2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高三(上)入學(xué)數(shù)學(xué)試卷(8月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若x+2i=y+1—久i(x,yeR),則|/+y4=()

A.713B.13C.5D.25

2.若函數(shù)y=s譏3久(3>0)的最小正周期不小于3兀，貝!]()

A.3的最小值為|B.3的最大值為5C.3的最小值為|D.3的最大值為爭(zhēng)

3.若集合A=｛y\y=%2+2x｝,B=｛x\x2+3%<10],則/C\B=()

A.[-1,2)B.[-1,5)C.(-5,2)D.(-5,+oo)

4.若離心率為5的雙曲線真—，=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為a,F2,右頂點(diǎn)為4,貝U()

A.品=3源B.F\A=4AF^C.而=5麗D.F\A=6AF1

5.若兩個(gè)等比數(shù)列｛a九｝,也｝的公比相等，且的+瓦=1,2a2+的+282+歷=。，則數(shù)列｛%：+勾｝的前

7項(xiàng)和為()

A.-43B.43C.-47D.47

6.若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(出M),則P(Z<〃+0)為0.8413.為了解使用新技術(shù)后的某果園的畝收入(

單位：萬元)情況，從該果園抽取樣本，得到使用新技術(shù)后畝收入的樣本均值】=3.2,樣本方差S2=1.44

已知該果園使用新技術(shù)前的畝收入X(單位：萬元)服從正態(tài)分布N(2.8,1.44),假設(shè)使用新技術(shù)后的畝收入V

服從正態(tài)分布N(%,s2),貝(j()

A.P(X<4)>P(Y>2)B.尸(X<4)+P(Y>2)<1.68

C.P(X<4)<P(Y>2)D.尸(X<4)+P(Y>2)>1,68

tan2gtan2

7.若tan(a+0)=7,-^=21,則tan2a=()

1—tanzatanZj&

A--

A.2段B—Z2C-2—1D—10

8.已知直線/：x=-3)與曲線C：x=苧J4一y?有兩個(gè)公共點(diǎn),則小的取值范圍是()

,,/15/15,?,\<152,\<150、「,VT5ci

A.(--r，―)B.(--,0]C.(--,0)D.(一--,0]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某部門30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)(未請(qǐng)假則請(qǐng)假天數(shù)為0)與對(duì)應(yīng)人數(shù)的柱形圖(圖中只有請(qǐng)假天數(shù)為0的

未顯示)如圖所示，則()

人數(shù)

6

5

4

3

2

1

0

78請(qǐng)假天數(shù)

456

A.該部門一年中請(qǐng)假天數(shù)為0的人數(shù)為10

B.該部門一年中請(qǐng)假天數(shù)大于5的人數(shù)為10

C.這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的第40百分位數(shù)為4

D.這30名員工一年中請(qǐng)假天數(shù)的平均數(shù)小于4

1

10.已知函數(shù)/'(久)=久一1(|用＞1),貝!1()

A./(%)為奇函數(shù)

B.f(久)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)

C.曲線y=f(x)的切線的斜率的最大值為2

D.曲線y=/(久)上任意一點(diǎn)與4(-1,0),B(l,0)兩點(diǎn)連線的斜率之和為定值

11.若S,T為某空間幾何體表面上的任意兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的距離的最大值稱為該幾何體的線長(zhǎng)度.已知圓錐

P。的底面直徑與線長(zhǎng)度分別為2,4,正四棱臺(tái)48CD—4當(dāng)6。1的線長(zhǎng)度為6,且48=2,=4,則

()

A.圓錐P。的體積為苧兀

B.441與底面4/iGA所成角的正切值為3

C.圓錐PO內(nèi)切球的線長(zhǎng)度為蜉

D.正四棱臺(tái)48CD—外接球的表面積為427r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.^Igx5-y,Igy-1,貝！k=.

13.曲線C：(x2+y2-l)2-8(x2+y2)+15=0的周長(zhǎng)為.

14.如圖，現(xiàn)有兩排座位，第一排3個(gè)座位，第二排5個(gè)座位，將8人(含甲、乙、丙)隨機(jī)安排在這兩排座位

上，則甲、乙、丙3人的座位互不相鄰(相鄰包括左右相鄰和前后相鄰)的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知2(6,機(jī)+2),B(24,m+8)是拋物線C：y2=2Px(p>1)上的兩點(diǎn).

(1)求C的準(zhǔn)線方程;

(2)若直線y=kx+t(kH0)經(jīng)過C的焦點(diǎn)，且與C交于P,Q兩點(diǎn)，求|PQ|+/^的最小值.

16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC-4當(dāng)Q中，。為4/1的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面AG。

(2)若力4=5,AC=BC=6,AB=10,求二面角C—4D—①的余弦值.

17.(本小題15分)

在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角2,B,C的對(duì)邊，且Z)2+c2=5.

(1)若b+c=3,cosA=-<。為8c的中點(diǎn)，求4D的長(zhǎng)；

(2)若sin/lcosC=sin(4一C)=1<b<求6的值.

18.(本小題17分)

在圖靈測(cè)試中，測(cè)試者提出一個(gè)問題，由機(jī)器和人各自獨(dú)立作答，測(cè)試者看不到回答者是人還是機(jī)器，只

能通過回答的結(jié)果來判斷回答者是人還是機(jī)器.提出的問題是選擇題，有3個(gè)選項(xiàng)，且只有1個(gè)是正確選項(xiàng)，

機(jī)器和人分別從這3個(gè)選項(xiàng)中選擇1個(gè)進(jìn)行作答.當(dāng)機(jī)器和人中只有一個(gè)回答正確時(shí)，則將對(duì)的一方判斷為

人，另一方判斷為機(jī)器；當(dāng)機(jī)器和人都回答正確或者都回答錯(cuò)誤時(shí)，測(cè)試者將再問同一個(gè)問題(重復(fù)提問

),若兩者都回答正確或者都回答錯(cuò)誤，則測(cè)試者將從機(jī)器和人中隨機(jī)選擇一個(gè)判斷為人，若兩者僅一方

回答正確，則判斷回答正確的一方為人.假設(shè)人作答時(shí)能排除一個(gè)明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)，剩下每個(gè)選項(xiàng)被選的概

率相等，而機(jī)器無法排除選項(xiàng)，每個(gè)選項(xiàng)被選的概率相等，當(dāng)測(cè)試者重復(fù)提問時(shí)，人改變選項(xiàng)的概率為

I，機(jī)器改變選項(xiàng)的概率為|.

(1)求1位測(cè)試者在圖靈測(cè)試中不需要重復(fù)提問的概率;

(2)在測(cè)試者重復(fù)提問且機(jī)器改變選項(xiàng)的前提下，求測(cè)試者誤判的概率.

19.(本小題17分)

瓦

已知二階行列式^\=ad-bc三階行列式劭

fb2c2=a1m1—a2TYi2+其中叫，m2,g分

a3①C3

別為由,。2,%的余子式(某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式)?

123

(1)計(jì)算312

231

x00x2x

(2)設(shè)函數(shù)/(%)=010+32x2

00113x

①若/(%)的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列｛即｝的前兩項(xiàng)，且｛須｝的公差大于0,求E簪+5+i；

②若/(&)=0,aE(—2,—1)且aH%。，函數(shù)9(%)=((%)(。-％o)—/Q)，證明：g(a)g(%o)＜。,

參考答案

l.c

2.D

3.2

4.C

5.B

6.D

7.4

8.D

9.ACD

1Q.ABD

11.BC

12.100

13.6，^兀

14-

7

15.解:(1)由4(6,m+2),8(24,m+8)是拋物線C：/=2p久(p>1)上的兩點(diǎn)，

可得(zn+2)2=12p,(m+8)2=48p,

解得TH=4,p=3,或zn=-4,p=§(舍去)，

可得拋物線的方程為y2=6x,準(zhǔn)線方程為久=-1；

(2)拋物線的焦點(diǎn)為(|,0),由直線y=kx+t(k力0)經(jīng)過C的焦點(diǎn)，可得t=—|鼠

，3

聯(lián)立'—2可得42%2一(3女2+6)%+為2=0,

(y2=6%4

設(shè)P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%1，%2，可得%1+%2=3+芻，

k

由拋物線的定義可得|PQ|+1=6+4+^2>6+2A<6,

當(dāng)且僅當(dāng)/=，^時(shí)，|PQ|+卜2取得最小值6+2混.

16.解：（1）證明：如圖，設(shè)"102母=石，連接DE,

貝?。┮字狟1C7/DE,又BiCC平面4QD,DEu平面4QD,

BiC〃平面AH。；

（2）取力B中點(diǎn)。，連接。D,0C,則易知。40C,。。兩兩相互垂直，故建系如圖:

又力。=B0=5,AC=BC=6,0C-V36-25=V11,0D=5,

貝IJ根據(jù)題意可得C(O,/TI,O),4(5,0,0),￡>(0,0,5),4(5,0,5),

???CA=(5,-AA11,0)，AD=(-5,0,5)，西=(5,0,0)，

設(shè)平面C4D與平面AD4的法向量分別為訪=(x,y,z),元=(a,瓦c),

則(而?CA=5x—VUy=0(n-AD=—5a+5c=0

Im-AD=—5x+5z=0l元，DAr=5a=。

取記=(YTT,5,，TT),n=(0,1,0),

又由圖可知二面角C一4。一4的平面角為鈍角，

.■.二面角C—AD—4的余弦值為：

17.解：(1)因?yàn)閎+c=3,b2+c2=5,

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=5+2bc=9,所以be=2,

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以詬=?(荏+而),

_,>-->21>>c

則AD="Q4B+AC)2,

即|前|2=；(|畫2+2值前+|初2)=*+2bccosA+b2')=；x[5+4x(—；)]=1,

則4。=|而|=1；

(2)因?yàn)閟indcosC=sin(4—C)=sinAcosC—cosAsinC=

1624

所以cos/s譏C=貝！JsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

222

sinAcosCacosC3Rna+Z)—c3,

sinB亍="即a.F^=]b,

得a?—c2=軟2,又爐+c?=5,所以a2=5-gb2,

因?yàn)?<b<所以<c<2,

所以6<c,則B<C,B為銳角,

所以cosB=J1-(萼￥=*,

a2+c2—Z725—籽+5—m一產(chǎn)_5V3

所以cosB=

2ac2j(5聲)(5-/)12

整理得(5/-23)(〃_2)=0,解得塊=2或爐=裝，

又l<b<手，所以6=，！.

18.1?：(1)不妨設(shè)提出的問題的3個(gè)選項(xiàng)依次為1,2,3,且設(shè)正確選項(xiàng)為1,人作答時(shí)能排除的選項(xiàng)為3,

記源為人第一次答題時(shí)選擇的是第i個(gè)選項(xiàng)，2為機(jī)器第一次答題時(shí)選擇的是第i個(gè)選項(xiàng)，

記E=測(cè)試者重復(fù)提問，尸=測(cè)試者誤判，6=機(jī)器改變選項(xiàng).

所以1人測(cè)試中不需要重復(fù)提問的概率為P(E)=PG%+Q4+GDJ=fx|+|x|+|x|=1.

(2)當(dāng)機(jī)器重復(fù)回答問題改變選項(xiàng)時(shí)，測(cè)試者誤判的情況有三種：

①若第一次答題時(shí)人和機(jī)器都選擇1,則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，人選擇2,機(jī)器選擇2或3,且測(cè)試者隨機(jī)判斷機(jī)

器為人，

11112±

XX

則P(GD/G)=2-3-2-2-3-

36

②若第一次答題時(shí)人和機(jī)器都選擇2,則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，機(jī)器和人都選擇1且測(cè)試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，或

人選擇2且機(jī)器選擇1,或人選擇2,機(jī)器選擇3且測(cè)試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，

1111111121

XXXX+X+XXX-

則PSzFG)2-3-2-2-2-2-2-2-3-

18

③若第一次答題時(shí)人選擇2,機(jī)器選擇3,則當(dāng)重復(fù)提問時(shí)，人和機(jī)器都選擇1且測(cè)試者隨機(jī)判斷機(jī)器為

人，或人選擇2,機(jī)器選擇1,或人選擇2,機(jī)器選擇2且測(cè)試者隨機(jī)判斷機(jī)器為人，

1111111121

XXXX+X+XXX-

則二2-3-2-2-2-2-2-2-3-

18

又P(EG)4所以P(F|EG)=嶼也畏嚴(yán)跡=,

123

19.解：⑴;1j=|；2|-3|23|+2|23|

=1-6—3x(2—9)+2X(4—3)=18.

x00x2x

(2)?函數(shù)f(%)=010+32x2

00113x

???/(%)=%+%療Al：3

=%+x(2x2—6)—3(2%—3%)+4—2x2=2x3—2x2—2%+4.

(i)/'(%)=6x2—4x—2.

當(dāng)工〈一,或無>1時(shí)，/'(%)>0；當(dāng)時(shí)，/'(%)<0.

「./(%)在(—8,—百)和(1,+8)上是增函數(shù)，在(―§,1)上是減函數(shù)，

??.f(%)的極大值點(diǎn)為-;，極小值點(diǎn)為1.

???/(X)的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列｛%J的前兩項(xiàng)，且｛時(shí)｝的公差大于0,

1

?2

4145

---+---

333(n

.y3an+1_V4n-1n_(-2+。4n)(4?-1)_(8:一1)(4幾_1)

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