第12講正多邊形和圓

（重點(diǎn)題型方法與技巧）

目錄

類型一：圓內(nèi)接正多邊形

類型二：正多邊形的有關(guān)計(jì)算

類型三：混淆正多邊形和圓的有關(guān)概念致錯(cuò)

類型一：圓內(nèi)接正多邊形

證明一個(gè)圓內(nèi)接多邊形是正多邊形的兩種方法：

（1）證明圓內(nèi)接多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每條邊也相等，二者缺一不可.

（2）證明圓內(nèi)接多邊形的各邊所對的弧相等.

技巧：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)，各個(gè)內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.

典型例題

例1.（2022?江蘇?興化市教師發(fā)展中心九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形A5C。是。。的內(nèi)接四邊形，若/。=85。，

則的度數(shù)為（）

A.95°B.105°D.125°

例題2.（2022?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）已知在圓的內(nèi)接四邊形中，ZA：NC=3：1,則NC的度數(shù)

是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

例題3.（2022?江蘇?徐州市東苑中學(xué)（徐州市第三中學(xué)初中部）九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，若A3是OO的直

徑，是?O的弦，ZABD=5^,則NC的度數(shù)為

A

例題4.（2022?江蘇?南京外國語學(xué)校仙林分校九年級(jí)階段練習(xí)）用兩種方法證明“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”.

已知：如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形.

求證：ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.

證法4度數(shù)=g的。度數(shù)，NC度數(shù)=；加8度數(shù)，8c。度數(shù)度數(shù)=360。

/.ZA+ZC=1x360°=180°,同理，ZB+ZD=180°.

請用不同方法完成證法2.

同類題型演練

1.（2022?陜西西安市中鐵中學(xué)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于（O,ZADC=120°,8。平分/ABC交AC

于點(diǎn)E,若BA=BE.則NAD3的大小為（）

A.35°B.30°C.40°D.45°

2.（2021.河南許昌.九年級(jí)期中）己知在圓的內(nèi)接四邊形ABC。中，ZA：NC=1：4,則/C=（）

A.160°B.144°C.120°D.100°

3.（2022?福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。在人8上，點(diǎn)。在半徑上，則下列結(jié)論

正確的是（）

0c

A.ZACD+-ZAOB=180°B.ZACB+-ZAOB=180°

22

C.ZACB+ZAOB=180°D.ZOAC+ZOBC=180°

4.（2022.江蘇?沐陽縣懷文中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形，連接A。、OC,

ZABO=70°,AO//CD,則/OC。的度數(shù)為_____°.

5.（2022?江蘇?南通市啟秀中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于。。，AC平分若

ZBAD=120°,求證：AC=AB+AD.

6.(2022?江蘇鹽城?九年級(jí)階段練習(xí))如圖,五邊形A3C0E內(nèi)接于。0,BC=DE,連接AC,AD,求證:

ZBC￡)+ZCAE=180°.

(

類型二：正多邊形的有關(guān)計(jì)算

正多邊形的相關(guān)計(jì)算技巧:

（1）正“邊形的半徑、邊心距、邊的一半構(gòu)成一個(gè)直角三角形.有關(guān)正〃邊形的計(jì)算問題都轉(zhuǎn)化為直角三角

形的問題，常作半徑、邊心距構(gòu)造直角三角形；

（2）正六邊形的邊長等于它的半徑，正三角形的邊長等于它的半徑的6倍，正方形的邊長等于它的半徑

的收倍.

典型例題

例題1.（2021?河北唐山?九年級(jí)期中）若一個(gè)正多邊形的邊長與半徑相等，則這個(gè)正多邊形的中心角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

例題2.（2022?江蘇?九年級(jí)）中心角為45。的正〃邊形的邊數(shù)〃等于（）

A.12B.10C.8D.6

例題3.（2022?新疆?和碩縣第二中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，已知正六邊形的邊心距為3,則它的周長是（）

------

A.6B.12C.673D.12m

例題4.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形A5C。為。。的內(nèi)接正四邊形，AAEF為。。的內(nèi)接

正三角形，若O尸恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正“邊形的一邊，則〃的值為（）

A.6B.8C.10D.12

例題5.（2022?陜西?西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）若一個(gè)正多邊形恰好有8條對稱軸，則這個(gè)正多邊形的

中心角的度數(shù)為.

例題6.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正八邊形A5C0E尸GH內(nèi)接于。O,若AC=4,則點(diǎn)。到AC

的距離為.

B

例題7.（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)正"邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36。才能與

原來的圖形完全重合，則”的值為.

例題8.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形A3CD內(nèi)接于O,P為BC上的一點(diǎn)，連接少P,CP.

（1）求NCPD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)時(shí)，CP是。的內(nèi)接正"邊形的一邊，求"的值.

同類題型演練

1.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE是。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角NCC?

的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

2.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）已知，正六邊形ABCDEF的邊長為2,則CF的長為（)

A.73B.2^3C.4D.5

3.（2022?江蘇宿遷?一模）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，現(xiàn)將半徑為2的圓十

二等分構(gòu)造出2個(gè)矩形和1個(gè)正方形（如圖），則陰影部分的面積是（

A.1B.8-4>/3C.16-8>/3D.20-10石

4.（2021?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，/\B,AC分別為的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若BC

恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正“邊形的一邊,貝壯的值為（）

A

5.（2022?湖北?武漢市第十一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中

國結(jié)和雪花兩種元素.如圖這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，則旋轉(zhuǎn)角a最小可以為

度.

6.（2022.全國.九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCOEF中，半徑OC=4,OGLBC,垂足為點(diǎn)

G,則正六邊形的中心角=—,邊長=—,邊心距=

7.（2022.全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為。的內(nèi)接正四邊形，AAEF為，。的內(nèi)接正三角

形，若。尸恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正〃邊形的一邊，則〃的值為.

BD

O

8.（2017?廣東?陸豐市民聲學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖①，M、N分別是。。的內(nèi)接正△ABC的邊AB、

BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM,ON,求/MON的度數(shù).

（2）圖②、③....④中,M、N分別是。O的內(nèi)接正方形ABCD、正五邊ABCDE、正n邊形ABCDEFG...

的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM、ON；則圖②中/MON的度數(shù)是,圖③中NMON

的度數(shù)是__________；……由此可猜測在n邊形圖中NMON的度數(shù)是

9.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,在＜30的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,/C=120。，點(diǎn)E在弧

AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE.

（1）求NAED的度數(shù);

（2）當(dāng)/DOE=90。時(shí)，AE恰好為。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值.

類型三：混淆正多邊形和圓的有關(guān)概念致錯(cuò)

典型例題

例題1.（2021?湖北?公安縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于。。，則的半徑是（）

A.aB.2C.272D.4

例題2.（2020?江蘇?南京師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）正六邊形的半徑是4,則這個(gè)正六邊形的

周長是（）

A.20B.12C.24D.28

例題3.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正五邊形A5CDE內(nèi)接于。O,連接AC,則NACO的度數(shù)是

A.72°B.70°C.60°D.45°

例題4.（2022?福建福州?九年級(jí)期末）已知。的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2.則該圓的的半徑為.

例題5.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC,AO為正六邊形A3C0E尸的兩條對角線，若該正六邊形

的邊長為2,則小ACD的周長為.

例題6.（2022?江蘇?鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形A3C。內(nèi)接于。。，尸為8C上

的一點(diǎn)，連接OP,CP.

⑴求NCP。的度數(shù)；

⑵當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，C尸是。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊，求〃的值.

同類題型演練

1.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若正六邊形的邊長為4,則它的外接圓的半徑為（）

A.473B.4C.2s/3D.2

2.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,已知。的半徑為1,則它的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為（

A.1B.2

3.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，則/EBC的度數(shù)為（）

A.54°B.60°C.71°D.72°

4.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）。。半徑為4,以。。的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為邊

作一個(gè)三角形，則所得三角形的面積是（）

A.0