32.1投影第2課時

正投影利用正投影的性質求影長利用正投影的性質求投影的面積利用正投影的定義和性質求幾何體的表面積及體積利用投影的定義敘述圖形的性質并推斷圖形的性質123414．已知一根長為8cm的木棒AB與投影面平行，投影線垂

直于投影面．(1)求此時的影子A1B1的長度；(2)如圖是將木棒繞其端點A逆時針旋轉30°后的示意圖(此時平面ABB2A2垂直于投影面)，求旋轉后木棒的影

子A2B2的長．分析：(1)當木棒平行于投影面時，其正投影的長度與木棒的長度一致；(2)當木棒傾斜于投影面時，可轉化為解直角三角形來求解．(1)因為木棒平行于投影面，

所以A1B1＝AB＝8cm，

即此時的影子A1B1的長度為8cm.(2)過點A作AH⊥BB2于點H.

因為AA2⊥A2B2，BB2⊥A2B2，

所以四邊形AA2B2H為矩形，所以AH＝A2B2.

在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，AB＝8cm，

所以A2B2＝AH＝AB·cos30°＝8×＝4(cm)．

即旋轉后木棒的影子A2B2的長為4cm.

解：15．已知一紙板的形狀為正方形ABCD，且邊長為10cm.

如圖，四邊形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正

投影，AD，BC與投影面β平行，且AB，CD與投影

面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面積．解：規律總結：求投影的面積，先確定投影的形狀，再根據相

應的面積公式，有針對性地求出相關線段的長．過點A作AH⊥BB1于點H.依題意，得∠BAH＝30°，四邊形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，∴AH＝AB·cos30°＝10×＝5(cm)，∴A1B1＝AH＝5cm.∵A1D1＝AD＝10cm，∴S四邊形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(cm2)．則正方形ABCD的正投影的面積是50cm2.

16．一個圓錐的軸截面平行于投影面，圓錐的正投影是等

腰三角形，如圖所示，等腰三角形的腰長為13cm，

高為12cm，求該圓錐的體積及表面積．(提示：V圓錐

＝

πr2h，其中r是底面圓的半徑，h是圓錐的高)解：由于圓錐的軸截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，因此圓錐的高等于等腰三角形的高；圓錐底面圓的半徑等于等腰三角形底邊長的一半．如圖，作AD⊥BC于D，AB＝AC＝13cm，AD＝12cm，∴CD＝5cm，∴r＝CD＝5cm，h＝12cm.∴V圓錐＝πr2h＝100πcm3，底面周長為l＝2πr＝10πcm，母線長R＝AC＝13cm，∴S表＝

lR＋πr2＝90πcm2.17．操作與研究：

如圖，△ABC被平行光線照射，CD

⊥AB于D，CD與光線平行，AB在投

影面上．

(1)指出圖中AC的投影是什么，CD與BC的投影呢？(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易

得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直

角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的乘積，這

一結論我們稱為射影定理．

通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論：①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.(1)解：AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影