2025屆吉大附中實驗高三數學上學期期初考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求的.

1若集合N4忑43},5={x1x=3〃T/eN},則"8=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8）

2.上海百聯集團對旗下若干門店的營業額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖,

則下述大小關系正確的為（）.

相關系數〃*°相關系數rzx°相關系數/3x

A.rx>r2>r3B.4〉與〉八C.八〉心〉馬D.4〉々〉勺

3.已知。>0,則“a>3”是“廢〉/”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.a-2,）5展開式中％項的系數為（）

孫

A.80B.-80C.40D.-40

5.已知。>0,且awl,則函數y=log〃[x+L]的圖象一定經過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

6.下列函數中，其圖象與函數J=/（2x—1）的圖象關于直線x=l對稱的是（）

A.y=/（-2X-1）B.y=/（-2x+l）c.y=/（-2X+3）D.y=2-/（2X-1）

7.我校某班舉辦新年聯歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；

乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可

能的種數是（）

A.12B.13C.24D.26

8.已知實數a,be（l,+s）,且2（a+b）=e2"+21nb+l,e為自然對數的底數，則（）

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數/=…即）（例如若

a1,tz3,a5,tz6,?10=0,a2,tz4,tz7,a8,o9=1,則/=0101001110）,已知心（左=1,2,…，10）出現“0”的概

13

率為“出現“1”的概率為W，記萬=4+%+4+%+。10,則當程序運行一次時（）

............3

A.X服從二項分布B.P{X=1）=-------

1024

D.0(X)=T

C.E(X)=z

10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了

180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知

2n(ad-兒丫

,(Q+b)(c+d)(Q+0(b+d)其中n=a+b+c+d,附:

a0.10.050.010.0050001

2.7063.84166357.87910.828

Xa

在被調查者中，下列說法正確的是（）

1.0

口不經常鍛煉

0.8

口經常鍛煉

0.6

4

O.

2

O.O

生

男

A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多

B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人

C.經常鍛煉者中男生的頻率小于不經常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關

2

11.已知三次函數/dd+bf+CX+d有三個不同的零點西,》2，工3（芭</<七），若函數

g（x）=/（x）-1也有三個不同的零點M2/3&</2<4），則下列等式或不等式一定成立的有（）

2

A,Z）<3cB.t3>x3c.xl+x2+x3=tl+t2+13D.X1//_/心與=]

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正

4

確的概率為.（誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起）

3x+l

13.已知正數x,）滿足x+v=l,則----的最小值為.

町

14.在一個3x3的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數之積均相等.則x=.

5

4X

1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設數列｛為｝的前〃項和為邑，已知q=2,5?+1=4??+2.

（1）設〃=%+「2%,證明：數列也｝是等比數列；（2）求數列｛學｝的前〃項和7；.

16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8:8平，此時張本智和連續發球2次，然后樊振東連續發

球2次，根據以往比賽結果統計，樊振東發球時他自己得分的概率為06張本智和發球時樊振東得分的

概率為0.5,各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概

率；

（2）在本場比賽中，張本智和先以2:0領先，根據以往比賽結果統計，在后續的每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結果相互獨立，

33

3

(i)假設兩人又進行了X局后比賽結束，求X的分布列與數學期望.

(ii)最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從0:2到4:3實現了

“驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數據簡要說明你的理由.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿ZC進行翻折，使得48,平面/CDE,

過點、E作EF//4B,且所=工48,連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段8。的

2

中點，連接尸G.

①②

(1)求證：FGL平面48。；

(2)若ZC=/￡>=2,直線尸G與平面BCD所成角的正弦值為口，求平面48C與平面BED所成

7

角的余弦值.

18.已知函數/(x)=alnx+4，aeR.

X

⑴若a=2e?,求/(x)的極小值；⑵若過原點可以作兩條直線與曲線J=/(x)相切，求。的取值

范圍.

J1-.2

19.已知雙曲線c：三—2T=1(。〉o,6〉0)的兩條漸近線分別為4：y二=2%和/2：^=-2%，右焦點坐

a"b"

標為(君,0),。為坐標原點.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)直線歹=4x-6與雙曲線的右支交于點4，民(同在片的上方)，過點4，片分別作乙，的平行

4

線，交于點片，過點片且斜率為4的直線與雙曲線交于點%（4在鳥的上方），再過點42,%分別

作修4的平行線，交于點E，…，這樣一直操作下去，可以得到一列點右,￡,…，弓,〃23,〃eN*.

（i）證明：與《，…，匕共線；

（ii）判斷用2一山與『0功N*）是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理

由.

2025屆吉大附中實驗高三數學上學期期初考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求的.

1.若集合“4|G3},B={x\x=3n-l,n^}t則.5=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8）

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合/=[0,9],可求得NcB.

【詳解】依題得2=卜|、&<3}=[0,9],則/cB={2,5,8}.

故選：C.

2.上海百聯集團對旗下若干門店的營業額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖，

則下述大小關系正確的為（）.

.：??.…

??????????

----?----------------------A-------------------?-.--?------>__________?__?_???

相關系數〃"O相關系數女X口相關系數『3"

A.丫\>丫2>丫3B.r2>r3>rxC.rx>r3>r2D.r3>r2>rx

【答案】c

【解析】

【分析】根據散點圖判斷兩變量的線性相關性，再根據線性相關性與相關系數的關系判斷即可.

5

【詳解】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關，且線性相關性較強，故〃〉0,

圖二、圖三兩個變量都成負相關，且圖二的線性相關性更強，

故々＜0,々＜0，,|＞同，故0＞與〉馬，所以V〉與〉弓.

故選：C.

3.已知。＞0,則“。＞3”是“/＞/”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結合不等式的性質分充分性、必要性兩方面進行說明即可求解.

【詳解】若。＞3,則函數y="單調遞增，所以廢〉/,充分性成立；

13

2

當a時，Q^|=_L＞1=Q^|,滿足4〃〉/,但。=；＜3,不滿足必要性；

所以“a＞3”是“優〉/”的充分不必要條件.

故選：A

4.住二婆展開式中x項的系數為()

町

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根據二項式定理，寫出其通項即可求特定項的系數

【詳解】(x—2了丫的二項展開式的通項為％=C/5-?(_2城=(-2)'cy-y,

令左=3,得q=—8C；X2y3=_8(h；2y3,

所以—的展開式中x的系數為一80.

孫

故選：B

5.已知a＞0,且awl,則函數y=logJx+[]的圖象一定經過()

6

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數了=1。8〃卜+：］過（0,—1）點，分類可解.

【詳解】當x=0時，y=log-=-l,

aa

則當0＜。＜1時，函數圖象過二、三、四象限；

所以函數y=log.+的圖象一定經過三、四象限.

故選：D

6.下列函數中，其圖象與函數y=/（2x—1）的圖象關于直線％=1對稱的是（）

A.y=/（-2x-l）B,y=/（-2x+l）

C.j=/（-2X+3）D.y=2-f（2x-l）

【答案】C

【解析】

【分析】根據直線對稱的性質，結合中點坐標公式進行求解即可.

【詳解】設函數歹=/（2x—1）的圖象為曲線G，該曲線關于x=l對稱的曲線為

7

設曲線G上任意一點的坐標為(%,%),則有為=/(2%—1)，

該點(5,%；)關于直線X=1對稱點的坐標為(xj),

1=^+￡fx-2-X,、

因此有<2°，代入為=/(2x°—1)中，

得了=/[2(2-x)-l]ny=/(3-2x),

故選：C

7.我校某班舉辦新年聯歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；

乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可

能的種數是()

A.12B.13C.24D.26

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結合丙的情況列式計算即可.

【詳解】甲是特等獎，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，

所以有4x1=4種；

甲不是特等獎，則甲有3種情況，乙有3種情況，

而丙、丁、戊有1種情況，所以有3x3xl=9種；

所以5人的獎項的所有可能的種數是4+9=13.

故選：B.

8.已知實數a,be(l,+s),且2(a+b)=e2〃+21nb+l,e為自然對數的底數，貝!]()

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

【答案】D

【解析】

【分析】化簡條件后根據形式構造函數，利用單調性判斷不等式

【詳解】因為2(a+b)=e2°+21nb+l,所以e2a—2a—1=2(b—Inb—1)=2小瓜'—Inb—1),

8

函數/(%)=d一4一1=>/'(%)=百一1>0,/(%)在(0,+00)上單調遞增,且/⑼=0,因為

3>lnlnb>0=/(lnZ))>0

所以/(2a)=2/(lnb)〉/(lnb),所以2a>lnb,即bve?。,

又e?。—2a—l〉2(e"—a—1),所以/(2a)=2/(lnb)〉2/(a),所以a<lnb,即b<e"，綜上，

e"<b<e2a.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數/=%出生…％o(例如若

av,a3,a5,a6,aw=0,a2,a4,a7,a8,a9=1,則/=0101001110),已知a“左=1,2,…,10)出現“0”的概

率為:，出現“1”的概率為^X=a2+a4+a6+a,+al0,則當程序運行一次時()

A.X服從二項分布B.P(X=1)=^—C.E(X)=—D.￡>(X)=—

102444

【答案】AC

【解析】

【分析】根據二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出X的

期望和方差后可判斷CD的正誤.

【詳解】由二進制數/的特點知，每一個數位上的數字只能填0,1且每個數位上的數字互不影響，

故X中1出現次數的可能取值有0』,2,3,4,5,則X可能取值情況與之相同，

由二項分布的定義可得：5,11,故A正確.

3

故尸(X=l)=C；x1x旦，故B錯誤;

1024

3is3115

所以￡(X)=5xz=。(X)=5x[X]二話?，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了

9

180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知

男生女生

A.男生中不經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多

B.男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人多8人

C.經常鍛煉者中男生的頻率小于不經常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以認為假期是否經常鍛煉與性別有關

【答案】BD

【解析】

【分析】根據男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數，建立列聯表，利用列聯表中的信息

解決ABC,利用獨立性檢驗來解決D選項.

【詳解】設男生人數為x,則女生人數為x+20,

由題得x+x+20=180,

解得x=80,即在被調查者中，男、女生人數為80,100,可得到如下2x2列聯表，

鍛煉情況

性別合計

經常鍛煉不經常鍛煉

男483280

女4060100

合計8892180

10

對于A：由表可知，A顯然錯誤,

對于B：男生中經常鍛煉的人數比女生中經常鍛煉的人數多48-40=8,B正確;

對于C：在經常鍛煉者中是男生的頻率為,。0.5455,在不經常鍛煉者中是男生的頻率為

88

0.5455

0.3478,。1.6,C錯誤;

920.3478

對于D：零假設玄°：假設假設是否經常鍛煉與性別無關,

2

則Z=180義(48義60—32義40廠-7H5>6635=x根據小概率值x=0.01的獨立性檢驗，我們

80x100x88x92001

推斷H。不成立，

即認為假期是否經常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01,D正確.

故選：BD.

11.已知三次函數/(工卜/+加^+次+4有三個不同的零點西,馬,%3(西＜/＜七)，若函數

g(x)=/(x)—1也有三個不同的零點4，/2，/3曰＜/2＜/3)，則下列等式或不等式一定成立的有()

2

A.b<3cB.t3>x3

C.再++%3=4+%2+，3D.七》2》3-t/2t3=1

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,由題意可得/'(x)=0有兩個不同的實根，則A〉。，從而可進行判斷，對于B,根據

圖象分析判斷，對于CD,由零點的定義結合方程化簡變形進行判斷.

【詳解】f^x)=3x2+2bx+c,因為原函數有三個不同的零點，則/'(x)=0有兩個不同的實根,

BP3x2+2bx+c=0>則3=4。一12c>0,即2>3c，所以A錯誤；

因為三次函數/(x)=x3+bx2+cx+d有三個不同的零點西廣2，七(七</<七)，

所以

3

x+bx~+ex+<7=(x-Xj)(x-x2)(x-x3)

2XXXXXXX

二X一(再+x2+x3)x+(再%2+23+l3卜一\23-0，

11

所以匹++工3=~b,XxX2X3=-d,

同理4+12+f3=-b,t&h=1—d,

所以再+%2+、3=4+/2+/3，匹％2%3一y2%3=一1，故C正確，D錯誤;

由/(X)的圖象與直線y=1的交點可知G〉》3，B正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正

4

確的概率為.(誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起)

9

【答案】—

16

【解析】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【詳解】設事件A表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，

設事件8表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，

-5331189

這個答案是正確的概率為尸(Z)=P(B)P(A|8)+P(B)P(A|5)=-x-+-x

9

故答案為：—

16

?3x+l

13.已知正數x,了滿足x+y=l,則--孫---的最小值為.

【答案】9

【解析】

【分析】利用“1”的靈活運用，結合基本不等式即得.

【詳解】因為x+y=l,貝!]

12

3x+l3x+l13x+x+y/、4x+y4x+y4x..y_4xy

-----二------xl=-----------x(x+-----乙+----工=——+1+4+—=5+—F—

xyxyxyyxyxyx

4xv

因為x>0,V>0,所以一〉0,二〉0,

yx

,--------4x_y

則原式=5+如+上25+2,隹x^=9,當|J-x即》=』/=2時，取等號.

yxyyx33

-[x+y=l1

3x+l

所以-----的最小值為9.

町

故答案為:9.

14.在一個3x3的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數之積均相等.則x=.

5

4X

I

【答案】10

【解析】

【分析】根據題中的條件設出每一行、每一列以及每條對角線的各數之積，列出等式求解x即可.

【詳解】1?在一個乘法幻方中，每一行數之積、每一列數之積、對角線上的數之積都相等，

設積為S,

則乘法幻方可表示為如圖所示:

SX

5

X~5

S

4X

4x

S

20I20

13

,,，“小sX

故對角線一XXX—=5,

205

解得：x=10,經驗證滿足題意.

故答案為：10.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設數列｛%｝的前〃項和為S”，已知q=2,Sn+l=4an+2.

(1)設4=a”+/2%,證明：數列也｝是等比數列；(2)求數列｛學｝的前〃項和7；.

【答案】(1)證明見解析(2)T=…+1)

"2

【解析】

【分析】(1)利用%與S“間的關系，得到%+]=4%-4%_](〃22),再構造成

%+—2%=2(%-即可證明結果.

(2)利用(1)中結果得到數列〈號，是首項為1,公差為1的等差數列，再利用等差數列的前〃項和

公式即可求出結果.

【小問1詳解】

由q=2及Sn+i=4%+2,

得a1-\-a2=S2=4/+2,a2=8,=a2—2al-4.

"以=4%+2,①

以=4-+2,n>2?

由①一②，得%+1=4%-4%_1(〃22),

，%+1-2%=2-2??_1)(?>2).

ba

n=n+i~2%，,bn=2bl(?>2),

故數列抄“｝是首項4=4,公比為2的等比數列.

【小問2詳解】

由⑴知+「2%=42T=2"M,

14

.??4-繪=1,又生=1,

22〃2

故數列F是首項為1,公差為1的等差數列，所以才=1+（〃-1）=〃.

+1)

T=1+2+3+......+n=

n-2~

16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8:8平，此時張本智和連續發球2次，然后樊振東連續發

球2次，根據以往比賽結果統計，樊振東發球時他自己得分的概率為0.6.張本智和發球時樊振東得分的

概率為0.5,各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概

率；

（2）在本場比賽中，張本智和先以2:0領先，根據以往比賽結果統計，在后續的每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結果相互獨立，

（i）假設兩人又進行了X局后比賽結束，求X的分布列與數學期望.

（ii）最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從0:2到4:3實現了

“驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數據簡要說明你的理由.

【答案】（1）0.14（2）（i）分布列見解析，數學期望為E（X）=又1.（ii）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）根據給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即可.

（2）（i）求出X的所有可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出數學期望即可；（ii）求出張

本智和勝的概率、樊振東以4:3贏得比賽的概率即可得解.

【小問1詳解】

在比分為8:8后張本智和先發球的情況下，樊正東以9:11落敗的情況分三種：

第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗,概率為＜=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗,概率為月=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗,概率為月=0.5x0.5x0.6x0.4=0.06,

所以所求事件的概率為：＜+5+月=0.14.

15

【小問2詳解】

(i)隨機變量X的可能取值為2,3,4,5,

…C、11127

P(X—2)——x-=-二---

339243

=3)=C*x-x-x,

233327243

P(X=4)=C；x-x(-)2x-+(-)4=—=—

3333381243，

P(X=5)=C\x-xfyx-+C^xfyx-x-=,

43334333243

所以X的分布列為

X2345

27368496

p

243243243243

數學期望為E(X)=2x二+3x組+4x里+5義空=型.

24324324324381

(ii)由⑴得，

張本智和勝的概率為Z〃+-^-+C；x—x(―)2x—+C；x—x(―)3x—=,

24324333334333243

樊正東勝的概率為(-)4+C：X(2)3X-X-=史士竺=—,

34333243243

且張本智和勝的概率大于樊正東4:3勝的概率，

又因為最后樊正東以4:3拿下本場比賽，且獲勝的概率為毀，

所以可以這么說樊正東從0:2到4:3實現“驚天逆轉”.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿ZC進行翻折，使得48,平面/CDE,

過點、E作EF//4B,且所=l48,連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段8。的

2

(1)求證：FGL平面48。;

16

（2）若ZC=Z￡>=2,直線FG與平面8c。所成角的正弦值為2,求平面N8C與平面BED所成

7

角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）旦

4

【解析】

【分析】（1）連接EC,交4D于點、H,連接Gff,由題意得AB1EH,由線面垂直的

判定定理可得EH，平面由題意可得四邊形ENG//為平行四邊形，可得FG//EH,繼而即可

證明.

（2）取￡￡>的中點為K,連接NK,由題意，以A為坐標原點，以48,ZC,ZK分別為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，設Z8=2a（a〉0）,由直線RG與平面8。所成角的正弦值為也，計算可得。=1,

7

再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.

【小問1詳解】

連接EC,交4D于點H,連接G/f,

???四邊形為菱形，

EHLAD,

Q481.平面/CD￡,

又平面/CD￡,

AB1EH,

又QABIAD=A,

48,40u平面ZAO,

EH±平面ABD,

QG,笈分別為線段3D,EC的中點，

GH/1AB,且=,

2

又?：EFIIAB,且

2

:.EF//GH,且EF=GH,

故四邊形EEG//為平行四邊形,

17

:.FG//EH,

.?.尸G，平面4ao.

【小問2詳解】

在菱形中，?.?ZC=4D,

.?.△/CD和VZQE都是正三角形,

取￡￡)的中點為K,連接ZK,

AK1AC,

又Q48J_平面/CD￡,

ZC,ZKu平面ZCO￡,

ABLAC,ABLAK,

即AB,AC,AK兩兩互相垂直,

如圖，以A為坐標原點，以48,ZC,ZK分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

設A8=2a(a>0),已知/C=AD=2,

C(0,2,0),5(2a,0,0),D(0,l,8,F(a,f回G(a,]

.^3百、

..EG=(O,5,一--)>

BC=(-2a,2,0),CO=(0,-1,,

設平面BCD的法向量為m=(x9y9z)，

m-BC=-lax+2y=0

則《

mCD=-y+6z=0

取z=l,則而=(且,G,1)

a

18

設直線FG與平面BCD所成角為。，

因為直線FG與平面BCD所成角的正弦值為，

7

36V3

?一?\FG-m\22=1也

則sin6=cosFG,m\=~~L

1?NG同

.-.5(2,O,O),D(O,1,^),F(1,-1,，

設平面4BC的法向量為E，取瓦=(0,04)，

5F=(-1,-1,V3),FD=(-1,2,0)，

設平面BFD的法向量為%=(再，%,4),

n-BF=一再一%+=0

則〈2

—%]+2%=0

n2FD=

取為=1，則〃2=(24,G)，

設平面4BC與平面BED所成角為a，

一一n.V3V6

則cosa=cos〃i，%=?與，?

1x74+1+34

故平面ABC與平面BFD所成角的余弦值為—.

4

18.已知函數/(X)=alnx+」y,aeR.

19

（1）若a=2e\求/（x）的極小值；

（2）若過原點可以作兩條直線與曲線y=/（x）相切，求。的取值范圍.

【答案】⑴-e2（2）（-,+?））

e

【解析】

【分析】（1）求出函數的導數，根據導數與極值的關系，即可求得答案；

（2）設切點分別為（占,/（否））,（々,/（》2）），根據導數的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉化為

3

方程二+a（lwc-1）=0兩個不同的根的問題，構造函數，利用導數求得其最小值的表達式，分類討論,

結合零點存在定理，即可求得答案.

【小問1詳解】

由/（x）=2e21nx+e，（x〉0），得/（x）=--4=~2>

XXXX

令/'（久）<0得0<x<1,則/（x）在上單調遞減，

令/’（久）>0得x〉（，則/（x）在上單調遞增，

則/（%）的極小值為/［：］=202111（+02=-e2；

【小問2詳解】

設切點分別為（花,/（石））,（%,/（%））,

?2_2

則/（X）在X=X1處的切線方程為y—/（xj=-4—（x—xj,

X1

又切點過原點，所以0—/（匹）=竺F（O—毛），

X1

33

即~^+"（111X1-1）=0,同理~+"（in%2—1）二。,

20

3

所以X],》2為方程=+a(lnx-1)=0兩個不同的根,

X

設g(x)=—+4z(lnx-l),則g，(x)=-+-=——--

若a<0,g'(x)<0,則g(x)在(0,+8)單調遞減，g(x)=0不可能有兩個不同的根，不符合題意;

0,g(x)在

若a〉0,令g'(x)<0得,單調遞減,

j單調遞增,

令g'(x)>0得X—,+<x>,g(x)在

aaJ

/

a1

所以gCOmin=g——FciIn

a)2

若g(x)min20，即l+aInJ—6-1>0,則0<a?9,

aJe

3

此時方程=+a(Injc-1)=0沒有兩個不同的根，不符合題意;

若g("0,即“〉：,g(e)="，"<e’

因為。〉9,所以二—9=上當<0,所以工<16

一，ga(3a-Ina-1),

eaaaaa

6

令=3a-Ina-1a>一，則/(a)=3」〉0,

a

A

1,+力)上單調遞增,618

所以“(a)在h(a)>h-In——1>0,

eee

3

即g?(3a-lm-l)>0,又g(x)=F+a(lnx—1)的圖象是不間斷的曲線,

JC

所以存在西,》2滿足1<X]<9</<0使得8(再)=8(工2)=0,

aa

所以a的取值范圍是(9,+s).

e

【點睛】關鍵點點睛：難點在于根據切線的條數求解參數范圍。解答時將問題轉化為方程

——+a(inx—1)=0兩個不同的根的問題，然后構造函數，利用導數，求得函數最小值，分類討論，結

JC