2020年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學一、填空題1.已知集合，，則.答案：解析：由集合，，∴.2.已知是虛數單位，則復數的實部是________.答案：解析：，則實部為.3.已知一組數據的平均數為，則的值是.答案：解析：由可知.4.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲次，觀察向上的點數，則點數和為的概率是.答案：解析：總事件數為，滿足條件的事情有，，，為共種，則點數和為的概率為.5.右圖是一個算法流程圖，若輸出值為，則輸入的值是________.答案：解析：由題可知當時得，則.6.在平面直角坐標系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是.答案：解析：由得漸近線方程為，又，則，，，得離心率.7.已知是奇函數，當時，，則的值是.答案：解析：是奇函數，當時，，則.8.已知，則的值是________.答案：解析：因為，由，解得.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是.答案：解析：記此六角螺帽毛坯的體積為，正六棱柱的體積為，內孔的體積為正六棱柱的體積為，則，所以.10.將函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是.答案：解析：因為，將函數的圖象向右平移個單位長度得，則的對稱軸為，，即，，時，，時，，所以平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是.11.設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，已知的前項和，則的值是________.答案：解析：因為的前項和，當時，，當時，，所以，從而有.12.已知，則的最小值是.答案：解析：，故，當且僅當，即，時，取等號.所以.13.在中，，，，在邊上，延長到，使得，若（為常數），則的長度是.答案：解析：由向量系數為常數，結合等和線性質可知，故，，故，故.在中，；在中，由正弦定理得，即.14.在平面直角坐標系中，已知，是圓：上的兩個動點，滿足，則面積的最大值是________.答案：解析：如圖，作所在直徑，交于點，則：∵，，∴，為垂徑.要使面積最大，則位于兩側，并設，計算可知，故，，故，令，，，記函數，則，令，解得（舍去）顯然，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；結合在遞減，故時最大，此時，故，即面積的最大值是.（注：實際上可設，利用直角可更快速計算得出該面積表達式）二、解答題15.在三棱柱中，，平面，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.答案：見解析解析：（1）因為分別是，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，面，所以，又因為，，面，面，所以面，因為面，所以平面平面.16.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，.（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的值.答案：見解析解析：（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此.（2）因為，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，故.17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線（在上）.經測量，左側曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關系式；右側曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關系式.己知點到的距離為米.（1）求橋的長度；（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩和，且為米，其中，在上（不包括端點）.橋墩每米造價（萬元），橋墩每米造價（萬元）（），問為多少米時，橋墩與的總造價最低？答案：（1）橋的長度為米；（2）為米時，橋墩與的總造價最低.解析：（1）過，分別作的垂線，垂足為，，則.令，得，所以，.（2）設，則，由得.總造價，因為，所以令，得或，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，當時，取最小值，造價最低.18.在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在第一象限內，，直線與橢圓相交于另一點.（1）求的周長；（2）在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；（3）設點在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點的坐標.答案：見解析解析：（1）的周長.（2）由橢圓方程得，設點，則直線方程為，令得，即，，，即的最小值為.（3）設到直線的距離為，到直線的距離為，若，則，即，由（1）可得直線方程為，即，所以，.由題意得，點應為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點，設平行于的直線為，與直線的距離為，所以，即或.當時，直線為，即，聯立可得，即或，所以或.當時，直線為，即，聯立可得，，所以無解.綜上所述，點坐標為或.19.已知關于的函數，與（，）在區間上恒有.（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，求證：.答案：見解析解析：（1）由得.又，，所以，所以，函數的圖像為過原點，斜率為的直線，所以.經檢驗：符合題意.（2），設，則，，所以當時，時.由，得當時，在上遞增，所以，所以.當時，，即，，.綜上，.（3）因為，所以，所以函數的圖像在處的切線為，可見直線為函數的圖像在處的切線，又因為由函數的圖像可知，當在區間上恒成立時，，又由得，設方程的兩根為，，則，，∴，令，則，由圖像可知.設，則，所以當時，，單調遞減，所以，故，即.20.已知數列的首項，前項和為.設與是常數.若對一切正整數，均有成立，則稱此數列為“”數列.（1）若等差數列是“”數列，求的值；（2）若數列是“”數列，且，求數列的通項公式；（3）對于給定的，是否存在三個不同的數列為“”數列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.答案：見解析；解析：（1）時，，所以.（2）,，因此.，.從而.又，，，.綜上，.（3）若存在三個不同的數列為“”數列，則，則，由，，則，令，則，時，，由可得，則，即，此時唯一，不存在三個不