og'(x)<0,

xf

：.g(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+8)單調遞減，

1

g(冗)Wg⑴="，

1

a>.,?〃2g(x).

i

???當〃之？時，/(x)20.

1xex

證法三：當一時，f(x)>P-----Inx—1,即只需證明——Inx—1>0,

eeQ

ex

由于——Inx—1>0,

e

則"2elnexox/2exlnex^xe^2elnexlnex,

令g(x)=xe,c,

則g(%)(x+1)>0,即g(x)為增函數,

又易證x^lnex=lnx+l,

故g(x)2gQlnex),即成立，

故當QN：時，f(x)20.

【點評】本題考查函數的單調性、導數的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力，是中

檔題.

19.設函數/數)=(1-/)?/.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)當尤20時，f(x)Wax+1,求實數a的取值范圍.

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用.

【答案】(1)/(%)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上單調遞減，在(-1一夜，-1+V2)上

單調遞增；

(2)a的取值范圍是［1,+8).

【分析】(1)求出函數的導數，求出極值點，利用導函數的符號，判斷函數的單調性即可.

(2)化簡/(%)=(1-x)(1+x)F.f(x)Wax+1,下面對a的范圍進行討論：

①當a'l時，②當0<a<l時，設函數g(無)=/-x-1,則g'(無)=，-1>0(尤>0),推出結論；

③當aWO時，推出結果，然后得到。的取值范圍.

【解答】解：(1)因為/(x)=(1-?)",xER,

所以/(x)=(1-2x-x2)ex,

令f(無)=0可知x=-l±&,

當x<-1—/或無>-1+四時，(無)<0,當-1—-1+或時/(無)>0,

所以/(X)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上單調遞減，在(-1-V2,-1+V2)上單調遞增；

(2)由題可知無)=(1-x)(1+x)下面對。的范圍進行討論：

①當心1時，設函數h(x)=(1-x)-則h'(x)=-無"<0(x>0),

因此，7(X)在［0,+8)上單調遞減，

又因為%(0)=1,所以(x)W1,

所以/(無)=(1+x)h(尤)Wx+lWax+l；

②當0<a<l時，設函數g(x)-x-1,則g'(無)=，-1>0(x>0),

所以g(無)在［0,+8)上單調遞增，

又g(0)=1-0-1=0,

所以.

因為當0<x<l時/(x)>(1-X)(1+x)2,

所以(1-x)(1+x)2-ax-l=x(1-a-x-/),

取xo=---—e(0,1),貝！(1-xo)(1+xo)2-axo-1=0,

所以/'(xo)>axo+l,矛盾；

yrF_

③當aWO時，取xo=—2—1G(0,I),則/(xo)>(1-xo)(1+xo)2=l^axo+l,矛盾；

綜上所述，a的取值范圍是［1,+8).

【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能

力.

20.已知函數/(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)討論/(x)的單調性；

(II)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

【考點】利用導數研究函數的單調性；函數零點的判定定理.

【專題】轉化思想；分析法；函數的性質及應用；導數的綜合應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】(I)求出了(無)的導數，討論當介0時，“V—1時，a-一］時，—提<a<0,由導數大于0,

可得增區間；由導數小于0,可得減區間；

(II)由(I)的單調區間，對。討論，結合單調性和函數值的變化特點，即可得到所求范圍.

【解答】解:(I)由/(無)=(x-2)e^+a(x-1)2,

可得，(x)=(x-1)(x-1)=(x-1)(/+2〃)，

①當〃20時，由/(x)>0,可得x>l；由/(x)<0,可得xVl,

即有了(X)在(-8,1)遞減；在(1,4-00)遞增(如右上圖)；

②當。<0時，(如右下圖)，

由炭+2a=0,可得了=/〃(-2〃)，

由方(-2〃)=1,解得a=—

若〃=一?則/(x)20恒成立，即有/(x)在R上遞增；

若1時，由/(%)>0,可得或x>/〃(-2〃)；

由(無)<0,可得1<尤</”(-2a).

即有/(x)在(-oo,1),(/?(-2a),+oo)遞增；

在(1,I