高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省部分學校2025屆高三上學期開學第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗復數，則，所以.故選：D.2.已知集合，則下列結論不正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，解得，由，解得，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于CD，，，，C錯誤，D正確.故選：C.3.已知拋物線的焦點為是拋物線C上一點，則（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由焦點坐標可知，由拋物線定義可知，故選：B.4已知向量滿足，則（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由，則.故選：C.5.已知等邊的邊長為2，將以高PO為旋轉軸旋轉，得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗邊長為2的等邊高，將以高PO為旋轉軸旋轉，得到的幾何體是半徑為1，高為的圓錐的兩部分，其中每一部分的底面是半徑為1，圓心角為的扇形，所以得到幾何體體積.故選：B.6.甲、乙等四個人一起隨機手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對面，共有種情況，其中乙在甲左邊或右邊，即甲與乙能牽手的有種情況，所以所求概率為.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，則，，所以.故選：A.8.曲線的切線與坐標軸圍成的三角形面積的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗設曲線的切點為，由，求導得，則切線方程為，令，得；令，得，因此該切線與坐標軸圍成的三角形面積，求導得，當時，，當時，，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，，所以該切線與坐標軸圍成的三角形面積的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某冷飲店為了保證顧客能買到當天制作的酸皮奶，同時盡量減少滯銷，統計了30天的銷售情況，得到如下數據：日銷售量/杯天數46956以樣本估計總體，用頻率代替概率，則下列結論正確的是（）A.估計平均每天銷售50杯酸皮奶（同一組區間以中點值為代表）B.若當天準備55杯酸皮奶，則售罄的概率為C.若當天準備45杯酸皮奶，則賣不完的概率D.這30天酸皮奶日銷售量的80%分位數是65杯〖答案〗BCD〖解析〗對于A，平均每天酸皮奶的銷售量為（杯），A錯誤；對于B，日銷售量不小于55杯的概率為，B正確；對于C，日銷售量小于45杯的概率為，C正確；對于D，，因此這30天酸皮奶日銷售量的80%分位數是65杯，D正確.故選：BCD10.將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若這兩函數圖象的對稱軸都相同，則下列結論一定正確的是（）A. B.C.與的零點相同 D.與的單調遞增區間相同〖答案〗BC〖解析〗對于AB，，函數圖象的對稱軸滿足，函數圖象的對稱軸滿足，兩式相減得，因此，A錯誤，B正確；對于C，，因此與的零點相同，C正確；對于D，取，函數的遞增區間為，函數遞增區間為，D錯誤.故選：BC.11.已知非常數函數的定義域為R，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，令，得，解得或，當時，對任意恒成立，則，函數為常數函數，因此，A錯誤；對于B，令，得，B正確；對于C，令，得，則，，因此，C正確；對于D，由選項C知，，則，因此，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為______〖答案〗〖解析〗由題意知，所以，即，又，即，所以.13.已知函數是減函數，則a的取值范圍是______〖答案〗〖解析〗令，求導得，由，得，函數的遞減區間為，由函數是減函數，得，即，令，求導得，函數在上單調遞減，而，由，解得，所以a的取值范圍是.14.高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.每次試驗時，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內，在如圖所示的小木塊中，上面10層為高爾頓板，最下面為球槽.小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過9次與小木塊碰撞，最后掉編號（從左至右）為1，2，…，10的球槽內.若一次試驗中小球滾落至事先選定的球槽編號n即得積分，否則不得分．若，則每次試驗前選定球槽編號為______，所得積分的數學期望最大．〖答案〗8〖解析〗設選定的格子編號為，則小球碰撞過程中有次向右邊滾落，落到該格子的概率為，此時其數學期望為，令，則，當時，，當時，，所以當時，最大.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若D為BC上一點，且AD平分，，求AD的最大值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由平分，得，而，則，即，又，因此，當且僅當，即時取等號，則，所以AD的最大值為.16.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是梯形，，E，F，G分別為，CD的中點．（1）證明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接.因為是的中位線，所以，且.同理可得，且.又，且，所以，且.則四邊形是平行四邊形，從而.因為平面，平面，所以平面.（2）解：在直四棱柱中，因為，所以兩兩垂直.以A為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.因為，所以，則設平面的法向量為n1=則，令，可得，設平面的法向量為，則，令，可得n2=0,1,1所以易知二面角為銳角，所以其余弦值為.17.已知雙曲線其左、右焦點分別為，若，點到其漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）設過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且，若成等比數列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．解：（1）由題意可知：，即，則，其中一條漸近線為，即，因為點到其漸近線的距離為，則，所以雙曲線C的標準方程.（2）雙曲線C為“黃金雙曲線”，理由如下：設Px0,y0為雙曲線C可得，若為雙曲線C的上左支一點，則，則，且，可得；若為雙曲線C的上右支一點，則，則，且，可得；由題意可知：，漸近線方程為，則直線l的斜率存在，，設，聯立方程，消去y可得，則，因為，則，可得，即，解得，此時，，且，因為，即，則成等比數列，所以該雙曲線為“黃金雙曲線”.18.我們把底數和指數同時含有自變量的函數稱為冪指函數，其一般形式為（）．對冪指函數求導時，可以將函數“指數化”再求導，例如：對于冪指函數，有．（1）已知，求曲線在處的切線方程；（2）若且，研究函數的單調性；（3）已知m，n，s，t均大于0，且，討論和的大小關系．解：（1）依題意，，求導得，則，而，所以切線方程為，即.（2）依題意，，求導得，，設，求導得，由，得，由，得，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，從而，所以在上單調遞增.（3）設，則，設，由在上單調遞增，知在上單調遞增，當時，，即，則；當時，，即，則，所以當時，；當時，.19.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，即第n＋1次狀態的概率分布只與第n次的狀態有關，與第，…次的狀態無關，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．（1）求和．（2）證明：為等比數列．（3）求的數學期望（用n表示）．（1）解：若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，乙盒中的球變為1白1黑，概率；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，研究第2次交換球時的概率，根據第1次交換球的結果討論如下：①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為3白，乙盒中的球變為2黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變為1白2黑，乙盒中的球變為2白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為2白1黑，乙盒中的球變為1白1黑，概率為若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，綜上，.（2）證明：依題意，經過次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為，則甲盒中恰有3個白球的概率為，研究第次交換球時的概率，根據第次交換球的結果討論如下：①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變為3白，乙盒中的球變為2黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變為1白2黑，乙盒中的球變為2白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對