2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習-立體幾何中的動點及其軌跡問題-專項訓練

一、基本技能練

1.如圖，在正方體ABC。一ALBCLDI中，P是側(cè)面331cle內(nèi)一動點，若P到直線

3c與到直線GDi的距離相等，則動點P的軌跡為（）

A.直線B.圓

C.雙曲線D.拋物線

2.如圖，正方體A3CD—AbBiCD］中，P為底面A3CD上的動點.PELAC于E,

且必=PE,則點尸的軌跡是（）

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

3.如圖，圓錐的底面直徑AB=2,母線刑=3,點C在母線V3上，且VC=1,

有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A到達點C,則這只螞蟻爬行的最短距離是（）

4.如圖所示，已知正方體ABC。一AiBCbDi的棱長為2,長為2的線段的一個

端點“在棱DDi上運動，另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，則MN中點軌跡

的面積為（）

c,

AB

A.471B.2TI

71

.兀ID

5.已知MN是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱

長分別是1,1,^2,則成f?麗的取值范圍為（）

「1cl「3二

A.—0B.一70

「1J「3」

C.-2,1D.一71

6.點P為棱長是2小的正方體ABCD-AiBiCiDi的內(nèi)切球0球面上的動點，點M

為BC1的中點，若滿足則動點P的軌跡的長度為（）

A.7iB.2兀

C.47TD.2小兀

7.已知正三棱錐產(chǎn)一ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.

設(shè)集合T={Q?S|PQW5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3兀

A4.WB.7T

C.2TID.3TI

8.如圖，三角形PAB所在的平面a和四邊形ABCD所在的平面0垂直,且AD±a,

BCLa,AD=4,BC=8,AB=6,ZAPD=ZCPB,則點P在平面a內(nèi)的軌跡是

()

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

9.已知正方體A5CD—的棱長為1,點M,N分別為線段AQ,AC上的動

點，點T在平面3CC?內(nèi)，則MT+NT的最小值是（）

A.^2B.平

A/6

C.^-D.l

10.如圖，長方體A3CD—中，AB=BC=^2,AA，=小,上底面

的中心為0',當點E在線段CC上從C移動到C時，點＜7在平面BDE上的射影

11.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，以，底面ABCD,且底面各邊都相等，M

是PC上的一動點，當點“滿足時，平面M3。，平面PCD（只要填寫一

個你認為是正確的條件即可）.

12.如圖，尸是棱長為1的正方體ABC。一ALBCLDI表面上的動點，且AP=g,

則動點P的軌跡的長度為.

二、創(chuàng)新拓展練

13.在棱長為3的正方體ABCD-AiBiCiDy中，E是A4i的中點，P是底面ABCD

所在平面內(nèi)一動點，設(shè)PDi,PE與底面A3CD所成的角分別為仇，仇（仇,仇均

不為0）,若。1=%，則三棱錐P—331C1體積的最小值是（）

A.|

B2

C.|

D-4

14.（多選）如圖，設(shè)正方體ABC。一ALBICLDI的棱長為2,E為ALDI的中點，F(xiàn)為

CC上的一個動點，設(shè)由點A,E,R構(gòu)成的平面為a,則（）

A.平面a截正方體的截面可能是三角形

B.當點R與點G重合時，平面a截正方體的截面面積為2#

C.當點D到平面a的距離的最大值為呼

D.當R為CG的中點時，平面a截正方體的截面為五邊形

15.已知面積為2小的菱形A3CD如圖①所示，其中AC=2,E是線段AD的中點.

現(xiàn)沿AC折起,使得點D到達點S的位置,此時二面角S-AC-B的大小為120°,

連接SB,得到三棱錐S-ABC如圖②所示,則三棱錐S-ABC的體積為；

若點尸在三棱錐的表面運動，且始終保持EF±AC,則點F的軌跡長度為.

D

圖①

16.如圖，三棱錐S—ABC的所有棱長均為1,底面A3C,點M,N在直線陽

,V2

上，且若動點P在底面ABC內(nèi)，且△2阿的面積為則動點P的

MN=3，12,

軌跡長度為

參考答案與解析

一、基本技能練

1.答案D

解析點P到直線GDi的距離即為點P到點Ci的距離，

所以在平面331cle中，點尸到定點Ci的距離與到定直線3c的距離相等,

由拋物線的定義可知，動點P的軌跡為拋物線，故選D.

2.答案A

解析由題意知，△AMP法△AiEP,

則點P為在線段AE的中垂面上運動，

從而與底面A3CD的交線為線段.

3.答案B

解析在圓錐側(cè)面的展開圖中，AA'=2n,

2

所以卒，

NAW=r/^l=D

1兀

所以AAVB=^ZAVA'=y

由余弦定理得AC2=Wl2+VC2-2Wl-VC-cosZAVB=32+12-2X3X1x|=7,

所以AC=S.

所以這只螞蟻爬行的最短距離是巾，故選B.

4.答案D

解析易知平面ABCD,ZMDN=90°,取線段MN的中點P,則DP=^MN

，/117E

=1,所以點尸的軌跡是以。為球心，1為半徑的工球面，故S=WX4TTX12=亍

ooZ

5.答案B

解析根據(jù)題意，以。為坐標原點，所為x軸正方向，比為y軸正方向，訪1為

z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.

設(shè)長方體外接球球心為0,

則DB1為外接球的一條直徑，

設(shè)。為的中點，不妨設(shè)〃與。重合，N與Bi重合.

則外接球的直徑長為、產(chǎn)+12+（羊）2=2,

所以半徑/?=：1,

所以曲屈=（歷+麗?（由+而=（歷+加.（舒一雨=|舒/一|勵2二|向產(chǎn)

—1,

由尸在長方體表面上運動，

所以|西e1,1,即|兩2?1,

所以|由2—1?［一不Oj,

一「3一

即成/.麗e［一不0.

6.答案C

解析根據(jù)題意知，該正方體的內(nèi)切球半徑為廠=小,

如圖，取331的中點N,連接CN,

則CN1BM,

在正方體

ABCD-AiBiCiDi中，

CN為DP在平面BxCxCB中的射影，

???點尸的軌跡為過。，C,N的平面與內(nèi)切球的交線,

,正方體A3CD—ALBCIDI的棱長為2小，

，。到過。，C,N的平面的距離為1,

/.截面圓的半徑為由（小）2—1=2,

二點尸的軌跡的長度為27iX2=47i.

7.答案B

解析設(shè)頂點尸在底面上的投影為。，連接3。,

則0為△ABC的中心，

且BO=|x6X-^=2"\/3,

故PO=q36-12=24.

因為PQ=5,故OQ=1,

故。的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

2X*X36_

而△ABC內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為一——=小＞1,

3Xb

故Q的軌跡圓在AABC內(nèi)部,

故其面積為71.

8.答案A

解析由條件易得AD〃3C,且NAPD=NCP3,AD=4,BC=8,

可得tanZAPD=:^=^=tanZCPB,

1211LJ

理與

PA~AD~2

在平面必3內(nèi)以A3所在的直線為x軸，A3的中點。為坐標原點，建立直角坐

標系(圖略)，

則A(—3,0),3(3,0),

?,PB/(x-3)2+y2

設(shè)尸(x,y),則}有麗=y(x+3)2+/=2'

整理可得x2+y2+10x+9=0(x^0).

由于點P不在直線AB上，

故此軌跡為圓的一部分，故答案選A.

9.答案B

解析A點關(guān)于BC的對稱點為E,M關(guān)于39的對稱點為M',記d為直線EB1

與AC之間的距離，

則MT+NT=M'T+NT^M'N^d,

由B'E//D'C,d為E到平面AC。的距離，因為VD'-ACE=^X1XSMCE=]X1X1

1

-

3

而VD'—ACE=VE—ACD'=lxdX^X(y[^)2=^d=J,

34\v，b3

,，,2^1

故d——^~.

10.答案B

解析如圖，以CA,CC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，則有C(0,

0),0(1,0),0(1,小)，

設(shè)G(x,y),

由O'GLOG,

可得士1,

1X—1

3

整理可得+(x—1)2=不

所以點O在平面3DE上的射影G的軌跡是以《1,坐]為圓心，半徑為坐的（5G.

oc

因為tanGOF—QQ,—3,

所以0，G=OOsin/GOF=g,

所以△OG/是等邊三角形，

即NG=泉

所以圓弧OG的長/=亨乂坐=亭.

11.答案DM±PC（或BM±PC）

解析連接AC,BD,則ACLBD,因為出，底面ABC。，BDu平面A3CD,所

以又必AAC=A,

所以3D，平面以C,PCu平面mC,

所以3D，PC,

所以當DMLPC（或BMLPC）時，有PC,平面MBD,PCu平面PCD,

所以平面MB。，平面PCD.

371

12.答案y

解析由已知AC=ABi=ADi=y[2,

在平面BCi,平面A1C1中，

BP=AiP=DP=l,所以動點尸的軌跡是在平面BG,平面A1C1,平面DC內(nèi)分

別以3,D,4為圓心，1為半徑的三段圓弧，且長度相等，

故軌跡長度和為3=^.

二,創(chuàng)新拓展練

13.答案C

解析以。為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系,

因為正方體的棱長為3,

則43,0,|),Di(0,0,3),

設(shè)P(x,y,0)(%三0,y^O),

則獨=(3—x,-j,I),PDi=(-x,—y,3).

因為a=%，平面ABCD的一個法向量z=(0,0,1),

所以遮

\PE\-\z\\PDi\-\z\

3

用________2________________3

r(3T-2+”F+9,

整理得f+y2—8x+12=0,

即(X—4)2+y2=4(0WyW2),

則動點p的軌跡為圓的一部分，

所以點P到平面的最小距離為1,

113

所以三棱錐尸一331。體積的最小值是wX]X3X3Xl=1

14.答案BCD

解析如圖，建立空間直角坐標系，延長AE與z軸交于點P,

連接PF并延長與y軸交于點M,

則平面a由平面AEF擴展為平面APM.

由此模型可知A錯誤.

當點口與點Ci重合時，截面是一個邊長為小的菱形，該菱形的兩條對角線長度

分別從。1=產(chǎn)百百=2小和肝”=2啦,則此時截面的面積為3x24

X272=2^6.

當R為CQ的中點時，平面a截正方體的截面為五邊形，B,D正確.

D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),設(shè)點M的坐標為(0,t,0)g2,4]),

DA=(2,0,0),AA/=(-2,t,0),戌=(2,0,-4),

則可知點P到直線AM的距離為

SAB4D=^X2X4=4,

設(shè)點。到平面a的距離為九

利用等體積法VD-APM=VM-PAD,

1_1

即*iS*/\APM*h3/\PA.D't,

4t4

可得/z——7=3==,則h=I,

4

由」=i一正在上單調(diào)遞增,

產(chǎn)g[2,4]

所以當Z=4時，取到最大值為24.

故選BCD.

15.答案坐小十|

13

解析依題意，&ACBD=BD=2小，點、S到平面AB