專題一力與運動（講）1.4萬有引力定律與航天一、考情分析近3年考情分析考點要求等級要求考題統計202220212020中心天體質量和密度的估算Ⅱ2022·重慶卷·T92022·山東卷·T62021·重慶卷·T82021·全國乙卷·T182021·廣東卷·T22021·遼寧卷·T82021·山東卷·T52021·福建卷·T82021·福建卷·T132020·海南卷·T7衛(行)星運行參量的分析Ⅱ2022·北京卷·T192022·海南卷·T102022·江蘇卷·T142022·上海卷·T102022·湖南卷·T82022·廣東卷·T22022·浙江6月卷·T62021·浙江1月卷·T72021·海南卷·T42021·河北卷·T42021·湖北卷·T72021·湖南卷·T72020·全國=1\*ROMANI卷·T152020·全國=2\*ROMANII卷·T152020·全國=3\*ROMANIII卷·T162020·天津卷·T22020·浙江7月卷·T72020·浙江1月卷·T92020·江蘇卷·T72020·北京卷·T5航天器（衛星）的變軌問題Ⅱ2022·遼寧卷·T92022·全國乙卷·T142022·浙江1月卷·T82021·天津卷·T52021·浙江省6月卷·T102021·北京卷·T62021·全國甲卷·T182021·江蘇卷·T32020·山東卷·T7雙星與多星問題Ⅱ考情總結萬有引力定律與天體運動問題是歷年高考必考內容，常以天體問題（如雙星、黑洞、恒星的演化等）或人類航天（如衛星發射、空間站、探測器登陸等）為背景，考查向心力、萬有引力、圓周運動等知識，多以選擇題型出現。應考策略熟悉解決天體運動問題的兩條思路，正確理解萬有引力及萬有引力定律，掌握天體質量和密度的估算方法，熟悉一些天體的運行常識．結合牛頓第二定律、向心力公式和萬有引力定律及功能關系分析計算衛星運行及衛星變軌問題．關注中國及世界空間技術和宇宙探索為背景的題目。二、思維導圖三、講知識1．重力和萬有引力的關系(1)不考慮自轉時，星球表面附近物體的重力等于物體與星球間的萬有引力，即有Geq\f(Mm,R2)＝mg，其中g為星球表面的重力加速度．(2)考慮自轉時，在兩極上才有eq\f(GMm,R2)＝mg，而赤道上則有eq\f(GMm,R2)－mg＝meq\f(4π2,T2)R.2.一條黃金代換：GM＝gR2.3兩條基本思路．①天體附近：Geq\f(Mm,R2)＝mg.②環繞衛星：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mr(eq\f(2π,T))2.4.兩類衛星．①近地衛星：Geq\f(Mm,R2)＝mg＝meq\f(v2,R).②同步衛星：Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)(eq\f(2π,T))2(T＝24h)．5.衛星變軌問題：當衛星速度減小時，F向小于F萬，衛星做近心運動而軌道下降，此時F萬做正功，使衛星速度增大，變軌成功后可在低軌道上穩定運動；當衛星速度增大時，與此過程相反．6.雙星：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L四、講重點重點1中心天體質量和密度的估算1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.(1)由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；(2)若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；(3)若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．3.估算中心天體質量和密度的兩條思路和三個誤區(1)兩條思路利用中心天體的半徑和表面的重力加速度g計算由Geq\f(Mm,R2)＝mg求出M＝eq\f(gR2,G)，進而求得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。利用環繞天體的軌道半徑r和周期T計算由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得出M＝eq\f(4π2r3,GT2)。若環繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運動，軌道半徑r＝R，則ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)(2)三個常見誤區①天體質量和密度的估算是指中心天體的質量和密度的估算，而非環繞天體的。②注意區分軌道半徑r和中心天體的半徑R。③在考慮自轉問題時，只有兩極才有eq\f(GMm,R2)＝mg天體。重點2衛(行)星運行參量的分析1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律2．必須牢記同步衛星的兩個特點(1)同步衛星繞地心做勻速圓周運動的周期等于地球的自轉周期．(2)所有同步衛星都在赤道上空相同的高度上．3.必須牢記近地衛星的三個特點①軌道半徑＝地球半徑．②衛星所受萬有引力＝mg.③衛星向心加速度＝g.4.宇宙速度的理解與計算第一宇宙速度的推導方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9×103m/s.方法二：由mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(gR)＝7.9×103m/s.第一宇宙速度是發射地球人造衛星的最小速度，也是地球人造衛星的最大環繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))≈85min.5.環繞天體繞中心天體做圓周運動的規律(1)一種模型：無論是自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛星)都可以看做質點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動，萬有引力提供其做圓周運動的向心力。(2)兩條思路①萬有引力提供向心力，即eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mr·(eq\f(2π,T))2＝ma；②天體對其表面物體的萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg天體。(3)三點提醒①a、v、ω、T、r只要一個量發生變化，其他量也發生變化；②a、v、ω、T與環繞天體的質量無關；③對于人造地球衛星，當r＝R地時，v＝7.9km/s為第一宇宙速度。(4)四點注意①同步衛星繞地心做勻速圓周運動的周期等于地球的自轉周期。②所有同步衛星都在赤道上空相同的高度上。③注意同步衛星與地球赤道上物體的區別與聯系。④區別軌道半徑與距天體表面的高度。重點3航天器（衛星）的變軌問題衛星速度改變時，衛星將變軌運行．1．速度增大時，衛星將做離心運動，周期變長，機械能增加，穩定在高軌道上時速度比在低軌道上小．2．速度減小時，衛星將做向心運動，周期變短，機械能減少，穩定在低軌道上時速度比在高軌道上大．3．物理量的定性分析(1)速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB.因在A點加速，則vA＞v1，因在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同．同理，從軌道Ⅱ和軌道Ⅲ上經過B點時加速度也相同．(3)周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3.(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒．若衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1＜E2＜E3.4.航天器（衛星）變軌應注意的五個問題(1)若衛星由高軌道變軌到低軌道，即軌道半徑(半長軸)減小時，需要在高軌道變軌處減速；反之，若衛星由低軌道變軌到高軌道，即軌道半徑(半長軸)增大時，需要在低軌道變軌處加速。(2)衛星變軌時速度的變化情況，可根據軌道半徑(半長軸)的變化情況判斷；穩定的新軌道上運行速度的變化情況可由開普勒第二定律判斷。(3)同一衛星在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑(半長軸)越大，機械能越大。(4)衛星經過不同軌道相交的同一點時加速度相等。外軌道的速度大于內軌道的速度。(5)同一中心天體的不同圓軌道或橢圓軌道的周期均滿足開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k。5.求解衛星運行問題的“一二三”一個模型天體(包括衛星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型兩組公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝maGeq\f(Mm,R2)＝mg(g為天體表面處的重力加速度)三類軌道(1)赤道軌道：衛星的軌道在赤道平面內，同步衛星就是其中的一種。(2)極地軌道：衛星的軌道過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內，如極地氣象衛星。(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛星軌道，且軌道平面一定通過地球的球心。重點4雙星與多星問題解決雙星、多星問題，要抓住四點：一抓雙星或多星的特點、規律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑；二抓星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供；三抓星體的角速度相等；四抓星體的軌道半徑不是天體間的距離.要利用幾何知識，尋找它們之間的關系，正確計算萬有引力和向心力.1．雙星模型(1)模型條件：兩顆恒星彼此相距較近；兩顆恒星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運動；兩顆恒星繞同一圓心做勻速圓周運動．(2)模型特點①兩顆恒星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2.②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③半徑、線速度與質量成反比：圓心在兩顆恒星的連線上，且r1＋r2＝L，兩顆恒星做勻速圓周運動的半徑與恒星的質量成反比．兩顆恒星做勻速圓周運動的線速度與恒星的質量成反比．（3）.處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2。2．三星模型(1)如圖1所示，三顆質量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運動．這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡，運轉的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向．兩行星運行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．(2)如圖2所示，三顆質量相等的行星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動．每顆行星運行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供，即eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＝ma向，其中L＝2rcos30°.三顆行星運行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．3.雙星與多星模型對比及解題思路“雙星”模型“三星”模型“四星”模型情境圖運動特點轉動方向、周期、角速度相同，運動半徑一般不等轉動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運動半徑相等轉動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運動半徑相等受力特點兩星間的萬有引力提供兩星做圓周運動的向心力各星所受萬有引力的合力提供其做圓周運動的向心力各星所受萬有引力的合力提供其做圓周運動的向心力規律eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2cos45°＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＋eq\f(GmM,r2)＝ma向關鍵點m1r1＝m2r2r1＋r2＝Lr＝eq\f(L,2cos30°)r＝eq\f(\r(2),2)L或r＝eq\f(L,2cos30°)重點1中心天體質量和密度的估算例1：（2023屆·江蘇如皋市高三上學期開學考試）我國中繼衛星“鵲橋”是運行于地月拉格朗日SKIPIF1<0點的通信衛星，SKIPIF1<0點位于地球和月球連線的延長線上，“鵲橋”可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動，如圖所示。已知“鵲橋”質量遠小于月球質量，可忽略“鵲橋”對月球的影響，地球與月球的中心距離為r，SKIPIF1<0點與月球的中心距離為SKIPIF1<0，月球繞地球公轉周期為T，引力常量為G。求：（1）“鵲橋”在SKIPIF1<0點的加速度大小a；（2）地球質量與月球質量的比值。訓1：（2023屆·湖南永州市一中高三上學期開學考試）2016年8月，我國在酒泉衛星發射中心用長征二號丁運載火箭成功將世界首顆量子科學實驗衛星“墨子號”發射升空。如圖所示為“墨子號”衛星在距離地球表面500km高的軌道上實現兩地通信的示意圖。若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是（）A.工作時，兩地發射和接收信號的雷達方向一直是固定的B.不能估算出“墨子號”衛星繞地球做勻速圓周運動速度C.可以估算出“墨子號”衛星所受到的萬有引力大小D.可以估算出地球的平均密度重點2衛(行)星運行參量的分析例2：（2023屆·安徽省卓越縣中聯盟高三上學期開學考試）中國空間站將在2022年內完成在軌完全體建造任務，其設計壽命為10年，長期駐留3人，總重量達90余噸，屆時由核心艙、實驗艙夢天、實驗艙問天、載人飛船和貨運飛船五個模塊組成的中國空間站將代表中國航天事業的新高度。已知中國空間站運行軌道高度約400公里左右，因所在空間存在稀薄的空氣，空間站無動力自主運行時軌道高度會緩慢下降，一個月會下降約3公里，這就要求在必要的時候啟動發動機抬升空間站的軌道做軌道維持。下列對處于自主無動力運行時空間站所做的判斷中正確的是（）A.運行速度會逐漸減小 B.運行周期會逐漸增大C.加速度會逐漸增大 D.機械能會逐漸增大訓2：（2023·湖北黃岡市高三上學期期中）北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統。北斗系統的空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星組成，地球同步軌道衛星的半徑大于中圓軌道衛星的半徑。設地球同步軌道衛星和中圓軌道衛星的線速度分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；角速度分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；向心加速度分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；周期分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0。以下說法正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0重點3航天器（衛星）的變軌問題例3：（2023屆·福建福州一中高三上學期開學考試）“天問一號”從地球發射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，則天問一號（）A.發射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間B.從P點轉移到Q點的時間小于6個月C.在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小D.在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度訓3：（2023屆·河北五個一名校聯盟高三上學期開學考試）如圖所示，SKIPIF1<0是在赤道平面上相對地球靜止的物體，隨地球一起做勻速圓周運動。SKIPIF1<0是在地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星，軌道半徑約等于地球半徑。SKIPIF1<0是地球同步衛星，已知地球表面兩極處的重力加速度為SKIPIF1<0，下列關于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的說法正確的是（）A.SKIPIF1<0做勻速圓周運動的加速度等于SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<