第五章連續函數郇中丹-年第一學期1第1頁第1頁基本內容§1函數在一點連續性§2初等函數連續性§3主要函數極限§4在集合上連續函數§5閉區間上連續函數性質§6 一致連續性§7閉集和開集及緊性概念2第2頁第2頁§1.函數在一點連續性函數在一點連續定義函數在一點左連續和右連續函數在一點連續性質連續函數例子3第3頁第3頁函數在一點連續定義定義:設IR為區間,:IR.說在x0I處連續,假如e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e.在一點連續等價說法:4第4頁第4頁函數在一點左連續和右連續左連續和右連續:設:IR,x0I不是端點.假如就說在x0處右連續；假如就說在x0處左連續.和分別叫做在x0處右極限和左極限.命題:設:IR,x0I.則在x0處連續當且僅當:(1)x0不是端點時,在x0處左右都連續;(2)x0為左(右)端點時,在x0處右(左)都連續.#5第5頁第5頁函數在一點連續性質設,g:IR在x0I處連續,c,dR.則算術性質:c+dg,g,和/g(若g(x0)0)在x0處連續;復合性質:若函數u在(x0)處連續,則h=u在x0處連續;保號性:若(x0)0,則d>0,xI(x0-d,x0+d),(x)(x0)>0有界性:C>0,d>0,xI(x0-d,x0+d),|(x)|C.6第6頁第6頁連續函數例子1.常值函數(x)=c是連續;2.恒等函數(x)=x是連續;3.多項式函數P(x)=Sakx^k是連續;4.有理函數(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0處(自然定義域上)是連續,其中P(x)和Q(x)是多項式;(3和4是連續函數性質推論)5.n根函數(x)=x^{1/n}在其定義域上是連續;6.整數部分函數(x)=[x]在非整數點連續,宰整數點右連續但不左連續;7第7頁第7頁書上62頁例子設在閉區間[a,b]每個點連續.則函數

在閉區間[a,b]每個點同樣連續.其中n為整數.討論:(1)通過討論在整數點左右極限.(2)注意當求和下限不小于上限時,商定和式為零.#8第8頁第8頁習題十一(I)1.設:RR,x0R.證實:(x)l(xx0)當且僅當(x)l(xx0+)和(x)l(xx0-).2.設:RR.討論函數g(x)=([x])連續性.3.討論下列函數連續性:9第9頁第9頁習題十一(II)4.計算下列極限:5.設和g是定義在(a,+)函數.假設和g在任何有界區間(a,b)上都有界,x>y>a,g(x)>g(y)且g(x)+(x+).證實:10第10頁第10頁§2初等函數連續性冪定義指數函數性質指數函數連續性指數函數極限和值域性質自然對數函數對數函數和冪函數三角函數11第11頁第11頁冪定義(I)正整多次冪:設aR.nN+.an次冪定義下列正整多次冪基本性質:冪推廣到整數并且保留冪性質:要把冪推廣到有理數,首先需要確保n次算術根存在性,為此要求a>0.定義下列

12第12頁第12頁冪定義(II)有理指數冪仍然保留了冪基本性質(驗證關鍵是用到n次算術根惟一性).無理次冪:先考慮a>1,對于rR,定義ar次冪為這里利用了有理次冪遞增性.由對于有理次冪性質,能夠自然定義當0<a<1時,13第13頁第13頁指數函數性質設a>0,a0.定義以a為底指數函數為討論a>1情形就夠了.此時(x)由下列性質:(1)正性:xR,(x)>0;(2)嚴格單調遞增性:x<y,(x)<(y);(3)x,yR,(x+y)=(x)(y).證實:(1)和(2)直接由定義.(3)由14第14頁第14頁指數函數連續性指數函數在R每一點都連續.證實:取定x0R.則對于xR,因此只要證實在x0=0點連續就行了.任取e>0,由則存在N,有因此由指數函數單調性,當|x|<1/N時,15第15頁第15頁指數函數極限和值域性質指數函數(x)極限性質(a>1):(1)(x)+(x+);(2)(x)0(x-)證實:由單調性和(-x)=1/(x),只要證實(n)+(n+)就夠了,這是相關a^n極限推論.#指數函數值域(R)=(0,+).證實:由指數函數正性(R)(0,+).假設r>0,r(R),記a=sup{x|(x)<r},b=inf{x|(x)>r}.必有a=b.因此在a點不連續,矛盾.#16第16頁第16頁自然對數函數考慮a=e情形,此時指數函數記作exp(x).記其在(0,+)上反函數為ln(x),叫作自然對數函數.1.ln(x)嚴格單調,ln(0+)=-,ln(+)=+.#2.ln(x)在(0,+)每一點都連續.證實:取x0(0,+).任取e>0,令d=min{exp(ln(x0)+e)-x0,x0-exp(ln(x0)-e)}.當|x-x0|<d時,exp(ln(x0)-e)<x<exp(ln(x0)+e)也就是ln(x0)-e<ln(x)<ln(x0)+e.#17第17頁第17頁對數函數和冪函數對于a>0,a1,指數函數和相應對數函數指數運算規則:冪函數:設aR,指數為a冪函數能夠寫為更普通地:利用復合函數能夠討論它們定義域和連續性.18第18頁第18頁三角函數三角函數連續性討論是基于下面利用三角函數單位圓描述得得到幾何事實:xR,|sinx||x|.以及|sinx|,|cosx|1.正弦函數:利用sinx-siny=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2;余弦函數:利用cosx-cosy=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2;tanx,cotx,secx和cscx利用其與正弦和余弦關系及連續函數算術性質.19第19頁第19頁習題十二1.用定義驗證下列函數再起定義域上是連續.2.證實:(1)x(0,1),lnx<0;(2)x>1,lnx>0;3.討論冪函數 在區間(0,+)單調性,即,對于那些a,有x>y>0,(x)>(y);對于那些a,有x>y>0,(x)<(y).20第20頁第20頁§3主要函數極限指數對數函數主要極限三角函數主要極限應用主要極限例子21第21頁第21頁指數對數函數主要極限(I)指數對數主要極限:證實:1.先考慮x+情形:由數列情形結論得到利用指數函數和冪函數單調性:夾逼性質就給出相應結論.22第22頁第22頁指數對數函數主要極限(II)2.考慮x-情形:作代換(把問題當作是復合函數)y=-x,就得到3.結合前兩部分結果就得到結論.#主要極限推論:23第23頁第23頁三角函數主要極限正弦主要極限:證實:只要考慮0<|x|<p/2.先考慮0<x<p/2情形.利用單位圓中面積比較得到:sinx<x<tanx.因此,cosx<sinx/x<1.由cosx和sinx/x都是偶函數,這個不等式對于0>x>-p/2也是成立.利用cosx連續性和夾逼性質就得到了結論.#24第24頁第24頁應用主要極限例子(I)1.2.(1-cosx)/x^21/2(x0);或1-cosx=x^2/2+o(x^2)(x0);或(1-cosx)/x^2=1/2+o(1)(x0);或cosx=1-x^2/2+o(x^2)(x0);或1-cosx~x^2/2(x0).25第25頁第25頁應用主要極限例子(II)3.(1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n))=exp(xln[(1+x/n)^{n/x}])exp(x)(x0);或(1+x/n)^n=exp(x)+o(1)(x0).26第26頁第26頁習題十三(I)1.計算下列極限2.利用小o記號表述上述極限.27第27頁第27頁習題十三(II)3.計算下列極限:若28第28頁第28頁§4在集合上連續函數描述函數性質若干定義間斷點及其分類單調收斂原理單調函數間斷點和連續性區間上嚴格單調函數反函數初等函數反函數及其性質29第29頁第29頁描述函數性質若干定義在集合上連續:若函數在集合A每一點都連續,就說在集合A上連續.單調函數:設AR,:AR.下面四類函數稱作單調:1)遞增函數:x,yA,x<y,(x)(y);2)遞減函數:x,yA,x<y,(x)(y);3)嚴格遞增函數:x,yA,x<y,(x)<(y);4)嚴格遞減函數:x,yA,x<y,(x)>(y).30第30頁第30頁間斷點及其分類間斷點:設:AR,xA.若在x點不連續就說在x點間斷.間斷點分類:1)第一類間斷點:左右極限存在且有限,其中之一與函數在該點值不相等;2)第二類間斷點:不是第一類間斷點叫第二類間斷點.可去間斷點:左右極限相等第一類間斷點.例子:1)(x)=[x];2)(x)={x};3)(x)=sin1/x,若x0,定義(0)=0.31第31頁第31頁單調收斂原理引理:設在(a,b)上單調,則在a點右極限和在b點左極限存在.證實:只討論遞增時在b點左極限,其它情形類似.記b=sup{(x)|x(a,b)}.情形1.b<+.任取e>0,z(a,b),(z)>b-e.則當z<x<b時,b-e<(x)b.因此(x)b(xb).情形2.b=+.任取c>0,z(a,b),(z)>c.則當z<x<b時,(x)>c.因此(x)b(xb).#32第32頁第32頁單調函數間斷點和連續性單調函數值由第一類間斷點:設是[a,b]上單調函數,則在各點單側極限都存在.因而值也許有第一類間斷點.證實:利用單調收斂原理.#區間上單調函數連續性準則:設在區間I上單調.則在I上連續當且僅當(I)是區間.(要討論什么是區間)證實:1.I是區間當且僅當x,yI,x<y,則[x,y]I.這由區間定義得到.33第33頁第33頁區間上單調函數連續性準則2.不妨假設是遞增.3.若是在I上連續.任取a,b(I),a=(a)<b=(b),則a<b.任取g(a,b),令c=sup{x[a,b]|(x)<g}.不難證實必有c=inf{x[a,b]|(x)>g}.這樣就有(c^-)g.由連續性(c)=g.4.假設(I)是個區間.任取cI,則(c^-)(c)(c^+).若(c^-)<(c)或(c)<(c^+)成立,則取不到((a),(c))中或((c),(b))中所有值,其中a,bI,a<c<b.因此在c點連續.#34第34頁第34頁區間上嚴格單調函數反函數嚴格單調函數反函數定理:假如是區間I上嚴格單調函數,則有定義在(I)上反函數,記為g.若在I上連續,則g在(I)上也連續.證實:由嚴格單調,是I到(I)雙射,因而有定義在(I)上反函數,記為g.若在I上連續,則直接利用區間上單調函數連續性準則就得到g在(I)上也連續.例子:Kepler方程x-esinx=y(0<e<1)在R上有嚴格增連續函數解x=x(y).35第35頁第35頁初等函數反函數及其性質(I)1.指數函數exp(x)和對數函數ln(x):x>0,exp(ln(x))=x;xR,ln(exp(x))=x;x,yR,exp(x+y)=exp(x)exp(y);x,y>0,ln(xy)=ln(x)+ln(y);x>0,yR,ln(x^y)=yln(x);2.冪函數(x)=x^a(aR)反函數仍是冪函數g(x)=x^{1/a},x(0,+).(奇延拓和偶延拓)3.反三角函數定義:y=arcsinx,x[-1,1],y[-p/2,p/2];y=arccosx,x[-1,1],y[0,p];36第36頁第36頁初等函數反函數及其性質(II)反三角函數y=arctanx,x(-,+),y(-p/2,p/2);y=arccotx,x(-,+),y(0,p);y=arcsecx,x(-,-1][1,+),y(0,p/2)(p/2,p);y=arccscx,x(-,-1][1,+),y(-p/2,0)(0,p/2).反三角函數之間關系arcsecx=arccos1/x;arccscx=arcsin1/x;x[-1,1],arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=p-arccosx;x[-1,1],arcsinx+arccosx=p/2.37第37頁第37頁習題十四(I)1.研究下列函數連續性:2.a取什么值時,下列函數處處連續:38第38頁第38頁習題十四(II)3.設函數f,g在x=a處不連續,f+g和fg在x=a處一定不連續嗎?4.設函數f在x=a處連續,g在x=a處不連續,f+g和fg在x=a處一定不連續嗎?5.設函數f,g是[a,b]上連續函數,證實:|f|,max{f,g},min{f,g}也是[a,b]上連續函數.6.設f是[0,1]上連續函數,并且滿足條件證實:f常值函數.39第39頁第39頁習題十四(III)7.設是R上單調函數并且滿足:x,yR,(x+y)=(x)+(y).證實是R上連續函數,并給出表示式.8.設是R上單調函數并且滿足:x,yR,(x+y)=(x)(y).證實是R上連續函數,并給出表示式.9.設是R上至多只有第一類間斷點函數.假設

證實:在R上連續.40第40頁第40頁習題十四(IV)10.設在[0,+)上連續.假設x0,0(x)x.任取a00,n0定義an+1=(an).證實:{an}收斂并且其極限l滿足l=(l).尤其若x>0,0(x)<x,l=0.若41第41頁第41頁§5閉區間上連續函數整體性質連續函數零點定理連續函數介值(中間值)定理連續函數有界性定理連續函數確實界定理42第42頁第42頁連續函數零點定理零點定理:設函數在閉區間[a,b]上連續.假如在兩點a,b值異號,即(a)(b)<0,則c(a,b),(c)=0.證實:設(a)<0,不然考慮-.考慮集合A={x(a,b)|y(a,x],(y)<0}由在a處連續和在一點連續保號性得到A.再由(b)>0及b處連續和連續保號性可知:c=supA(a,b).由連續性(c)0,若(c)<0,則d>0,x[c-d,c+d](a,b),(x)<0,這與c=supA矛盾.因此(c)=0.#43第43頁第43頁連續函數介值(中間值)定理介值定理:設函數在閉區間[a,b]上連續.g介于(a)與(b)之間,則c(a,b),(c)=g.換句話說,區間在連續函數下像還是區間.證實:由g介于(a)與(b)之間,考慮函數g(x)=(x)-g,則,g在閉區間[a,b]上連續并且g(a)g(b)<0.由零點定理c(a,b),g(c)=0,即(c)=g.#44第44頁第44頁連續函數有界性定理有界性定理:有界閉區間上連續函數必有界.證實:設是有界閉區間[a,b]上連續函數.考慮集合A={x(a,b]|在[a,x]上有界}.由在a處連續和在一點連續有界性得到A.記c=supA(a,b).由A有界c(a,b].若c<b,由在c點連續,d>0,在[c-d,c+d](a,b)上有界,因此在[a,c+d]上有界,即c+dA,這與c=supA矛盾.因此在[a,b]上有界.#45第45頁第45頁連續函數確界定理確界定理:有界閉區間上連續函數必能達到值域上確界和下確界,換句話說,閉區間在連續函數下像仍然是閉區間.(相應地叫最大(小)值)證實:設在有界閉區間[a,b]上連續.先討論上確界情形,記b=sup{(x)|x[a,b]}.若b([a,b]),則x[a,b],b-(x)>0,因而g(x)=1/(b-(x))在有界閉區間[a,b]上連續,因此g(x)在[a,b]上有正上界a,即x[a,b],g(x)=1/(b-(x))<a,也就是(x)<b-1/a.與b定義矛盾.對-應用上面結論,得到下確界結論.#46第46頁第46頁平均值例題例:設在有界閉區間[a,b]上連續.xi[a,b],i=1,…,n.則c[a,b]:(c)=((x1)+…+(xn))/n.AA若bR47第47頁第47頁習題十五(I)1.證實ax^3+bx+c=0(ab>0)只有一個實根.2.設a<0,證實x^a=lnx只有一個實根.3.設C[a,b].證實函數.假如知道,能夠推出C[a,b]嗎？4.設C(a,b).假如存在(a,b)中點列{xn}和{yn},xnb,ynb(n+)滿足.證實:c(A,B),存在(a,b)中點列{zn}:znb(n+)滿足:n,(zn)=c.5.設在[0,+)上連續有界.證實:T>0,xn+使得(xn+T)-(xn)0.48第48頁第48頁習題十五(II)6.假設C(R)且存在常數L>0使得:x,yR,|(x)-(y)|L|x-y|.證實:(1)函數g(x)=(x)-Lx在R上單調遞減;(2)M>L,cR,(c)=Mc;M=L時,結論如何？7.設C(a,b).假設其絕對值函數||在(a,b)單調.證實:在(a,b)單調.8.設和g是R上連續周期函數滿足(x)-g(x)0(x+).證實:g.9.設C[a,+)并且(x)lR(x+).證實:在[a,+)上有界.49第49頁第49頁習題十五(III)10.設C(R)并且(x)+(x).證實:在R上能取到其下確界(最小值).11.設C[0,1]且恒為正.記M(x)=sup{(y)|y[0,x]}.證實:當且僅當在[0,1]上單調遞增.12.設C[a,b]滿足x[a,b],y[a,b],使得|(x)||(y)|/2.證實c[a,b],(c)=0.13.設C(R).證實:(1)若((x))(x),則(x)(x);(2)若((x))+(x),則(x)+(x).50第50頁第50頁§6 一致連續性一致連續概念Heine-Cantor定理51第51頁第51頁一致連續概念一致連續討論是函數在一個集合上整體連續性問題.而不但僅要求在集合上各點都連續.這是在使用連續函數過程中發展起來概念.定義:設是定義在集合X上函數.假如對于任何e>0,d>0,x,yX,|x-y|<d,|(x)-(y)|<e,就說在X上一致連續.在R上一致連續函數例子:(x)=|x|,sinx,cosx在R上不一致連續函數例子:(x)=x^2.在(0,1]上不一致連續函數例子:(x)=sin1/x.52第52頁第52頁Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界閉區間上連續函數必在此區間上一致連續.證實1:設是[a,b]上連續函數.任取e>0,考慮集合A={z(a,b]|d>0,x,y[a,z],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e}.由在a點連續,A.記c=supA.若c<b.由在c點連續性,存在d>0當|x-c|<d時,|(x)-(c)|<e/2,由c定義c<c,c-c<d/3有d>0,x,y[a,c],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e.則d=min{d/3,d}在[a,c+d/3]給出同類結論,這與c定義矛盾.因此c=b并且bA.#53第53頁第53頁Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界閉區間上連續函數必在此區間上一致連續.證實2:反證:設存在有界區間上[a,b]連續函數在[a,b]上不一致連續.則e>0,d>0x,y[a,b],|x-y|<d,|(x)-(y)|e.因而xn,yn[a,b],|xn-yn|<1/n,|(xn)-(yn)|e.Bolzano-Weierstrass定理,{xn}有收斂子列,仍然記作{xn},xnc[a,b].而|xn-yn|<1/n0,就有ync.由于在c點連續就有|(xn)-(yn)||(c)-(c)|=0,矛盾.#(其此引伸出哪種集合有上述性質問題)54第54頁第54頁例子直接由定義證實:(1)(x)=sqrt(x),x[0,+);(2)(x)=arctanx:由基本不等式|x||tanx|(|x|<p/2),因此,當|x|<p/2,|arctanx||x|,再由|arctanx|<p/2,xR,|arctanx||x|.先考慮0x<y,記b=arctany>0,a=arctanx0.則|arctanx-arctany|=arctany-arctanx=b-a.tan(b-a)=(y-x)/(1+yx).因此,b-a=arctan[(y-x)/(1+yx)](y-x)/(1+yx)y-x.若x<y0,也會有同樣結論.當x<0<y時,b-a=arctany+arctan(-x)y+(-x).#55第55頁第55頁習題十六1.用一致連續定義證實下列函數在R上一致連續:2.證實用一致連續定義下列函數在R上一致連續:(1)(x)=xsinx;(2)(x)=sinx^2.3.設和g在(a,b)上一致連續.證實+g和g在(a,b)上一致連續.4.設在(a,b)上一致連續且((a,b))(c,d),g在(c,d)上一致連續.證實h(x)=g((x))在(a,b)上一致連續.56第56頁第56頁§7閉集和開集及緊性概念實直線上點關于給定集合分類開集和閉集開集和閉集性質開覆蓋和緊集有界閉集是緊集緊集上Heine-Cantor定理例子57第57頁第57頁實直線上點關于給定集合分類設AR.對于xR,下列三種情形必有一個出現:1)d>0,Od(x)=(x-d,x+d)A(稱x為A內點)2)d>0,Od(x)A=(稱x為A外點)3)d>0,Od(x)A,Od(x)\A(稱x為A邊點)A內部(int(A)),邊界(A),閉包(A)和外部.對于R中滿足Od(x)A點x有下面分類:1)d>0,Od(x)A={x}(稱x為A孤立點)2)d>0,Od(x)A{x}(稱x為A極限點)A導集(A),A孤立點集(A\A).開集和閉集例子:,R,[a,b],(a,b).不開不閉58第58頁第58頁開集和閉集閉集:若AA,就稱A是閉集.也就是閉集是包括其所有極限點集合.開集:若int(A)=A,就稱A是開集.也就是開集是其所有點都是內點集合.開集和閉集關系:AR是閉集當且僅當R\A是開集.同樣地,AR是開集當且僅當R\A是閉集.證實:設A是閉集,任取xA,則xA,因此d>0,Od(x)A=,不然由Od(x)A{x},xAA.因此R\Aint(R\A),即R\A是開集.設R\A是開集,xA,若xR\A,則d>0,Od(x)A=,因而xA,矛盾.#59第59頁第59頁開集和閉集性質1.任意多個開集并集是開集;2.有限多個開集交集是開集;3.任意多個閉集交集是閉集;4.有限多個閉集并集是閉集.證實:留作習題.#例1:設An=(0,1+1/n),nN+.An=(0,1];例2:設An=[0,1-1/n],nN+.An=[0,1).定理:R中任何開集是至多可數個開區間并.60第60頁第60頁開覆蓋和緊集定義(集合開覆蓋).設AR,O={Oa|aI}是R一個開集族.假如AO,就稱O是A開覆蓋;假如子族O1O仍然是A覆蓋就稱O1為O子覆蓋;若O1為有限子族,稱O1為O有限子覆蓋,也稱A能被O有限覆蓋.定義(緊集).設AR.假如A任何開覆蓋都有有限子覆蓋,就說A是緊集.定理:緊集是有界閉集.證實:設A是緊集.有界:開覆蓋{(-n,n)|nN}.閉:若xA,開覆蓋{R\(x-1/n,x+1/n)