學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會求線性回歸方程，并用回歸直線進(jìn)行預(yù)測.2.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟．1．最小二乘法對于一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它們線性相關(guān)，則線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).2．2×2列聯(lián)表2×2列聯(lián)表如表所示：Beq\x\to(B)總計Aaba＋beq\x\to(A)cdc＋d總計a＋cb＋dn其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．3．獨立性檢驗常用統(tǒng)計量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)來檢驗兩個變量是否有關(guān)系．類型一線性回歸分析例1某城市理論預(yù)測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示：年份201x(年)01234人口數(shù)y(十萬)5781119(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)據(jù)此估計2018年該城市人口總數(shù)．解(1)散點圖如圖：(2)因為eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f(5＋7＋8＋11＋19,5)＝10，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝02＋12＋22＋32＋42＝30，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(132－5×2×10,30－5×22)＝3.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.6.所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x＋3.6.(3)令x＝8，則eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2×8＋3.6＝29.2，故估計2018年該城市人口總數(shù)為29.2(十萬)．反思與感悟解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖．(2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程．(3)實際應(yīng)用．依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題．跟蹤訓(xùn)練1在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x(元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y對x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.類型二獨立性檢驗例2為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生6女生10合計48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為eq\f(2,3).(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(不用寫計算過程)(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的概率分布與均值．解(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生22628女生101020合計321648(2)由χ2＝eq\f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286.因為4.286>3.841，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2，其概率分別為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(10,19)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，故X的概率分布為X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值E(X)＝0＋eq\f(10,19)＋eq\f(9,19)＝1.反思與感悟獨立性檢驗問題的求解策略通過公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，先計算出χ2，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)，如圖所示．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)．(1)根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學(xué)說明其親屬30人的飲食習(xí)慣；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如表所示的2×2列聯(lián)表；主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上總計(3)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，是否能認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”？解(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉類為主．(2)2×2列聯(lián)表如表所示：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下481250歲以上16218總計201030(3)χ2＝eq\f(30×8－1282,12×18×20×10)＝10>6.635，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”．1．“回歸”一詞是在研究子女的身高與父母的身高之間的遺傳關(guān)系時由高爾頓提出的，他的研究結(jié)果是子代的平均身高向中心回歸．根據(jù)他的結(jié)論，在兒子的身高y與父親的身高x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))的取值范圍是________．答案(0,1)解析子代平均身高向中心回歸，eq\o(b,\s\up6(^))應(yīng)為正的真分?jǐn)?shù)．2．假如由數(shù)據(jù)：(1,2)，(3,4)，(2,2)，(4,4)，(5,6)，(3,3.6)可以得出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，則經(jīng)過的定點是以上點中的________．答案(3,3.6)解析易知，線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x經(jīng)過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，根據(jù)計算可知這幾個點中滿足條件的是(3,3.6)．3．考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，由此估計，當(dāng)股骨長度為50cm時，肱骨長度的估計值為________cm.答案56.19解析根據(jù)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.197x－3.660，將x＝50代入，得y＝56.19，則肱骨長度的估計值為56.19cm.4．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2170x25c30總計bd100則b－d＝________.答案8解析∵a＝70－21＝49，c＝30－5＝25，∴b＝49＋5＝54，d＝21＋25＝46，∴b－d＝8.5．對于線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，當(dāng)x＝3時，對應(yīng)的y的估計值是17，當(dāng)x＝8時，對應(yīng)的y的估計值是22，那么，該線性回歸方程是________，根據(jù)線性回歸方程判斷當(dāng)x＝________時，y的估計值是38.答案eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1424解析首先把兩組值代入線性回歸方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝17，,8\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝22，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝1，,\o(a,\s\up6(^))＝14.))所以線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋14.令x＋14＝38，可得x＝24，即當(dāng)x＝24時，y的估計值是38.1．建立回歸模型的基本步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量；(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系；(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型；(4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)．2．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．利用假設(shè)的思想方法，計算出某一個統(tǒng)計量χ2的值來判斷更精確些．課時作業(yè)一、填空題1．下表顯示出樣本中變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能是____________模型．x45678910y14181920232528答案線性函數(shù)解析畫出散點圖(圖略)可以得到這些樣本點在某一條直線上或該直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型．2．如果χ2＝8.654，可以認(rèn)為“x與y無關(guān)”的可信度為________．答案0.5%解析∵8.654>7.879，∴x與y無關(guān)的可信度為0.5%.3．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.5由散點圖(圖略)可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝________.答案5.25解析樣本點的中心為(2.5,3.5)，將其代入線性回歸方程可解得eq\o(a,\s\up6(^))＝5.25.4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是________．(填序號)①y＝2x－2；②y＝(eq\f(1,2))x；③y＝log2x；④y＝eq\f(1,2)(x2－1)．答案④解析可以代入檢驗，當(dāng)x取相應(yīng)的值時，所求y與已知y相差最小的便是擬合程度最高的．5．某考察團(tuán)對全國10大城市進(jìn)行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消費水平為7.675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為________．答案83%解析將y＝7.675代入回歸方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.675÷9.26≈0.83，即約為83%.6．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析研究方法預(yù)測他孫子的身高為________cm.答案185解析設(shè)父親身高為xcm，兒子身高為ycm，由題意得出下表：x173170176y170176182易得eq\x\to(x)＝173，eq\x\to(y)＝176，由公式計算得eq\o(b,\s\up6(^))＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝176－1×173＝3，則eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋3，當(dāng)x＝182時，eq\o(y,\s\up6(^))＝185.故預(yù)測該老師孫子的身高為185cm.7．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)①x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)；②x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)；③x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)；④x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)．答案③解析因為y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x與y負(fù)相關(guān)．又y與z正相關(guān)，故可設(shè)z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x與z負(fù)相關(guān)．8．為了探討學(xué)生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間的關(guān)系，從某批學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，并已計算出eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝758，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝58732，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝774，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝59686，則物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程為____________．答案eq\o(y,\s\up6(^))＝16.98＋0.7971x解析由公式，得eq\o(b,\s\up6(^))≈0.7971，eq\o(a,\s\up6(^))＝16.98，故物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝16.98＋0.7971x.9．面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場以降低生產(chǎn)成本，某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量(千箱)與單位成本(元)的資料進(jìn)行線性回歸分析，結(jié)果如下：eq\x\to(x)＝eq\f(7,2)，eq\x\to(y)＝71，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝79，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1481，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(1481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)≈－1.8182，eq\o(a,\s\up6(^))＝71－(－1.8182)×eq\f(7,2)≈77.36，則銷量每增加1千箱，單位成本下降________元．答案1.8182解析由已知得eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.8182x＋77.36，銷售量每增加1千箱，則單位成本下降1.8182元．10．為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥x0)0.100.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案0.005解析由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可求得統(tǒng)計量χ2＝eq\f(50×20×15－5×102,25×25×30×20)≈8.33>7.879，所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“喜愛打籃球與性別有關(guān)”．11．某醫(yī)療研究所為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________．①在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，則他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.答案①解析查對臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.95%僅是指“血清與預(yù)防感冒有關(guān)”的可信程度，但也有“在100個使用血清的人中一個患感冒的人也沒有”的可能．故答案為①.二、解答題12．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖．(2)由數(shù)據(jù)，計算得eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝86，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35，因此，所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．13．在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，僅就看電視與運動這兩種休閑方式比較喜歡哪一種進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查結(jié)果：接受調(diào)查總?cè)藬?shù)110人，其中男、女各55人；受調(diào)查者中，女性有30人比較喜歡看電視，男性有35人比較喜歡運動．(1)請根據(jù)題目所提供的調(diào)查結(jié)果填寫下列2×2列聯(lián)表；看電視運動總計女男總計(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)系”？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．P(χ2≥x0)0.100.050.0250.010x02.7063.8415.0246.635解(1)根據(jù)題目所提供的調(diào)查結(jié)果，可得下列2×2列聯(lián)表：看電視運動總計女302555男203555總計5060110(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可計算χ2＝eq\f(110×30×35－20×252,50×60×55×55)≈3.667，因為χ2≈3.667<3.841，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)系”．三、探究與拓展14．對某臺機(jī)器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估計該臺機(jī)器使用________年最合算．答案8

解析只要預(yù)計利潤不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺機(jī)器使用8年最合算．15．已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量x(kg)與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量y(t)之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.01