任意角的三角函數(二)必備知識·自主學習1.有向線段(1)定義:帶有_____的線段.(2)表示:用大寫字母表示,如有向線段OM,MP.導思(1)什么是有向線段?(2)如何用三角函數線表示正弦、余弦和正切?方向【思考】書寫有向線段時,字母的順序可以顛倒嗎?提示:在用字母表示有向線段時,要注意它們的方向,即分清起點和終點,書寫順序不能顛倒.2.三角函數線(1)本質:平面直角坐標系中的有向線段.(2)應用:①求三角函數值;②比較三角函數值的大小;③解三角不等式.【思考】三角函數線的長度等于三角函數的值嗎?提示:不等于,三角函數線的長度等于三角函數值的絕對值.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)角α的正弦線的長度等于sinα. (

)(2)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線. (

)提示:(1)×.角α的正弦線的長度等于|sinα|.(2)×.90°角不能作正切線.2.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是 (

)A.正弦線MP,正切線A′T′ B.正弦線OM,正切線A′T′C.正弦線MP,正切線AT D.正弦線OM,正切線AT【解析】選C.α為第三象限角,故正弦線為MP,正切線為AT,C正確.3.(教材二次開發:練習改編)已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等,且符號相同,那么α的值為________.

【解析】根據正弦線和余弦線的定義知,當α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等時,終邊落在了第一、三象限的角平分線上,即α=或.答案:

或關鍵能力·合作學習類型一三角函數線的作法及應用(數學抽象)【題組訓練】1.角和角有相同的 (

)

A.正弦線 B.余弦線C.正切線 D.不能確定【解析】選C.角和角的終邊互為反向延長線,所以正切線相同.2.求作的正弦線、余弦線和正切線.【解析】角的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直于x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線AT,與的終邊的反向延長線交于點T,則的正弦線為MP,余弦線為OM,正切線為AT.【解題策略】三角函數線的作法步驟(1)作直角坐標系和角的終邊.(2)作單位圓,圓與角的終邊的交點為P,與x軸正半軸的交點為A.(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.(4)過點A作x軸的垂線,與角的終邊或終邊反向延長線交于點T.(5)有向線段MP,OM,AT即分別為角的正弦線,余弦線和正切線.【補償訓練】作出的正弦線、余弦線和正切線.【解析】如圖所示,的正弦線為MP,余弦線為OM,正切線為AT.類型二利用三角函數線解三角不等式(直觀想象)【典例】求函數的定義域.【思路導引】轉化為不等式組利用三角函數線求解.【解析】由題意,得自變量x應滿足不等式組即則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示,所以【解題策略】1.利用三角函數線解形如sinα≥m,sinα≤m(|m|≤1)的不等式(1)畫出如圖所示的單位圓;在y軸上截取OM=|m|,過點(0,m)作y軸的垂線交單位圓于兩點P和P′,并作射線OP和OP′.(2)寫出終邊在OP和OP′上的角的集合.(3)圖中陰影部分(含邊界)即為滿足不等式sinα≤m的角α的范圍,其余部分(不含邊界)即為滿足不等式sinα>m的角α的范圍.2.利用三角函數線解形如cosα≥m,cosα≤m(|m|≤1)的不等式(1)畫出如圖所示的單位圓;在x軸上截取OM=|m|,過點(m,0)作x軸的垂線交單位圓于兩點P和P′,作射線OP和OP′.(2)寫出終邊在OP和OP′上的角的集合.(3)圖中陰影部分(含邊界)即為滿足不等式cosα≤m的角α的范圍,其余部分(不含邊界)即為滿足不等式cosα>m的角α的范圍.【跟蹤訓練】在[-π,π]上,滿足sinx≤的x的取值范圍是________.

【解析】如圖所示,由于sin=sin=,所以滿足sinx≤的x的范圍為.答案:

類型三三角函數線的綜合應用(邏輯推理)

角度1利用三角函數線比較大小

【典例】已知a=sin,b=cos,c=tan,則 (

)

A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【思路導引】利用三角函數線比較函數值大小的關鍵及注意點:①關鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數線.②注意點:比較大小,既要注意三角函數線的長短,又要注意方向.【解析】選D.因為,作出角的三角函數線,如圖可知cos<sin<tan,即b<a<c.角度2利用三角函數線證明不等關系

【典例】已知0<x<,利用單位圓證明:sinx<x<tanx.【思路導引】作出三角函數線BP,OB,AE,由S△OPA<S扇形OPA<S△OAE,分別表示出3個面積,可推得BP<<AE,所以sinx<x<tanx,據此判斷即可.【證明】如圖作三角函數線BP,OB,AE,因為S△OPA<S扇形OPA<S△OAE,S△OPA=·1·BP,S扇形OPA=·1·,S△OAE=·1·AE,所以BP<<AE,所以sinx<x<tanx.【解題策略】利用三角函數線比較大小的關注點(1)三角函數線是一個角的三角函數值的體現,從三角函數線的方向可以看出三角函數值的正負,其長度是三角函數值的絕對值.(2)比較兩個三角函數值的大小,不僅要看長度,還要看其方向.提醒:在利用三角函數線比較大小時,要注意三角函數線的方向,即注意三角函數值的正負.【題組訓練】1.若點P在第一象限,則在[0,2π)內α的取值范圍是 (

)

【解析】選A.點P在第一象限??如圖所示:在[0,2π)內α的取值范圍是.2.如果<θ<π,那么下列各式中正確的是 (

)A.cosθ<tanθ<sinθ B.sinθ<cosθ<tanθC.tanθ<cosθ<sinθ D.cosθ<sinθ<tanθ【解析】選C.由于<θ<π,如圖所示,正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,由此容易得到AT<OM<0<MP,即tanθ<cosθ<sinθ.1.下列命題:①α一定時,單位圓中的正弦線一定;②單位圓中,有相同正弦線的角相等;③α和α+π有相同的正切線;④具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上.其中不正確命題的個數是 (

)

A.0

B.1

C.2

D.3【解析】選B.由三角函數線的定義知①③④正確,②不正確.課堂檢測·素養達標2.如果OM,MP分別是角α=的余弦線和正弦線,那么下列結論正確的是 (

)A.MP<OM<0

B.MP<0<OMC.MP>OM>0

D.OM>MP>0【解析】選D.角的余弦線、正弦線相等,結合圖象可知角α=的余弦線和正弦線滿足OM>MP>0.3.已知的正弦線為MP,正切線為AT,則有 (

)A.MP與AT的方向相同 B.|MP|=|AT|C.MP>0,AT<0 D.MP<0,AT>0【解析】選A.三角函數線的方向和三角函數值的符號是一致的.MP=sin<0,AT=tan<0.4.若角α的余弦線長度為0,則它的正弦線的長度為________.

【解析