第四章圖形的認識

4.1圖形基本概念

本章小結

小結1本章內容概覽

本章的主要內容是多姿多彩的圖形,直線、射線、線段以及角等有關的概念及其性質.其

課標要求是：

(1)理解線段、直線和射線的區別與聯系，會比較線段的大小，并進行計算.

(2)理解角的概念，會比較角的大小，會進行角的度數的計算.

(3)了解互余、互補的概念，理解它們的性質.

小結2本章重點、難點：

本章的重點是線段和角的概念及其相關的性質;難點是對平面圖形的概念及其相關性質

的理解.

小結3本章學法點津

1.要通過直觀感知，具體操作、確認等實踐活動，區分圖形，探索出圖形的特征和性

質，培養空間想象能力.

2.要注意多觀察、多分析實物，勤動手操作、勤動腦聯想，同時又要注意對圖形語言

的理解和符號語言的運用.

3.要淡化概念識記、不能機械地套用公式模式，達到“在做中學，在學中做”.

4.要注重“簡單說理”推理能力的培養，養成言之有據的良好習慣.

知識網絡結構圖

從不同方向看立體圖形

》平面圖形

立體圖形展開立體圖形

直”Q兩點確定一條直線

幾射線0向一方無限延伸

何

二霆y兩點之間,線段最短

線段比r等分線段一

平面圖形

—i畫法

、比較

角的度量

度量法

(角的大小比較

(疊合法

角I一.；

角的平分”—等角的余角相等

金州町色Y等;"補角相等

重點題型總結及應用

題型一計算幾何圖形的數量

1.數直線條數

例1已知n（心2）個點P/P,P,P”在同一平面上，且其中沒有任何三點在同一

直線上.設S.表示過這n個點中的任意2個點所作的所有直線的條數，顯然，用，S=3,

S=6,S=10,…，由此推斷，S=

46n

-1)

答案:

2

點撥

經過第一個點可以引出（n—1）條直線，經過第二個點可以新引出（n—2）條直線，經過

第三個點可以新引出（n—3）條直線，…，所以n個點一共可以引出S=(n—1)+(n—2)+

n

n(n-l)--,

(n—3)H---Fl='c'條直線.

2.數線段條數,______________

例2如圖4—4—1所示，C、D為線段AB上的任意兩點，那么4C

圖中共有多少條線段？圖"-I

解：按照從左到右的順序去數線段條數，以A為一個端點的線段有3條：AC、AD、AB；

以C為一個端點的新線段有2條：CD、CB；以D為一個端點的新線段有1條：DB.所以共有

線段3+2+1=6（條）.

點撥

線段的條數與線段上固定點（包括線段兩個端點）的個數有密切聯系，線段上有n

個點（包括線段兩個端點）時，共有線段條.

例3小明在看書時發現這樣一個問題：在一次聚會中，共有6人參加，如果每兩人都

握一次手，共握幾次手呢?小明通過認真思考得出了答案.為了解決一般問題，小明設計了

下列圖表進行探究：

參加人數2

握手示

意圖

4+3+2+

握手次數12+1=33+2+1=6

1=10

請你根據上面圖表歸納出參加人數與握手次數之間關系的一般結論.

分析：本題研究的是握手次數問題，但可以將此問題轉化成研究平面上的點構成線段的

條數問題.這里把每個人看作一個點，根據圖表中的信息，通過探究推理可得到問題的答案.

解：若有6人參加，則共握手15次.

結論：若有n（n22,且n為整數）人參加，則共握手（n—1）+（n—2）+（n—3）+…+4

n（n-l）八，、

+3+2+1=—=（次）.

點撥

解決此類問題的關鍵是將實際問題抽象轉化為平面圖形的具體計數問題。再進行探究.

3.數直線分平面的塊數

例4豆腐是我們生活中的常見食品，常被分割成長方體或正方體的小塊出售.現請你

2

用刀切豆腐，每次切三刀，能將豆腐切成多少塊？

分析：這三刀可以隨意切，不要拘泥于規范、常見切法.從不同的角度下手，得到的小

塊豆腐的塊數可能不同.

解：如圖4—4—2所不，能將豆腐切成4塊、6塊、7塊或8塊.

194-4-2

點撥

在截一個幾何體之前應充分想象截面可能的形狀，然后實際操作，在比較想象結果與

實際結果的差異的過程中，可以豐富我們的幾何直覺，積累數學活動經驗，同時培養我們的

空間觀察能力.

題型二兩角互補、互余定義及其性質的應用

例5一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數.

解：設這個角是X。，則它的補角是(180—x)°.

由題意，得180—x=4x,解得x=36.所以這個角是36°.

點撥

本題主要考查補角定義的應用，數學中利用方程、轉化思想，可將“形”的問題轉化為

“數”的問題研究，從而簡捷解決問題.

例6如果一個角的補角是120。，那么這個角的余角是()

A.30°B.60°C.90°D.150°

解析：本題是對余角、補角的綜合考查，先根據這個角的補角是120。，求出這個角是

60°,再求出它的余角是30°.答案：A

例7根據補角的定義和余角的定義可知。。的角的補角曷70°,余角感0°；15°的角

的補角是165°,余角是75°；32。的角的補角是148°,余角是58°?….觀察以上各組

數據，你能得出怎樣的結論?請用任意角a代替題中的10。、15。、32°的角來說明你的

結論.

解：結論為：一個角的補角比這個角的余角大90°.

說明：設任意角是a(0<a<90°),a的補角是180°-a,a的余角是90°-a,

則(180°-a)-(90°-a)=90°.

題型三角的有關運算

例8如圖4—4—3所不，AB和CD都是直線，/A0E=90°,

Z3°=ZFOD,Zl=27°20',求/2、/3的度數.

解：因為NA0E=90°,

所以N2=90°-Zl=90°-27°20'=62°40'.

又因為NA0D=180°-Zl=152°40',Z3=ZF0D,

所以/3=L/AOD=76°20'.

2

所以上2=62°40,，Z3=76°20,.

例9如圖4—4—4所小，OB、OC是NA0D內任意兩條射線，

OM平分NAOB,ON平分/COD,若/M0N=a,ZB0C=/3，用a、°

表示/AOD.

ffl4-4-4

3

解：因為NMON=a,NB0C=6,

所以NBOM+NCON=ZMON-ZBOC=a—0

又OM平分NAOB,ON平分NCOD,

所以ZAOB+ZCOD=2ZBOM+2ZCON

=2(ZB0M+ZC0N)=2(a—6),

所以NAOD=/AOB+/COD+/BOC=2(a—/3)+/?=2a-/3.

例10(D用度、分、秒表示54.12°.

(2)32°44'24"等于多少度？

(3)計算：133。22'43"4-3.

解：(1)因為0.12°=60'X0.12=7.2',0.2'=60"X0.2=12〃，

所以54.12°=54°T12".

⑵因為24"=(」-)'X24=0.4',44.4'=(-)°X44.4=0.74°，

6060

所以32°44'24〃=32.74°.

(3)133°22'43"-4-3=(132°+82')+3+43〃4-3=44°+82'+3+43"4-3

=44°+(81'+1')+3+43〃+3=44°+27'+1'+3+43"4-3

=44°+27'+103"-4-3^44°+27'+3"=44°2T3".

方法總結

角的有關運算是指角的單位換算和角的加、減、乘、除運算.角度制的單位是60進制

的，和計量時間的時、分、秒一樣.加減時，要將度、分、秒分別相加、相減，分、秒逢

60要進位，而相減不夠時要借1作60；度、分、秒形式乘一個數時，要將度、分、秒分別

乘這個數，分、秒逢60進位；度、分、秒形式除以一個數時，也是將度、分、秒分別除以

這個數，不過要將高位的余數轉化成低位，與原位上的數相加后再除以這個數.入「、

題型四鐘表的時針與分針夾角問題4"V1

例1115：25時鐘面上時針和分針所構成的角是_____度.「,《二

解析：起始時刻定為15：00(下午3點整時，時針和分針構成的角是90°),弋；

終止時刻為15：25,從圖4一4一5中可以看出分針從12轉到5用了25分鐘，

轉了6。X25=150°,時針轉了0.5°X25=12.5°,所以15：25時鐘面上

時針和分針所構成的角為150°-90°-12.5°=47.5°.答案：47.5

點撥

解決此類問題時要選擇恰當的起始時刻，注意時針和分針同時在運動，并牢記時針每

30°360°

分鐘轉=o.5-=0.5,分針每分鐘轉=6°.

6060

題型五圖形的轉化

例12下列圖形中不是正方體的平面展開圖的是()

解析：通過折疊驗證四個選項，可得正確答案.答案：C

點撥

立體圖形的平面展開圖是沿著立體圖形的一些棱將它剪開,把立體圖形展開成一個平面

圖形.一個正方體的平面展開圖中，在同一直線上相鄰的三個正方形中，首尾兩個正方形是

4

正方體中相對的兩個面.

例13如圖4—4—6所示，將標號為A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標

號為P、Q、M、N的四組圖形，試按照“哪個正方形剪開后得到哪組圖形”的對應關系填空:

A與對應；B與對應；C與對應；D與對應.

解析：按照剪開的形狀，找出對應的圖形.答案：M,P,Q,N

題型六方位角

例14如圖4-4-7所示，我海軍的兩艘軍艦（分別在A、B兩處）同時發現了一艘敵艦，

其中A艦發現它在北偏東15°的方向上，B艦發現它在東北方向上，試畫出這艘敵艦的位置

（用字母C表示）.

解：如圖4—4—8所示，分別以點A、點B為中心建立方位圖，表示東北方向的射線BE

與表示北偏東15°方向的射線AD的交點C即為這艘敵艦的位置.

點撥

利用角度來描述方位，以正北、正南的方向為基準，先確定是北還是南，然后確定東、

西方向，最后確定偏東（或西）的角度，注意東北方向是北偏東45°.

思想方法歸納

1.分類討論思想

分類討論，就是對問題所給對象的條件、結論、圖形等不能進行統一研究時，就需要將

研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得

到整個問題的解答.注意分類時要做到按同一標準且不重不漏.

例1已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使它等于3cm,求線段AC的長.

解：本題分兩種情況：

如圖4—4—9所示，當點C在線段AB的延長線上時，

AC=AB+BC=8+3=11（crn）；圖449

如圖4—4—10所示，當點C在線段AB上時，-------—?

ACD

AC=AB—BC=8—3=5（cm）.

所以線段AC的長為Hcm或5cm.圖…一”

5

例2經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數是（）

A.1或3B.3C.2D.1

解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在一條直線上時，就只能畫出一條直線；

二是這三點不在同一條直線上時，此時共可以畫出三條直線.答案：A

2.數形結合思想

數形結合思想就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，

通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡

單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的，線段、直線、角的重要性質也都是

通過數形結合的思想體現的.

例3如圖4-4-11所示放置的三角板，把三角板較長的直角邊從水平狀態開始，在

平面上沿著直線BC滾動一周，求B點轉動的角度.

解：三角板轉動的路線如圖一4—12所示.由圖可知第一次轉動3°,第二次轉動120°,

第三次沒動，所以B點轉動了210。.

點撥

解決本題的關鍵是明確角的變化情況，因此，可根據題意畫出從起點到終點轉動一圈

的示意圖，然后根據圖形就很容易確定出B點轉動的角度了.

3.轉化思想

解決一個問題，往往是由未知向已知轉化，由陌生向熟悉轉化，由復雜向簡單轉化，轉

化思想貫穿整個數學學習的始終.

例4將下列選項中的平面圖形繞直線1旋轉一周，可以得到如圖4-4-13所示立體

圖形的是（）

解析：分析立體圖形可知，直線1應為初始旋轉的直角梯形垂直于兩底的腰所在直

線.答案：B

點撥

本題主要考查了同學們識別圖形的能力.對于類似的圖形識別問題我們要能從所給立

體圖形入手，分析形成它的基本圖形，把復雜的立體圖形轉化為平面圖形去認識、解決.

中考熱點聚焦

考點1線段

考點突破：線段問題在中考題中一般難度不大，解題時要結合圖形，認真分析，問題便

會迎刃而解.

例1（2011廣東佛山，12,3分）已知線段AB=6,若C為AB中點，則A83.

考點兩點間的距離

分析由題意可知，線段AB=6,C為AB中點，所以，AC=BC,即AC=3；

6

A-----------------------?--------------------------

解答解：如圖，C點線段AB=6,C為AB中點，

；.AC=BC,.\AC=3.故答案為：3.

點評本題考查了兩點間的距離，牢記兩點間的中點到兩端點的距離相等.

（2011廣西崇左，5,2分）在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據

是.

考點：線段的性質：兩點之間線段最短.

分析：根據線段的性質：兩點之間線段最短解答.

解答：解：在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據是：兩點之間線

段最短.

故答案為：兩點之間線段最短.

點評：本題考查了兩點之間線段最短的性質，是基礎題，比較簡單.

如圖4—4—14所示，點A、B、C是直線1上的三個點，圖中共有線段的條數是（）

A.1B.2C.3-I—______-,

A?U?

解析：圖中有線段AB、BC、AC.答案：C,圖1X

考點2余角和補角

考點突破：此類題在中考中的考查為基礎性題目，一般為選擇題或填空題，只要牢記余

角和補角的定義，便能準確求解.

例2（2011清遠，6,3分）已知/a=35°,則Na的余角是（）

A.35°B.55°C.65°

D.145°

考點：余角和補角.

專題：計算題.

分析：根據互為余角的兩個角的和為90度作答.

解答：解：根據定義Na的余角度數是90°-35°=55°.故選.

點評：本題考查角互余的概念：和為90度的兩個角互為余角.屬于基礎題，較簡單.

（20H?南通）已知/a=20°,則/a的余角等于70°.

考點：余角和補角。

分析：若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；根據已知條件可直接求出角a的余角.

解答：解：；/a=20°,/a的余角=90°-20°=70°.故答案為：70°.

點評：本題考查了余角的定義，解題時牢記定義是關鍵.

（2011福建福州，5,4分）下列四個角中，最有可能與70°角互補的角是（）

考點：余角和補角.

分析：根據互補的性質，與70°角互補的角等于180°-70°=110°,是個鈍角；看下4

個答案，哪個符合即可；

解答：解：根據互補的性質得，70。角的補角為：180。-70。=110。，是個鈍角；?.?答案

A.B.C都是銳角，答案D是鈍角；...答案D正確.故選D.

點評：本題考查了角互補的性質，明確互補的兩角和是180。，并能熟練求已知一個角的補

角.

例3如果/a=60°,那么/a的余角的度數是（）

7

A.30°B.60°C.90°D.120°

解析：Za的余角的度數為90°-60°=30°.答案：A

30°角的補角是（）

A.30°角B.60°角C.90°角D.150°角

解析：30°角的補角度數為180°-30°=150°.答案：D

考點3鐘表上的角度問題

考點突破：此類題是近幾年中考中的熱點問題，考查形式為選擇題或填空題.解決此類

問題需明確：在鐘表上，1分鐘分針走6°,1小時時針走30°.

例4從3時到6時，鐘表的時針旋轉角的度數是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

解析：從3時到6時共3小時，時針旋轉角的度數為30°X3=90°.答案：C

考點4從不同方向看立體圖形

考點突破：從不同方向看立體圖形是中考的熱點問題，幾乎每套中考題中都會出現，解

決問題時應發揮空間想象能力，把立體圖形轉化為平面圖形.

例5如圖4-4-15所示四個幾何體中,從上面看得到的平面圖形是圓的幾何體共有（）

圖4-4-15

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：題圖中從上面看得到的平面圖形是圓的幾何體是圓柱和球.答案：B

例6如圖4—4—16所示的幾何體是由7個大小相同的小正方體組成的，XZZY'r

該幾何體從上面看得到的平面圖形為（）任"

圖4-4-16

FF

答案：C

綜合驗收評估測試題

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.平角是一條直線

B.周角是一條射線

C.用2倍的放大鏡看1cm的線段，這條線段變成了2cm

D.用2倍的放大鏡看30°的角，這個角變成了60°

2.下列說法正確的是（）

A.直線AB與直線BA不是同一條直線

B.線段AB與線段BA不是同一條線段

C.射線OA與射線AO不是同一條射線

D.射線OA與射線AO是同一條射線

3.如圖4—4—17所示，AB=CD,則AC與BD的大小關系是（）

A.AC>BDB.AC=BDC.AC<BDD.不能確定41

8

4.如果線段AB=6cm,BO5cm,那么A、C兩點間的距離是()

A.1cmB.5.5cmC.11cmD.11cm或1cm

5.若Na的補角是42°,Z/3的余角是52°,則Na和N/3的大小關系是()

A.Na>Z/3B.Za<Z/3C.Za=Z/3D.不能確

定

6.如圖4—4—18所示，Zl=15°,ZA0C=90°,B、0、D三點在

一條直線上，則N3等于（）

A.75°B.105°C.15°D.165°

7.一個角和它的補角的度數比為1：8,則這個角的余角為()

A.10°B.20°C.70°D.80

8.如圖4一4—19所示，已知/A0C=ZB0D=Z78°,ZB0C=

35°,則/A0D等于（）

A.113°B.121°C.156°D.86°

二、填空題

9.29°30,=度，18.25°=度分秒.

10.15分鐘時間，時鐘上的時針轉了一度，分針轉了一度.

11.如圖4—4—20所示，由點B觀測點A的方向是—

12.一個畫家有14個棱長為1米的正方體,他在地面上把它們擺成如圖4-4-21所示

的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂上顏色的總面積為.

三、解答題

13.請仔細觀察如圖4—4—22所示的折紙過程，然后回答下列問題：

把EC折到E8

所在在線I:

圖4-4-22

⑴求/2的大小.

(2)Z1與/3有何關系？

(3)N1與ZAEC,Z3與ZBEF分別有何關系？

14.如圖4一4一23所示，已知AC=CD=DB,AC=2AM,BN=1BM,如——.-----

2IA7(■\I)/]

果MN=5cm,求AB、CN的長.圖…3

15.如圖4—4—24所示，一只螞蟻從。點出發，沿北偏東30。方

化

向爬行2.5cm,碰到障礙物B后，又沿西北方向爬行3cm到達C處.

(1)畫出螞蟻爬行的路線；

(2)求/OBC的度數；西一耳-

⑶測出線段0C的長度(精確到0.1cm).

用

B4-4-24

9

答案

1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.B

9.29.5,18,15,0

10.7.5,90

11.南偏西65°

12.33平方米

13.解：(1)因為從圖中可知/l+/3=/2,且/1+/3+/2=180°,

1

所以N2=-X18°=90°.

2

⑵因為/1+/3=/2=90°,所以/I與/3互余.

(3)因為/l+/AEC=180°,所以/I與/AEC互補；

同理/3與/BEF互補.

14.解：因為AOCD=DB,所以AB=3AC.

因為AC=2AM,所以AM=CM=，AC.

2

又因為BN=；BM,所以BN=MN=5cm.

所以AB—AM=BM=2MN,

1

即3AC——AC=2X5.

所以AC=4(cm).

所以AB=3AC=12cm,

1

CN=MN—CM=5——X4=3(cm).

15.解：(1)螞蟻爬行的路線如圖4―4—25所示.

(2)因為螞蟻從。點出發沿北偏東30°方向爬行2.5cm到達B處,

BPZ0BD=30",貝1]/AB0=60°.

又因為螞蟻到達B處后又沿西北方向爬行了3cm,即/ABC=45°.

所以/0BC=/AB0+/ABC=60°+45°=105°.

(3)用刻度尺測量OC的長約為4.4cm.圖1-4-25

10

3.2直線、射線、線段

【本講教育信息】

一.教學內容：

直線、射線、線段

—.重點、難點：

同學們初學幾何直線、射線、線段都是幾何中的基本元素，可以說幾何中很大一部分

圖形是由它們構成的，所以掌握直線、射線、線段的各種特性對我們今后學習好幾何起著決

定性作用。

三.復習

1.知識結構圖

2.直線、射線、線段的聯系與區別

11

【典型例題】

［例1］(1)直線有個端點，向方無限延伸；射線有_個端點，向方

無限延伸；線段有個端點延伸。

(2)線段AB的端點是,射線OP的端點是。

(3)直線的基本性質(公理)是：經過兩點一條直線。

(4)叫做兩點的距離。

(5)線段的公理是：所有聯接兩點的中，最短。

答案：

(1)0；兩；1；—,；兩；不

(2)點A和點B；點O

(3)有且只有

(4)連結兩點的線段的長度

(5)線；線段

說明：這些都是直線、射線、射線的基本性質，同學們要熟練掌握。

［例2］(1)如圖A、B、C、D是一條直線上，依次排列的四個點，AC=BC+，AD=BC+

ABCD

(2)如圖，已知B是AC的中點，C是BD的中點，則AB=BD,BC=AD?

~BCD-

5

(3)已知：如圖，線段AB=L8cm,C點在AB的延長線上，AC=yBC,則BC=

cm。

??-.

ABC

答案：

(1)AB；AB+CD

11

(2)—?-

2,3

(3)2.7

解析：

53

由AC=-BC可知：BC=-AB,又AB=1.8cmBC=2.1cm

32

說明：對于幾何題目要結合圖形，很多證明，計算都要從圖形入手。

［例3］如圖，圖中共有_______條線段，共有條射線，分別是比較圖中線

段的大小，ADAB,ACAE,點E在線段AB所在直線，點E在線

段AC,點E是線段的交點。

12

答案：11;3；射線AG；射線EG；射線CG；＜；＞；外；上；AC和FD

［例4］如圖，圖中共有條線段。

ABCDEF

答案：有6（6;1）=15條。

說明：如果平面上有n個點，且兩兩相連，則由這n個點共可組成七」條線段。

［例5］在直線L的同一方向上作AB=5cm,AC=2；cm,AD=7cm,在DA的延長線上作

11

DE=9cm,DF=13-cm,則C是________或_____的中點，DC=§_______,CEFE。

-FEACBD

答案：AB或ED；FD；=

解析：如圖所示，由題意知：FE=4，EA=2cm,AC=CB=2.5cm,BD=2cm,

故點C是AB或ED的中點；DC=^FD,CE=FE。

［例6］下列圖形中，可以度量長度的是（）

A,直線B.射線C,線段D.點

答案：C

解析：直線無端點向兩方無限延伸；射線有一個端點，向一方無限延伸；點沒有大小;

線段有兩個端點，故只有線段可以度量長度。

［例7］如圖，圖中給出的是直線、射線、線段的位置關系，其中能相交的是（）

A.直線AB和直線CDB,直線AB和射線CD

C.線段AB和射線CDD.線段AB和線段CD

，I

CD

CD

?_____________??________________?

ABAB

答案：A

［例8］如圖，圖中確定的虛線，表示線段0P的反向延長線的是（）

OPOP

(A)(B)

13

OPOP

(C)(D)

答案:c

解析：圖A中的虛線表示OP的延長線；圖B中的虛線表示OP的延長線及OP的反向

延長線，圖D中的虛線不是線段的延長線，故選C。

［例9］已知線段AB=5cm,BC=3cm,則AC=()

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.無法確定

答案：D

分析：此題很多同學都錯選了C,認為有兩種情況如下圖所示---------B一^或

A--------C-------------^但同學們都忽略了原題當中并沒有說AB、BC在同一直線上，所以還

要考慮此種情況，，所以是無法確定。

AB

C

11一

［例10］點D在線段EF上，在等式DE=DF,DE=jEF,EF=2DF,DF=^DE中，能表示D

是線段EF三等分點的有()

A.一個B.兩個C,三個D,四個

解析：DE=、EF,。歹=；。石都表示點D是線段EF的三等分點，故選B。

［例11］平面內有〃條直線兩兩相交，最多可確定％個交點，最少可確定y個交點，則x+y=

解析：平面內〃條直線相交于一點時，交點的個數最少，y=l,平面內〃條直線兩兩

相交，且無三條直線共點時，交點個數最多。確定交點個數的方法是：平面內2條直線中任

意一條直線和其它(〃-1)條直線的交點有(〃-1)個，類似地〃條直線呢？［共有1)

個］，但是每個交點都重復地計算；所以不同的交點n共(n-有I)個。此時，n(\n-1),

n(n-1)1〃2—〃+2

因此x+y=--—+1=——-------o

［例12］已知：E、F兩點把線段AB分成2:3:4三部分，D是線段AB的中點，FB=l2。求:

(I)DF的長；(2)AE:ED

-A_EDFB

解：

14

如圖，由AE:E77:歹B=2:3:4/.設AE=2x,則Eb=3x,FB=4x

'：FB=12；.4x=12x=3AE=6,EF=9,AB=27

又：點D是AB的中點。8=13；

DF=DB-FB=13--12=1-ED=EF-DF=9-1-=1-

2222

AE:ED=6:7-=4:5

2

【模擬試題】（答題時間：50分鐘）

一.判斷題:

1.三條直線兩兩相交，交點必定是三個。（）

2.連結AB,就是要畫以A、B為端點的線段。（）

3.射線是直線的一半。（）

4.點B把線段AC分成兩條線段，則說點B是AC的中點。（）

5.直線BA與直線AB表示同一條直線。（）

6.點和直線的位置關系有：點在直線上，點在直線外。（）

7.線段AC=BC,則C是線段AB的中點。（）

8.兩點之間直線最短。（）

9.反向延長線段AB到C,使BC=3AB。（）

二.填空題：

1.在幾何里，一個點可以用一個表示,一條射線可能用一個表示，也可以

用表不。

2.過一點有——條直線；過兩點有——條直線，并且——條直線。

3.叫做線段。

4.已知線段AB,在BA的延長線取一點C,使CA=2AB,則線段CB是線段AB的倍。

5.直線是向無限延伸的。

6.如圖（1）,線段AB=AD++,線段CB=AB—。

II1I

ADCB

（1）

7.如圖（2）,從甲地到乙地有三條路線，其中最近的是______,根據的公理是

(2)

8.如圖（3）,如果AB=BC=CD,則線段AC的中點是,BC=BD。

ABCD

15

(3)

9.過三點中的每兩點畫直線，可以畫0

10.根據圖形填空

I_______I______I_____I

ABCD

(1)AC=BC+()=()—()；

(2)BD=CD+()=AD-()；

(3)AB+BC=()-CD；

(4)AB=AC-()=AD-()-()o

11.如圖，AB=BC=CD=DE,那么，

I1III

ABCDE

(1)AE=AB；(2)AC=AE；(3)AB=AD；

(4)AE=AC；(5)AE=AD?

12.如圖1―立■-g,如果AM=BM,CM=DM,那么AC=,AD=_

13.如圖:------g—Q-----------,如果AB=CD,那么AC=；如果AC=BD,那

么AB=_______o

14.延長線段AB到C,使BC=：AB,延長BC到D,使CD=^BC,若AO=36c機，

貝ljAB=?

三.選擇題:

1,下列圖形中，是平面圖形的為（）

A.方磚、圓罐、足球B.體、面、線、點

C.長方體、圓柱體、球體D,直線、長方形、圓

2.如圖（4）,在下列語句中,能正確表示出圖形特點的個數有（）

①直線/經過點A、B②點、A、點B都在直線/上

③/是一條由A、B兩點所確定的直線④/是一條直線，A、B是任意點

A.1個B.2個C.3個D.4個

A6

（4）

3.下列說法中，正確的是（）

A.射線AB和射線BA表示同一射線

B,直線BA和直線AB等長

C.線段AB和線段BA表示同一線段

D.射線AB有兩個端點

4.在直線。上有A、B、C、D四點，若圖中的射線條數為根，線段條數為〃，貝I（）

A.m>nB.m=nc.m<nD,不能確定

5.已知線段AB=5,在直線AB上畫線段BC=2,則AC長為（）

A.7B.3C.7或3D.不能確定

16

6.下列說法正確的是（）

A.過A、B兩點的直線的長度是A