第04講常用邏輯用語課程標準學習目標1.通過充要條件的判斷，提升邏輯推理素養．2．借助充要條件的應用，培養數學運算素養.1.結合具體實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點、難點)2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點)3．能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．(難點)知識點01.命題1.定義：能判斷真假的、不帶有變元的陳述句，叫做命題（proposition）.判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題.例如，“10是2的倍數”是真命題，“11是偶數”是假命題.說明：①命題必定由條件與結論兩部分組成；②假命題的確定：舉反例（舉出一個滿足條件，不滿足結論的例子，一個即可，一票否決）；【注意】構造反例有時候不容易，要充分注意命題的條件和結論，還要注意極端情況，或運用類比手段.③真命題的確定：直接法和反證法.說明：反證法既是一種重要的數學思想，也是命題證明的一種方法，后面會有贅述.2.推出關系：如果命題“若，則”是真命題，那么就稱推出，記作（或）.因為子集關系滿足傳遞性，所以推出關系也滿足傳遞性：若且，則.它是邏輯推理的基礎.【即學即練1】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學校考期中）命題“如果，那么”是命題（填“真”或“假”）.知識點02.充分條件，必要條件、充要條件【定義】1.對于兩個陳述句與，如果，就稱是的充分條件，亦稱是的必要條件.2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【理解】該定義中，“充分”二字說明“成立時，一定成立”；而“必要”二字說明“不成立時，一定不成立”.【舉例】小明是上海人，小明是中國人.【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【即學即練2】（2024春?黃浦區校級期末）設，則是的條件．知識點03.反證法要判斷一個命題“若，則”是假命題，只要存在一個滿足條件但不滿足結論的對象就行；但是要判斷命題“若，則”是真命題，就需要證明所有滿足的對象都滿足結論，但有時直接驗證這一點并不是一件容易的事.我們可以首先假設結論不成立（為假），然后經過正確的邏輯推理得出的與已知條件或（已學）定理等相矛盾的結論，從而說明“為假”是不可能發生的，即結論是正確的，這樣的證明方法叫反證法.【解題思路點撥】用反證法證題時，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時常用的方法，尤其有否定詞或含“至多”“至少”等詞的問題中常用．使用反證法進行證明的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等．1．證明思路：肯定條件，否定結論→推出矛盾→推翻假設，肯定結論2．反證法的一般步驟：（1）分清命題的條件和結論；（2）作出與命題結論相矛盾的假設；（3）由假設出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結果；（4）斷定產生矛盾的原因，在于開始所作的假設不真，于是原結論成立，從而間接地證明命題為真．【即學即練3】（2022秋?普陀區校級期末）設n∈Z．用反證法證明：若n3是奇數，則n是奇數．知識點04.從集合角度看充分、必要條件充分、必要條件與對應集合之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．（1）若p是q的充分條件，則A?B；（2）若p是q的充分不必要條件，則；（3）若p是q的必要不充分條件，則；（4）若p是q的充要條件，則A＝B.（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.要點歸納：充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結論；②嘗試用條件推結論，③再嘗試用結論推條件，④最后判斷條件是結論的什么條件.【即學即練4】已知條件和條件，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是_________.題型01充分條件、必要條件及充要條件的判斷【解題策略】判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含關系判斷．(3)等價法：即利用p?q與q?p的等價關系，一般地，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．【例11】(1)指出下列哪些命題中p是q的充分條件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.【例12】指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然數；q：a是正數．【變式11】（2022秋?普陀區校級期末）設p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要．【變式12】已知為非零實數，則“”是“”成立的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【變式13】指出下列命題中，p是q的什么條件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【變式14】指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)．(1)p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；(2)p：⊙O內兩條弦相等，q：⊙O內兩條弦所對的圓周角相等；(3)p：A∩B＝?，q：A與B之一為空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；題型02充分條件與必要條件的應用【解題策略】充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分條件為Q，求實數m的取值范圍．【變式21】（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學校考期末）若，，已知是的充分條件，則實數的取值范圍是．【變式22】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則實數b的取值范圍是()A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2}【變式23】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數a的取值范圍是________．【變式24】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要條件，則實數a的取值范圍為________．題型03充要條件的證明【解題策略】充要條件證明的兩個思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．【例3】求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數且a≠0)有一正實根和一負實根的充要條件是ac<0.【變式31】求證：一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.【變式32】（2021秋?金山區校級月考）設n∈Z，求證：“n是偶數”是“（n+1）2是奇數”的充要條件．【變式33】求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.【變式34】求證：關于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個負實數根的充要條件是a＝1或a≤0.題型04充分不必要、必要不充分、充要條件的應用【解題策略】充要條件證明的兩個思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【變式41】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學校考期中）若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是.【變式42】對于集合A，B及元素x，若A?B，則x∈B是x∈A∪B的________條件．【變式43】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是____________________________．【變式44】設集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命題p：x∈A，命題q：x∈B.(1)若p是q的充要條件，求正實數m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求正實數m的取值范圍．一．選擇題1.（2023秋?徐匯區期末）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023秋?松江區期末）已知：整數能被2整除，：整數能被6整除，則是的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2023秋?浦東新區校級期中）、、、、、均為非零實數，不等式和的解集分別為集合和，那么“”是“”A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件4．（2023秋?浦東新區校級期末）已知，，，則“”是“”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要5．（2023秋?浦東新區校級期末）是的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分也非必獎條件6．（2023秋?黃浦區校級期末）已知，是非零常數，則“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件7．（2023秋?浦東新區校級期末）已知，都是自然數，則“是偶數”是“，都是偶數”的條件．A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．（2023秋?普陀區校級期末）設，“是偶數”是“是偶數”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023秋?浦東新區校級期末）若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023秋?閔行區校級月考）設，則“”是“”的A．既不充分也不必要條件 B．充要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件11．（2023秋?楊浦區校級期末）已知，，則“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件二．填空題12．（2023秋?奉賢區期末）：四邊形是正方形，：四邊形的四個角都是直角，則是的條件．13．（2022秋?青浦區校級期末）已知、，用反證法證明命題：“若，則、全為零”時的假設是．14．（2023秋?靜安區校級期末）“”是“”的條件．15．（2023秋?浦東新區校級期末）若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數的取值范圍為．16．（2023秋?閔行區校級期中）若“存在，使得”是假命題，則實數的取值范圍是．17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有兩個正實數根”的一個充分條件可以為________；一個必要條件可以為________．三．解答題18．（2023秋?閔行區期中）已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分非必要條件，求實數取值范圍組成的集合．19．（2023秋?楊浦區校級期末）已知集合，，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若“”是“”的必要非充分條件，求實數的取值范圍．20．（2023秋?長寧區校級期中）已知集合