第第頁專題2.2基本不等式-重難點題型精講1.兩個不等式eq\f(a＋b,2)叫做正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)叫做正數a，b的幾何平均數．基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．溫馨提示：“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數，(1)如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．【題型1對基本不等式的理解】【方法點撥】(1)不等式成立的條件：a，b都是正數．(2)“當且僅當”的含義：①當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【例1】對于不等式：①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正確，②錯誤 B．②③正確，①錯誤 C．①②錯誤，③正確 D．①③錯誤，②正確【變式1-1】若實數a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【變式1-2】若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【變式1-3】已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，則下列選項錯誤的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【題型2利用基本不等式證明不等式】【方法點撥】(1)利用基本不等式證明不等式，關鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉化為“積”式或將“積”式轉化為“和”式，從而達到放縮的效果．(2)注意多次運用基本不等式時等號能否取到．(3)解題時要注意技巧，當不能直接利用不等式時，可將原不等式進行組合、構造，以滿足能使用基本不等式的形式．【例2】已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求證：(1+1【變式2-1】已知a，b∈R+，設x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【變式2-2】已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求證：a（2）求證：a+b+1≥ab【變式2-3】設a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求證：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【題型3利用基本不等式求最值（無條件）】【方法點撥】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)積為定值；若是求積的最大值，通常化(或利用)和為定值，其解答技巧是恰當變形、合理拆分項或配湊因式．(2)若多次使用基本不等式，等號成立的條件應相同．【例3】已知a＞1，則a+4A．5 B．6 C．32 D．【變式3-1】y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-2】函數y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【變式3-3】若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【題型4利用基本不等式求最值（有條件）】【例4】已知a，b為正實數且a+b＝2，則baA．32 B．2+1 C．52 【變式4-1】若正實數y滿足2x+y＝9，則?1A．6+429 B．?6+429 C．【變式4-2】已知正實數x，y滿足1x+4y+4=x+yA．13?2 B．2 C．2+13 D【變式4-3】已知正實數a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．254 【題型5利用基本不等式求參數】【例5】已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【變式5-1】已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【變式5-2】已知正實數a、b滿足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【變式5-3】設x＞0，y＞0，設2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【題型6利用基本不等式解決實際問題】【方法點撥】解決實際問題時，先弄清題意(審題)，建立數學模型(列式)，再用所掌握的數學知識解決問題(求解)，最后要回應題意下結論(作答)．【例6】用一段長為32m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？【變式6-1】如圖，計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為x，寬為y．（1）若菜園面積為72，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？（2）若使用的籬笆總長度為30，求1x【變式6-2】迎進博會，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左、中、右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm．（1）試用欄目高acm與寬bcm（a＞0，b＞0）表示整個矩形廣告面積Scm2；（2）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形廣告面積最小，并求最小值．【變式6-3】如圖設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點P．設AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）設△ADP面積為S，求S的最大值及相應的x的值．專題2.2基本不等式-重難點題型檢測一．選擇題1．函數f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．252．若實數x、y滿足x2+y2＝1+xy，則下列結論中，正確的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤23．下列函數中，最小值為2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+14．設a＞0，b＞0，若a+3b＝5，則(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．435．已知正實數a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．126．《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為（）A．a+b2≥ab(a＞0C．a+b2≤a2+7．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若不相等的兩個正實數a，b滿足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8二．多選題9．下列函數最小值為2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D10．若正數a，b滿足a+b＝1，則13a+2A．67 B．47 C．27 11．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，則錯誤的是（）A．xy的取值范圍是[1，9] B．x+y的取值范圍是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是412．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm?1≤x+2yxy對任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 三．填空題13．已知x＞2，x+ax?2（a＞0）最小值為3．則a＝14．已知正實數a，b滿足ab+a+b＝3，則2a+b的最小值為．15．直角三角形的斜邊長為5時，其面積有最（大或小）值，為．16．有下列4個關于不等式的結論：①若x＜0，則x+1x≤?2；②若x∈R，則x2+2x2+1≥2；③若x∈R，則|x+1x|≥2；④四．解答題17．已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及18．已知實數a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．19．若a＞0，b＞0，a+b＝1．求證：（1）4a+1b≥9；20．如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為18m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？（2）若使用的